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[수학교육 수학사]3차 및 4차방정식의 공식(해법)과 그 예제

3차 및 4차방정식의 공식(해법)과그 예제1. 방정식의 역사중국 고대의 수학책인 중에서 방정이란 용어가 있다. 구장산술은 그 이름과 같이 아홉 개의 장으로 구성되어 있고, 그 제 8장 방정에는 오늘의 미지수가 3개인 연립일차방정식과 같은 것을 다루고 있으며, 오늘과 거의 같은 풀이방법으로 풀고 있다.수학사에 의하면 기원전 6 세기경의 메소포타미아 지방에 살던 바빌로니아 사람의 문화에서 볼 수 있었던 수학은 일차, 이차 및 삼차방정식에 해당하는 문제였다.또 고대 이집트 사람도 일차, 이차방정식에 상당하는 문제를 풀었을 것으로 추측된다. 알렉산드리아 시대의 디오판토스(246?-330?, 그리스)는 이미 이차방정식의 해법을 알고 있었다고 알려져 있다. 9세기 전반 알콰리즈미(780-850, 아라비아)의 대수학이 저서 에는 일차, 이차방정식의 풀이법이 나타나 있다. 여기서는 오늘날의 '이항'을 '알 자브르', '동류항을 정리한다'를'알 무카발라'라고 불렀다.그래서 대수학을 뜻하는 알지브라는 알 자브르에서 나왔고, 계산법을 뜻하는 알고리즘은 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래되었다고 보고 있다.그러나 디오판토스나 알콰리즈미에서는 음수의 개념이 없었으므로 음의 근은 아예 존재하지 않았다. 음의 근의 존재를 명확히 의식한 최초의 수학자는 16세기 카르다노(1501-1576, 이탈리아)라고 한다. 이 때까지는 이차, 삼차방정식의 계수는 모두 양의 근만을 다루었다.즉, 카르다노 이전까지는 양의 근만을 근으로 인정하였을 뿐이었다. 구장산술에서 볼 수 있는 것처럼 중국에서는 일찍이 음수의 개념을 가지고 있었다. 인도에서는 6세기경에 양수, 음수의 개념을 가지고 있었다. 바스카라(1114-1185,인도)는 1150년에 이차방정식에 두 근이 있고, 음의 근이 존재함을 인식한 최초의 수학자였다. 또, 바스카라는 삼차, 사차방정식도 다루었다. 간단한 모양의 삼차방정식은 메나이크모스( B.C 375-325, 그리스)가 정육면체의 문제에 관련해서, 아르키메데스(B.C287?-212, 그리스)가 구의 부피의 문제에 관련해서 다루었다. 또 카얌(1040-1123, 아라비아)은 삼차방정식을 원뿔곡선의 교점을 그려서 풀었다. 그는 아라비아의 대표적인 시인이기도 하였다. 삼차방정식의 해법에 처음으로 성공한 사람은 페로(1465?-1565, 이탈리아)라고 한다.오늘날 카르다노의 방법이라고 알려지고 있는 삼차방정식의 일반적인 해법이 발견된 후에 사차방정식의 해법이 카르다노의 제자인 페라리(1522-1565, 이탈리아)에 의하여 발견되었다. 카르다노는 1545년에 삼차, 사차방정식의 해법을 발표하였다. 삼차, 사차방정식의 해법이 발견된 후에 약 300년간 많은 수학자들이 5차 이상의 방정식의 근의 공식을 발견하려고 노력했다. 그러나 해를 거듭해도 해법이 발견되지 않으므로 계수에 사칙연산과 근호의 계산을 반복하는 대수적 풀이 방법은 불가능하다는 증명을 시도하게 되었다.루피니(1765-1822, 이탈리아)는 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 증명을 발표하였으나, 그 증명에는 중대한 실수가 있음이 밝혀졌다. 그러나 아벨( 1802-1829, 노르웨이)은 1826년에 "5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없다."라는 정리를 증명하였다. 오차방정식의 일반해를 구할 수 없다는, 즉 대수적으로 풀 수 없다라는 것을 증명한 사람은19세기의 젊은 수학자인 노로웨이의 아벨과 프랑스의 갈루아 다. 갈루아(1811-1832, 프랑스)는 '5차방정식의 일반해를 구할 수 없다'를 증명하는 과정에서 '군'의 개념을 생각해냈다. 