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오차와 유효숫자의 정의 평가A좋아요

{제목: 1,오차의 종류2,유호숫자의 정의3,최소 자승법(최소 제곱법)학과:학번:이름:1, 오차의 종류오차의 정의:근사값에서 참값을 뺀 차이를테면, 원주율(圓周率) π 대신 소수 3.14를 사용할 때에, π를 참값, 3.14를 근사값이라 하고 π－3.14를 오차라고 한다. 그리고 함수 f(x)가 무한급수로 전개되어f(x)＝a＋a1x＋a2x2＋…＋anxn으로 될 경우, x의 값이 미소하다면 근사값으로서f(x)≒a＋a1x＋a2x2을 사용할 때의 오차는f(x)－(a＋a1x＋a2x2)＝a3x3＋…＋anxn이다. 일반적으로, 이와 같은 근사값을 써서 사칙연산을 하면, 그 결과 또 오차를 발생시키지만, 이 오차의 크기는 계산에 따라 필요한 범위에서 한정하도록 근사값을 정할 수 있다. 오차는 그 원인과 성질에 따라 계통오차(정오차라고도 함)와 우연오차로 분류된다.【계통오차와 우연오차】 계통오차는 이론의 잘못, 측정기계의 부정확, 또는 측정자의 버릇에 따른 오차이며 각각 이론오차 ·기계오차 ·개인오차라고 한다. 이들은 어떤 정해진 규칙에 얽매어 한쪽으로만 치우치게 되는 오차로서, 그 원인을 제거하고 수정하는 데에 따라 보정할 수 있다. 즉, 이론오차는 이론적으로 보정값[補正値]을 구하여 수정함으로써, 또 기계오차는 기계의 교정에 의하여, 개인오차는 두 사람 이상의 관측자의 측정을 비교하여 어느 정도 그 잘못을 제거할 수 있다. 우연오차는 과실에 따른 과실오차와 원인불명의 확률오차로 나누어진다.이들 오차를 줄이기 위해 측정값의 평균을 취하거나 최소제곱법 등의 수단을 쓴다. 우연오차는 아무리 주의해도 제거할 수도, 보정할 수도 없다. 그러나 우연오차는 오차 및 오차를 포함한 근사값에 의한 계산식, 즉 이 오차의 함수를 확률적으로 연구하여 참값을 측정할 수 있다. 이 이론이 오차론(誤差論)이다. 이를테면 동일한 물건을 n회 측정했을 때의 오차의 분포는 참값을 평균값으로 하는 정규분포(正規分布)로 된다. 이것이 정규분포의 연구의 발단으로서 정규분포곡선을 오차곡선이라고 하는 이유도 이 점에 있다.【상대오차와 절대오차】 오차와 참값과의 비율의 절대값 |(A－E)/E|(A는 측정값, E는 참값)을 상대오차라 하고, 이에 대하여 오차의 절대값 |A－E|를 절대오차라 한다. π 대신 3.14를 썼을 때의 오차의 절대값은 |π－3.14|＜0.0016이므로 0.0016을 넘지 않는다. 또는 0.002를 넘지 않는다고 보아도 무방하다. 이 때의 0.0016이나 0.002를 오차의 한계라고 한다. 일반적으로 오차의 한계를 δ라 하면 |A－E|≤δ, 즉 A－≤δE≤A＋δ이므로, 오차의 한계가 알려져 있을 때, 측정값이나 근사값에 대한 참값이어떠한 범위에 있는지를 알 수가 있다.오차의 종류(1)계기오차 [ 計器誤差, instrumental error ](요약) 측정계기에 나타난 값에서 지시해야 할 참값을 뺀 값, 또는 표준계기의 공칭값[公稱値]에서 참값을 뺀 값.기차(器差)라고도 한다. 측정계기의 경우를 측정계기오차, 표준계기의 경우를 표준계기오차라 한다. 측정계기오차는 측정계기의 측정범위 내에서 많은 오차가 생긴다. 전(全)측정범위에 걸쳐 오차를 구했을 경우, 그 최대값과 최소값의 차이를 극차(極差)라 한다.표준계기오차의 경우 보통 계기오차값은 하나이다. 예를 들면, 공칭 치수값이 100mm인 게이지(gage)가 실제로는 99.985mm였다고 하면, 계기오차는 ＋0.015mm가 된다. 측정정밀도(測定精密度)를 중요시할 경우에는 미리 계기오차를 구한 후에 측정 결과를 수정하여야 한다.(2)상대오차 [ 相對誤差, relative error ](요약) 오차가 생겼을 때, 그 오차의 절대값의 참값에 대한 비율.참값을 A, 참값 대신 쓴 A의 근사값을 a라 할 때, 그 차 a－A=ΔA인 ΔA를 오차라 하고,이 오차의 절대값 |ΔA|의 참값 A에 대한 비율 |ΔA|/A=|a－A|/A를 근사값 a의 상대오차 또는 오차율이라 한다. 대체로 참값 A는 알 수 없을 경우가 많으므로, 이때 상대오차로서 |a－A|/a로 셈하게 된다. 일반적으로 |a－A|/a×100으로 셈하여 오차율 몇 %라고 할 때가 많다.이를테면, 100m인 것을 재서 오차가 50cm인 경우와 10cm인 것을 재서 오차가 5mm인 경우와는 어느 쪽의 측정값이 보다 정밀한지를 비교하려면, 각각의 상대오차를 계산하여 비교하면 된다. 즉, 앞의 예에서는 각각 0.5÷100＝0.005, 0.5÷10＝0.0이므로 전자의 측정값이 보다 정밀하다고 할 수 있다.