이산확률분포: 이항분포, 포아송분포, 초기하분포 비교

본 내용은 " 확률변수와 결합확률분포, 확률분포 대해 학습했습니다. 이산확률분포를 정의한 후, 이항분포, 포아송분포, 초기하분포의 특징 " 의 원문 자료에서 일부 인용된 것입니다. 2023.01.12

문서 내 토픽

• 1. 이산확률분포의 정의

  이산확률분포는 이산확률변수가 가지는 확률분포를 의미하며, 확률변수가 가질 수 있는 값의 개수가 셀 수 있는 개수를 가진다. 확률질량함수를 통해 표현되며, 누적분포함수로 표현할 경우 비약적 불연속으로만 증가한다. 이산확률변수는 유한집합이거나 셀 수 있는 것이 특징이며, 베르누이분포, 이항분포, 음이항분포, 기하분포, 초기하분포, 포아송분포 등 다양한 분포가 존재한다.

• 2. 이항분포

  이항분포는 어떤 실험을 반복할 때 결과가 두 가지로만 나타나는 경우를 나타낸다. 성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 n회 반복할 때 성공의 횟수를 X라 하면, 이 확률변수 X의 확률분포를 모수가 (n, p)인 이항분포라 한다. 성공확률 p가 0.5보다 작으면 오른쪽으로 비대칭인 분포를 나타내며, p가 0.5이면 대칭인 분포를 나타낸다. 예시로는 동전던지기, 제품 불량품 검사, 대통령선거 지지도 조사 등이 있다.

• 3. 포아송분포

  포아송분포는 단위 시간 안에 어떤 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현하는 이산확률분포이다. 동일한 길이의 두 구간에서 사건발생 확률은 동일하며, 어떤 구간의 사건발생은 다른 구간과 독립적이다. 예를 들어 헬스장에 하루 평균 3명이 신규 가입할 때 2명 이상이 가입할 확률을 구할 수 있다. 확률의 총합이 100%라는 특성을 활용하여 계산한다.

• 4. 초기하분포

  초기하분포는 이항분포와 달리 비복원추출에서 N개 중에 k번 추출했을 때 원하는 것이 뽑힐 확률의 분포를 말한다. 크기가 N인 유한 모집단에서 k개의 샘플을 비복원추출하는 특성을 가진다. 예를 들어 10개의 흰공과 15개의 검은공에서 5개를 비복원추출할 때 정확히 3개가 흰공일 확률을 HYPGEOMDIST 함수로 구할 수 있다.

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• 1. 이산확률분포의 정의

  이산확률분포는 확률론의 기초를 이루는 중요한 개념입니다. 확률변수가 취할 수 있는 값이 유한하거나 가산무한개인 경우를 다루며, 각 값에 대한 확률을 명확히 정의합니다. 이는 실제 현상을 모델링할 때 매우 유용한데, 예를 들어 주사위 던지기, 동전 뒤집기, 불량품 개수 등 이산적인 결과를 갖는 현상들을 수학적으로 표현할 수 있게 해줍니다. 확률질량함수(PMF)를 통해 각 사건의 확률을 정량화하고, 누적분포함수(CDF)로 누적확률을 계산할 수 있다는 점이 매우 실용적입니다. 통계학과 데이터 분석에서 필수적인 개념이므로 정확한 이해가 중요합니다.

• 2. 이항분포

  이항분포는 가장 널리 사용되는 이산확률분포 중 하나로, 성공/실패 두 가지 결과만 있는 독립적인 시행을 반복할 때 성공 횟수의 분포를 나타냅니다. 매개변수 n(시행 횟수)과 p(성공확률)로 완전히 결정되어 계산이 간단하고 직관적입니다. 품질관리, 의학 실험, 마케팅 조사 등 실무에서 매우 자주 적용되는 분포입니다. 정규분포로의 근사가 가능하다는 점도 큰 장점으로, n이 충분히 크면 정규분포를 이용한 근사 계산이 가능해집니다. 다만 시행이 독립적이어야 하고 각 시행의 성공확률이 일정해야 한다는 가정을 만족해야 한다는 제약이 있습니다.

• 3. 포아송분포

  포아송분포는 일정한 시간이나 공간 내에서 발생하는 사건의 횟수를 모델링하는 데 탁월합니다. 단일 매개변수 λ(평균 발생률)로 정의되어 매우 간단하며, 희귀한 사건의 발생 확률을 계산할 때 특히 유용합니다. 콜센터 통화 수, 교통사고 발생 건수, 방사능 붕괴 등 실제 현상을 잘 설명합니다. 이항분포에서 n이 크고 p가 작을 때의 근사분포로도 활용되어 계산의 편의성을 제공합니다. 다만 평균과 분산이 같다는 특성이 있어, 이를 만족하지 않는 데이터에는 적용이 제한될 수 있다는 점이 고려사항입니다.

• 4. 초기하분포

  초기하분포는 비복원추출 상황에서 매우 중요한 분포로, 모집단에서 표본을 뽑을 때 특정 속성을 가진 개체의 개수를 나타냅니다. 이항분포와 달리 각 시행의 성공확률이 변하기 때문에 더 현실적인 상황을 반영합니다. 품질검사, 로또 당첨 확률, 여론조사 등에서 실제로 적용되는 분포입니다. 모집단 크기 N, 성공 개체 수 K, 표본 크기 n 세 개의 매개변수로 정의되며, 계산이 이항분포보다 복잡하다는 단점이 있습니다. 다만 모집단이 충분히 크면 이항분포로 근사할 수 있어, 상황에 따라 계산 방법을 선택할 수 있다는 유연성이 있습니다.