방정식의 해법에 관련된 수학의 새로운 영역으로 '군(群)'이 탄생하였던 것이다. 이와 같은 독창적인 갈루아의 생각은 오늘의 갈루아 이론의 바탕이 되었고, 현대 수학에 막대한 영향을 주었다.한국에서는 산목으로 가우스소거법과 유사한 방법을 사용하여 연립방정식을 다루었다.2. 3차 및 4차방정식에 대하여...3차방정식의 해법은 이탈리아의 N.타르탈리아(1500?∼1557, 일명 폰타나)에 의해 발견되었고 이를 안 G.카르다노(1501∼1576)가 비밀을 지키는 조건으로 알려달라고 졸라서 알아낸 뒤 자신의 책 《아르스마그나 Ars magna, seu de regulis algebraicis, liber unus》(1545)에서 공포되었기 때문에 그 후부터는 '카르다노의 공식'이라고 불리게 되었다.이 일로 타르탈리아는 폐인이 되었다고 한다.4차 방정식의 해법은 카르다노의 몸종이자 시종인 페라리에 의해 곧 발견되었다.3. 5차방정식에 대하여...군론으로 5차 방정식을 푸는 방법은 없다. 다만 5차 이상의 방정식의 근의 공식(계수에다 사칙연산과 거듭제곱근을 구하여 근을 표시하는 공식)은 없슴을 증명할 때,갈로와가 군론을 써서 증명하였다.군론으로 방정식을 다루는 것은 판별식이 근의 치환군에 불변이라는 사실을 사용하며, 방정식은 체론(field theory)의 문제이며 이를 근의 치환군의 문제로 바꾸는 것이 갈로와 이론의 요점이다.즉, 복잡한 2개의 연산에 관련된 체의 문제를 1개의 연산과 관련된 군(group)의 문제로 바꾸어 푸는 것이다.4. 3차 및 4차방정식의 해법16세기의 가장 극적인 수학적 성취는 이탈리아 수학자들의 3차 및 4차 방정식의 대수적 해법의 발견)①3차방정식의 해법 (카르다노의 에 실려있음)의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:여기서를 다음과 같이,으로 놓으면는로 주어진다. 이 마지막 두 방정식을에 관하여 연립하여 풀면,이고, 따라서가 구해진다.② 4차방정식의 해법 (카르다노의 제자 페라리에 의해 해결에 실려 있음)간단한 변환에 의하여 일반 4차 방정식이 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다..그러므로 임의의에 대해서이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다:결국 이 방정식은에 관한 3차방정식이고, 따라서 3차방정식 해법으로 풀 수 있다. 그러한 값는 사실 본래의 문제를 제곱근을 구하는 문제로 바꿔 놓는다.3차 방정식의 해법의 유도) 3차방정식의 해를 구하기 위하여...라 치환하면,이고 풀면⇒⇒으로 변환된다.즉,의 형태로 변환된다.따라서 3차방정식의 해법은의 해를 구하는 것과 같은 문제가 된다.의 해법은 본질적으로 다음과 같다. 다음 항등식을 살펴보자:여기서를 다음과 같이,으로 놓으면는로 주어진다.이 마지막 두 방정식을에 관하여 연립하여 풀어보자.과을 두 근으로 하는 2차방정식을 만들면이므로으로 된다. 따라서=>=>※는 1의 허수근 (의 방정식을 풀었을 때 하나의 허근을라 한 것임) 으로을 만족하고 있다.여기서이다.4차 방정식의 해법의 유도).그러므로 임의의에 대해서이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록를 취하자.그 경우는 다음과 같은 때이다:결국 이 방정식은에 관한 3차방정식이고,를 구할수 있다.이 하나를로 하면()이라는 두 개의 2차방정식을 얻는다. 이 방정식을 풀면 해 4개를 얻을 수 있다.5차방정식의 해법1750년경에 오일러에 이어 라그랑쥬도 5차방정식의 해법을 구하는데 실패했고 이탈리아 의사인 루피니가 일반 5차 혹은 그 이상의 차수의 방정식들이 그 방정식의 계수에 관한 근거에 의해 표현될 수 없다는 사실의 증명을 하였다. 이 놀랄만한 발견은 1824년 그와 독립적으로 유명한 노르웨이 수학자 니일스 헨리크 아벨(1802-1829)에 의하여 밝혀지기도 하였다.5. 3차 방정식의 해를 구하는 방법의 예제문제)의 3근을 구하여라.풀이) 우선으로 치환하면,준식은로 변환되고,결국,의 해만 구하면의 해를 구할 수 있게 된다.3차 방정식 근의 공식에 의하면,