(3)확률오차 [ 確率誤差, probable error ](요약) 변량(變量) X를 여러 번 측정하여 그 중에서 가장 정밀하다고 생각되는 값 A를 구했을 때, 각 측정값에 대하여 |X－A|를 만들고, 이것을 크기순으로 늘어놓았을 때 정확히 중앙에 오는 것.공산오차(公算誤差)라고도 한다. 여러 번 측정하였을 때는 제곱오차의 0.6745배, 평균오차의 0.8453배와 같으며 측정값의 정밀도를 나타내는 데에 흔히 사용된다.예를 들면, 태양의 적도지평시차(赤道地平視差) 8.7978″±0.00007″에서 뒤의 0.00007″가 확률오차이다. 확률오차가 작을수록 측정값의 정밀도가 높아지며, 그 측정값은 신용할 만한 것이 된다. 다만 계통오차는 없는 것으로 한다.2,유호숫자의 정의유효숫자 [ 有效數字, significant figure ](요약) 근사값을 구할 때 반올림 등에 의하여 처리되지 않은 부분.어떤 양을 측정할 때, 그 측정값은 실험적으로 불확실한 범위 이내에서만 의미를 갖는 값이다. 불확실로의 범위는 실험기구의 질이나 실험자의 기술, 실험 수행 횟수 등과 같은 다양한 요인들의 영향을 받는다.이런 오차를 고려한다 해도 신뢰할 수 있는 숫자를 자리수로 나타낸 것을 말한다. 측정값은 오차가 있게 마련이므로, 오차의 크기보다 작은 수치는 신뢰할 수 없다. 이를테면 오차가 ±2인 413.2라는 측정값을 얻었을 경우, 정확한 값은 415일지도 모른다. 따라서, 소수 이하의 2라는 숫자는 신뢰할 수 없다.신뢰할 수 있는 숫자는 4와 1 두 자리가 된다. 이때, 4.1×102으로 나타내고 '유효숫자는 두 자리이다'라고 한다. 유효숫자의 가장 끝자리 수는 그 다음 자리의 수를 반올림하여 생기는 정도의 오차는 포함하는 것으로 생각한다. 유효숫자는 소수점의 위치에 관계되지 않는다. 일반적으로 유효숫자의 부분을 따로 떼어서 정수 부분이 한 자리인 소수로 쓰고, 소수점의 위치는 10의 거듭제곱으로 나타낸다.*여러 측정값에서 유효숫자의 처리a,곱셈과 나눗셈: 마지막 결과값의 유효 숫자의 수는 곱셈에 포함된 측정값 중 가장 적은 유효 숫자의 수와 같게 한다.b,덧셈과 뺄셈: 마지막 결과값의 소수 부분의 자릿수는 셈에 포함된 측정값 중 가장 작은 소수점 아래의 자릿수와 같게 하여야 한다.*0은 유효숫자인가?소수점의 위치를 나타내기 위하여 사용하는 0은 유효숫자가 아니다.0은 유효숫자인지 아닌지 애매한 경우가 있으므로 과학적 표기법을 사용할 수 있다.예)15000에서 유효숫자를 정확히 알 수 없으므로 (유효숫자가 2자리라면)1.5{TIMES { 10}^{4 }으로 나타낸다.3,최소제곱법의 정의최소제곱법 [ 最小-法, method of least squares ](요약) 측정값을 기초로 해서 적당한 제곱합을 만들고 그것을 최소로 하는 값을 구하여 측정결과를 처리하는 방법.이것은 (엄밀이 말하면)화학이나 물리에 쓰이는 것이 아니라 응용수학분야의 하나인 통계에서 회귀분석 내용을 공부할 때 이용되어진다.최소제곱법의 도입은 가우스와 르장드르가 거의 동시대에 발표되어진걸로 수학사는 기록되어지고 있다.최소자승법(最小自乘法)이라고도 한다. K.F.가우스가 18세 때 소행성(小行星)의 궤도 계산의 필요에서 발견한 것이라고 하며, 또 A.M.르장드르가 창시한 것을 가우스가 완성한 것으로도 알려져 있다. x의 값을 측정하여 x1,x2,…,x3을 얻었을 때, x의 가장 확실한 값 ξ를 최소제곱법에서는,을 최소로 하는 ξ의 값으로 한다. 이것은으로 되며 상가평균의 값이다. 측정값의 분포가 정규분포(正規分布)에 따른다고 하면, 분산(分散) σ는으로 정의되며, 정규분포는으로 표시된다. 정규분포의 확률오차(確率誤差)는 ε＝0.6745σ이므로, 보통 결과를 ξ±ε으로 나타낸다.참고*****희귀계수에서 최소제곱법 사용***회귀계수를 추정하는 방법에는 크게 두 가지가 있다. 정규분포에 대한 가정이 없는 최소제곱법(Least Squares Method)에 의한 추정법과 정규성이 가미된 MLE(Maximum Liklihood Estimator)를 이용하는 방법이 있다. JMP에서는 최소제곱법으로 회귀계수를 추정한다. 그러면 최소제곱법에 대해 살펴보도록 하자.{위 그림에서 임의로 그은 직선은 데이터와 얼마나 가까운가? 혹은 얼마나 먼가? 일단 그어진 직선으로 {Y`를 예측한다고 할 때 각 데이터 점의 {Y`좌표와 직선을 이용한 이의 추정점(즉 주어진 {x`값으로부터 그은 수직선과 직선이 만나는 점)의 {

자연과학| 2001.04.04| 8페이지| 무료| 조회(5,145)

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