교육학| 2004.06.14| 7페이지| 1,500원| 조회(4,058)

방정식, 4차, 3차, 페라리, 카르다노

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[선형대수학]Jordan canonical form 구하는 방법 평가C아쉬워요

목 차Ⅰ. 머리말 ................ 2Ⅱ. Jordan canonical form 이란 무엇인가? .......... 31. Jordan block .......... 32. Jordan basis ............ 43. Jordan canonical form ............ 6Ⅲ. Jordan canonicalform을 어떻게 찾을 것인가?.... 71. 점 도표의 활용 ....... 10연습문제.... 14Ⅳ. 맺음말 ............ 16Ⅴ. 참고문헌 ........ 17Ⅰ. 머리말현실 세계의 문제를 표현하는 수학적 공식을 수학적 모델이라고 하고, 이것을 수학적인 지식을 이용하여 해결하는 것을 주어진 현상을 수식화하여야 가능한데 이러한 과정을 수학적 모델링 이라고 한다. 이와 같이 수학적 모델링에서는 선형 모델을 주로 사용하는데 그 이유는 다음과 같다▶ 비선형 연립방정식을 풀 수 있는 일반적인 이론은 없으나 연립일차방정 식을 풀 수 있는 일반적인 이론은 있다.▶ 여러 개의 변수를 가진 비선형 방정식으로 표현된 식을 통하여 실제 현 상을 이해하기 어렵다.▶ 비선형 연립 방정식은 계수와 작은 변화에도 전체에 큰 변화를 가져오므 로 안정적인 시스템을 갖기 어렵다.▶ 모든 비선형 현상들도 작은 간격으로 끊어 보면 거의 선형이다. 복잡저가 존재한다.여기서 {J_i = PMATRIX { { lambda _1 }& { 1}& { }& { }& {0 }#{ }& { }& { }& { }& { }#{ }& { }& { }& { }& { 1}#{ 0}& { }& { }& { }& { lambda _i }`` },{lambda _i ~: 고유값(eigenvalue)을 가진다.여기서 {J_i를 {lambda _i에 대응되는 하나의 Jordan block이라 하며 복소체 위에서 {i TIMES i의 정방행렬을 이룬다.편의상 {[`A`]_B =J_A라 놓으면{(J_A - lambda I`)는 다음 성질을 갖는 5 상의 선형변환이다.{(J_A - lambda I`)`v= {BMATRIX { {0 }& {1 }& {0 }&{0}&{0}#{0 }& {0 }& {1 }&{0}&{0}#{0 }& {0 }& {0 }&{1}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{1}#{0}&{0}&{0}&{0}&{0} }{BMATRIX { {x_1 }#{x_2 }#{x_3 }#{x_4 }#{x_5 }}={BMATRIX { { x_2}# {x_3 }# {x_4 }#{x_5 }# {0 } }그런데 {e_1 ,~e_2 ,~e_3 ,~e_4 ,~e_5가 {^5의 표준기저일 때{(J_A - lambda I`)`e_1 =0이고 {(J_A - lambda I`)`e_i =`e_{i-1}, {i`=1,~2,~3,~4,`5이므로 {e_1은 {lambda에 대응하는 {J_A의 하나뿐인 일차독립인 고유벡터(eigenvector)이다.{(J_A - lambda I`)^i`e_i`=0{(i`=1,~2,~3,~4,`5)이고, 이 식은 {(J_A - lambda I`)`v =0과 비슷한 꼴이므로 {e_i`{(i`=1,~2,~3,~4,`5){(i`=1,~2,~3,~4,`5)가 {J_A의 고유벡터(eigenvector)는 아니지만 고유벡터(eigenvector)와 유사한 성질을 갖게 된다. 이런 {e_i{(i`=1,~2,~3,~4,`5)를 {J_A에 대한 일반화된lambda `I``)^{r-1}``(v)= {A의 고유벡터(eigenvector)이다.(2) {v,~(A-`lambda`I``)(v),~(A-`lambda`I``)^2 (v),~…,(A-`lambda`I``)^r-1 (v)은linear independent 이다.p.f) (1) {(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)가 {A의 고유벡터임을 보이자.{A{(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)={(A-lambdaI`+lambdaI``){(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)={(A- lambda `I``)^{r}``(v)+ {lambda`I``(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)=0+{lambda`I``(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)({r이 주기이므로{(A- lambda `I``)^{r}``(v)=0)그러므로, {A{(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)={lambda{`(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)이다.따라서, {(A- lambda `I``)^{r-1}``(v)은 {A의 고유벡터이다.(2){c_0` v+c_1` (A-`lambda`I``)(v)+c_2 `(A-`lambda`I``)^2 (v)+~…+c_{r-1}`(A-`lambda`I``)^r-1 (v)=0라 가정하자Claim ) {c_0`=c_1`=c_2 `=~…=c_{r-1}`=0( ∵ ) 편의상 {B=A-lambda`I라 놓자. 그러면{c_0` v+c_1` (A-`lambda`I``)(v)+c_2 `(A-`lambda`I``)^2 (v)+~…+c_{r-1}`(A-`lambda`I``)^r-1 (v)=0⇔ {c_0` v+c_1` (B``)(v)+c_2 `(B``)^2 (v)+~…+c_{r-1}`(B``)^r-1 (v)=0⇔ {f``(B)`v=0(Let{f``(t)=c_0 + c_1` t +c_2 `t`^2 ` +`…+`c_{r-1} `t`^{r-1}`in` [t],{deg f`(t)=r-1)⇔{f`(B`)=0{( ~&{ lambda _i}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}#{0}&{0}&{0}&{ lambda _i}&{1}&{0}&{0}&{0}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{ lambda _i}&{1}&{0}&{0}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{ lambda _i}&{0}&{0}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{ lambda _i}&{1}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{ lambda _i}&{0}#{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{ lambdai} } }로 유일하게 결정된다.이것의 점 도표를 구하면{l=4 ,~p_1 =3 ,~p_2 =3 ,~p_3 =2.~p_4 =1이므로 {lambda _i에 대한 점 도표는 다음과 같다......... .【보기 】 다음 행렬 {A의 Jordan 표준형을 구하라.{A= BMATRIX { {2 }& {-1 }& {~~0 }& {1 }#{0 }& {~~3 }& {-1 }&{0}#{0 }& {~~1 }& {~~1 }&{0 }# {0}& {-1 }& {~~0 }& {~`3}~` }풀 이 ) 행렬 {A의 특성방정식은 {|A-lambda`I``|=(lambda -3)(lambda -2)^3 =0이므로 {A는 두 개의 서로 다른 고유값(eigenvalue) {lambda_1과 {lambda_2를 갖는다. 여기서 {lambda_1 =3은 중복도가 1이고 {lambda_2 =2는 중복도가 3이다. 따라서 {lambda_1에 대응하는 점도표는 한 개의 점을 갖고 그에 대한 점 도표는.이므로, {A_1은 1×1 Jordan block 한 개, 즉 {A_1 =[3]이다.또, {lambda_2에 대응 하는 점 도표는 세 개의 점을 갖는다.그리고또, {lambda_2에 대응 하는 점 도표는 세 개의 점을 갖는다.그리고{r_1 =4- rank(A-2I``)=4-rank{BMATRIX { { 0}& {-1 }& {~~0 }& {1}#{0 }& {~~1 }& {-이 ▶ 먼저, 행렬 A 의 고유값을 구한다.I A -λI I ＝ -(λ-3)(λ-2)2 이므로, 행렬 A는 두 개의 서 로 다른 고유값 λ1= 3, λ2 = 2를 갖는다.case1) if λ1= 3정의에 따라 Eλ1과 Kλ1를 계산해 보면,Eλ1 = { (-1 2 1)Tt I t ∈ R }이고,Kλ1 = { (-1 2 1)T sI s ∈ R }이다.따라서, Eλ1 ＝ Kλ1 이다.그러므로, Kλ1 의 basis는 β1 = { (-1 2 1)T }이 된다.case2) if λ2 = 2Eλ2 = { (1 -3 -1)TtI t ∈ R }이고Kλ2 = { (1 0 2)Ts + (0 1 1)Tt I s,t ∈ R }이다.따라서, Eλ2 ≠ Kλ2이다.Kλ 의 basis는 β2 = { (0 1 1)T, (-1 3 1)T }이다.∴ β1∪β2 〓 { (-1 2 1)T, (0 1 1)T, (-1 3 1)T }가 행렬{A의 Jordan basis가 된다.2번 풀 이 ▶ 위의 예제 2.1.1 풀이에서 구한 {A의 Jordan basis로 이루어진 행렬 Q를 다음과 같이 두면,put {Q=BMATRIX { {-1 }& { -1}& {0}#{ 2}& {3}& {1}#{ 1}& {1}& { 1} }then Jordan canonical form of matrix {AisQ-1AQ={BMATRIX { { 3}& { 0}& {0 }#{0 }& {2 }& { 1}#{ 0}& { 0}& {2 } }Ⅳ. 맺음말n차의 정방행렬 A가 n개의 일차 독립인 고유벡터(eigenvector)를 가지면 대각화 가능하다는 것을 앞에서 배웠다. 또, 행렬 A가 유니터리 대각화가능일 필요 충분 조건은 행렬 A가 정규행렬(normal martrix)인 것이다.이 경우 A는 n개의 정규직교인 고유벡터(eigenvector)를 갖고, 이 고유벡터(eigenvector)를 열로 갖는 행렬 U는 유니터리 행렬이며 {{ U}^{ *} AU는 고유값(eigenvalue) {{ lambda }_{ i}를 대각선 성분으로 갖판사

자연과학| 2003.06.10| 17페이지| 2,000원| 조회(4,324)

선형대수, Jordan canonical for, 대각화, 조단, 점도표

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[교육방법]강의식 지시적 교수법의 수업방법 시나리오와 소집단 협동학습 교수법의 수업방법 시나리오의 비교 분석 평가C아쉬워요

1. 도입교육은 인간의 행동 변화를 일으키기 위한 계획적인 활동이다. 물론 이러한 행동의 변화들은 보다 바람직한 측면으로의 변화를 의미한다. 학교 교육에서 수업은 특정한 교육 목표의 달성을 전제하며 학습자의 변화를 전제하는 의도적인 교육 활동으로 교사가 수업을 바람직하게 진행한다면 학습자는 수업 목표와 교육 목표에 도달하게 되고 나아가 학습된 바람직한 변화를 일으키게 된다. 그러므로 학교 교육에서 가장 핵심적인 활동은 수업이다. 또한 교육의 성패를 판가름해 주는 것도 수업이다. 따라서 교육현장에서 교사들은 수업 효과의 극대화를 위한 노력을 끊임없이 하여 왔으며 수업 효과의 극대화를 위한 효율적인 수업 방법에 관하여 활발한 연구를 하고 있다.수업은 교사의 교수 행위와 학생의 주체적 학습 행위로 이루어지는 교수-학습 과정이다. 그러나 이러한 교수-학습방법은 그 어느 한가지 요소에 의해서 결정되는 것이 아니라 그 여러 가지 요소들이 고려되고 어울려져서 이루어지는 지극히 복합적인 의사결정이라고 할 수 있다. 그렇다면, 그러한 요소들의 복합적인 섞임으로 인해서 나타날 수 있는 교수방법에는 어떠한 유형들이 있을 수 있겠는가?여러 가지를 종합으로 볼 때, 교수-학습과정을 누가 주도하느냐 하는 것이 교수방법 유형의 구분의 중요한 준거가 될 수 있다고 말하고 있다. 즉, 교수자 주도형 수업이냐, 학습자 주도형 수업이냐? 아니면 이들 두 주체간의 상호작용 형태의 수업이냐 하는 것이 교수방법 유형화의 한가지 좋은 준거가 될 수 있다는 것이다.다음은 교수-학습의 목적, 내용, 방법으로 이어지는 논리적 부수관계를 준거로 삼아 네 가지로 교수방법을 구분지어 볼 수 있다. 첫째, 행동적 변화에 초점을 맞춘 교수방법, 둘째, 인지적 사고 및 정보처리에 초점을 맞춘 교수방법, 셋째, 사회적 관계개발에 초점을 맞춘 교수방법, 그리고 마지막으로 인본적인 자아이해에 초점을 맞춘 교수방법으로 나누어 볼 수 있다.그래서 수학교육을 전공하고 있는 나로서는 내가 전공하는 교과목, 수학이라는 특성을 고려지시봉학습지, 필기도구수업단계수업 내용수업흐름교 수 · 학 습 활 동수업형태수업 매체도달점 및 유의점교 사학 생도입·전시수업내용 확인(1분)·학생들에게 인사를 하며 출석을 점검한다.·PPT1로 전시수업내용을 확인한다.·함께 인사를 한다.·프로젝션 TV화면을 보면서 전시수업내용을 상기한다.강의식PPT·전시 수업 내용을 확인한다.·준비문제 제시(3분)·준비문제를 풀게 한다.·준비문제의 답을 전체학생들과 함께 확인한다.·각자 준비문제를 풀이한다.·틀린부분은 PPT를 보면서 자신의 풀이를 정정한다.PPT준비문제를 통해서 인수분해를 통하여 이차방정식의 풀이를 할 수 있음을 생각하게 한다.·수업목표 제시(1분)·수업목표를 제시하고 학생들과 함께 읽는다.·제시된 수업목표를 함께 읽는다.PPT·수업목표를 인지한다.시작전시학습확인준비문제제시수업목표제시수업단계수업 내용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업형태수업 매체도달점 및 유의점교 사학 생전개·수업목표1 제시·AB=0 의 의미(2분)수업내용탐구·인수분해를 이용하여이차방정식을 풀 수 있다.·AB=0의 의미가 어떤내용을 포함하고 있는지 설명한다.·첫번째 수업목표를 확인한다.·PPT자료와 교사의 설명을 주의깊게 듣고, 의미를 바르게 이해하도록 한다.강의식PPT4이 성질이 이차방정식 풀이의 기본이 됨을 강조한다.·수업내용1. 두 개의 일차식으로 인수분해 되어 있는 이차방정식의 풀이(7분)(예)bold{(x-2)(x-3)=0}⇒ 탐구문제1 제시·bold{(x-2)(x-3)=0}의풀이를 PPT로 설명하고,이차방정식의 풀이가 이와 같은 방식으로 이루어짐을 설명한다.·탐구문제1을 다 같이풀이한다.·이차방정식ax^2 +bx +c=0의 풀이방법을 PPT로 정리해준다.·교사의 설명을 듣고, 유사한 탐구문제1을 풀이한다. 잘 모르는 문제는 교사의 도움으로 해결하도록 한다.·교사의 발문에 다 같이 대답하면서 답을 확인한다.·PPT자료를 보면서 정리한다.강의식개별학습PPTPPT검산을 해봄으로써 AB=0의 의미를 확인시킨다.2. 이차방정식의풀이 (13분보고 자신이 푼 것과 비교하여 정리한다.·수업목표2를 확인한다.·PPT 자료를 보면서 중근의 뜻을 이해한다.개별학습강의식판서PPTPPT·인수분해를 바르게 해야 이차방정식의 해가바르게 나올 수있음을 강조한다.중근은 실제로는 근이 하나이나, 중복되어 있는 근으로 일차방정식과는 다른 것임을 이해시킨다.[예제2]4x^2 +4x+1=0의 풀이·판서로 다시 한번 같이 풀이한다.·교사의 풀이를 주의깊게 듣는다.판서·탐구문제3 제시·[예제2]와 유사한 문제를 제시한다.·몇 학생을 지명하여 발표시킨다.·탐구과제3을 확인한다.·탐구과제3을 조원 모두가 협력하여 해결한다.·지명된 학생들은 칠판에 나와서 풀이를 한다.개별학습판서수업단계수업 내용수업흐름교 수 · 학 습 활 동수업형태수업 매체도달점 및 유의점교 사학 생정리·본시 수업내용 정리(2분)·PPT를 보면서 이번 시간에 수업한 내용을 정리한다.·PPT를 보면서 수업한 내용을 정리한다.일제학습PPT·차시예고(1분)·PPT로 다음 시간에 배울 내용을 제시한다.·차시학습내용을 확인한다.PPT2. 학습지도시의 절차.첫째, 수업내용 설명하기 단계에서는 학습 문제의 용어를 이해하도록 하고 학습에 대한 흥미 유발과 학습 문제의 명료화에 목적을 둔다. 학습자들이 뚜렷한 학습 목표 인식 하에 학습 순서나 학습 전개 방법을 안내 받게 되면 수업의 참여자로서 해야 할 일이 무엇인가를 확실히 알게 되고 수업에 능동적인 태도를 취하게 되어 학습에 대한 참여도가 높아질 것이라고 기대되는 것이다.둘째, 강의식 교수 단계로서 이차방정식의 풀이를 직접 시범 보이는 단계이다. 이 단계의 주요 활동은 본 학습에 있어서 과제 해결의 방법을 교사가 예를 들어가면서 자세히 제시하는 것이다. 과제 해결 과정에 있어 머리 속에서 이루어지는 사고의 과정을 가시화 시켜 교사가 시범 보여야 한다. 본 수업에 도움을 줄 수 있는 예제문제를 교사가 의도적으로 선정하여 교사 중심 활동으로 이차방정식 풀이활동을 전개해 나간다.셋째, 교사 주도적 단계로 질문하기 단계라고 볼 수 있다또한 이 강의식 지시적 교수법은 어느 교수방법에서도 필수적으로 조금식 사용이기도 하다. 위의 교수방법의 경우, 강의식 교수방법과 탐구문제 풀이라는 개별학습활동의 조화로 수업을 진행하였다.즉, 수업의 흐름이 교사 중심적 활동에서 점차 학습자 중심 활동으로 흘러간다는 점이다. 이러한 수업을 통하여 기대되는 효과는 지루하고 딱딱하기 쉬운 강의식 교수법이 조금은 수업에 대한 긴장감을 줄 수 있을 것이며, 수학이라는 교과목의 특성상 개념의 이해와 더불어 직접적인 문제풀이학습이 중요한 만큼 개별학습으로 인해 학습자의 이차방정식의 풀이학습에 대한 적극적인 참여를 유도하여 풀이학습에 대한 흥미도가 높일 수 있다는 점이다.또한 문제 풀이에 대한 자신감을 키워 문제풀이능력을 향상시킬 수 있다는 점도 좋은점으로 평가 될 수 있을것이며, 다른 유형의 문제를 접하였을 때 그문제에 대한 저항을 줄일 수 있을 것이다.두 번째, 소집단 협동학습 교수법의 수업방법 시나리오1. 수업계획안수업계획안단원Ⅲ. 이차방정식1. 이차방정식§2. 이차방정식의 풀이대상고등학생 39명일시2002. x. x (x요일)x교시장소교실수업목표1. 인수분해를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.2. 중근의 뜻을 알고, 이를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.수업자료교 사학 생수업안, 학습지, 컴퓨터, 프로젝션 TV, 지시봉학습지, 필기도구수업단계수업 내용수업흐름교 수 · 학 습 활 동수업형태수업 매체도달점 및 유의점교 사학 생도입·전시수업내용 확인(1분)·학생들에게 인사를 하며 출석을 점검한다.·PPT1로 전시수업내용을 확인한다.·함께 인사를 한다.·프로젝션 TV화면을 보면서 전시수업내용을 상기한다.강의식PPT·전시 수업 내용을 확인한다.·준비활동-조편성(3분)·학급의 인원수가 39명인 만큼 각각 5명에서 6명으로 7개조를 편성시킨다.·교사의 지시대로 조를 편성한다.·교사는 구성원간에 도움을 주고 받을 수 있는 상보적 편성, 곧 이질적 편성으로 조를 구성한다.·수업목표 제시(1분)·수업목표를 제시하고 학생들과 함께 읽는 집단조원들끼리 협력하여 해결하도록 한다.·교사의 발문에 다 같이 대답하면서 답을 확인한다.·PPT자료를 보면서 정리한다.강의식조별협력학습PPTPPT·근접식 교육방법을 학생들이 하도록 유도시킨다. 즉, 가장 성적이 우수한 학생이 그 다음 학생을 도와주고, 그학생이 그다음 학생을 도와주는 학생들에게도 가능성 있는 교육이 가능하도록 유도시킨다.2. 이차방정식의풀이 (13분)[예제1]이차방정식을 풀어라.⑴x^2 +4x=0⑵6x^2 +x-2=0·인수분해가 가능한 이차방정식을 직접 풀이함으로써 이차방정식의 일반적인 해법을 알게 한다.·판서를 보면서 이차방정식의 풀이방법을 이해한다.판서이차방정식의 해는 각 인수를 0으로 만들어주는 x의 값임을 강조한다.수업단계수업 내용수업흐름교 수 · 학 습 활 동수업형태수업 매체도달점 및 유의점교 사학 생전개·탐구문제2 제시·수업목표2 제시3.중근을 이용한이차방정식의 풀이 (10분)(예)·x^2 -6x+9=0의 풀이·[예제1]과 유사한 문제를 제시하고, 각자 먼저 풀이해 보고, 잘 모르는 경우 소집단 조별로 협력하거나 교사에게 질문하여 학습할 수 있도록 한다.·학생을 지명하여 발표시킨다.·중근의 뜻을 알고, 이를 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.·PPT를 통해 주어진 이차방정식을 먼저 풀이하고, 중근이 무엇인지 정리해준다.·각자 또는 집단조원끼리 풀이할 때 질문할 사항은 손을 들어 교사에게 질문하여 해결한다.·발표한 학생의 풀이를 보고 자신이 푼 것과 비교하여 정리한다.·수업목표2를 확인한다.·PPT 자료를 보면서 중근의 뜻을 이해한다.조별협력학습강의식판서PPTPPT·인수분해를 바르게 해야 이차방정식의 해가바르게 나올 수있음을 강조한다.중근은 실제로는 근이 하나이나, 중복되어 있는 근으로 일차방정식과는 다른 것임을 이해시킨다.[예제2]4x^2 +4x+1=0의 풀이·판서로 다시 한번 같이 풀이한다.·교사의 풀이를 주의깊게 듣는다.판서·탐구문제3 제시·[예제2]와 유사한 문제를 제시한다.·몇명의 학생을 지명하여 발표시킨다.·탐구과제3을

교육학| 2003.04.06| 14페이지| 2,000원| 조회(1,095)

교육방법, 수업 시나리오, 강의식 지시적 교수법, 소집단 협동학습 교수

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[교육철학] 루돌프 슈타이너의 교육에 관하여 평가B괜찮아요

제1부루돌프 슈타이너의 삶과 교육애제1장루돌프 슈타이너의 삶루돌프 슈타이너는 1861년~1925년까지 건축, 문학, 의학, 예술 등 여러 방면에서 풍부한 성과를 낳은 (그가 이루어놓은 업적은 너무 광범위해서 믿을 수 없을 정도다) 20세기에 천재성을 발휘한 사람 중 한 명이다. 그는 어렸을 적에 물리적 세계만큼이나 실재적이며, 사물과 존재로 가득 차 있는 초감각적 세계의 존재를 알았다. 1913년 모든 성원이 인간과 우주 안에 깃든 영적인 지식을 추구한다는 것을 공통의 원칙으로 삼은 인지학 협회가 그를 리더로 하여 구성되었다. 인지학회 활동, 그 가운데서도 자신의 세계관을 드라마 형태로 상영할 수 있는 괴테관을 건설하고, 도나하에서의 강연 등 슈타이너 자신은 끊임없는 활동을 계속했다. 그는 전 유럽을 여행하면서 정신과학을 옹호하고 다녔는데, 강연은 결코 이론적인 것이 아니라 의술, 농업, 교육 등 실제 활동에 관심을 갖는 것이었다.슈타이너는 기술발달로 인해 생길 20세기초의 위험을 알고 문제는 바깥에만 있는 것이 아니라 인간 존재의 내부에도 있다면서 적극적인 해결책을 제시했다. 그리고 자연과학 시대와 그것이 낳은 결과들이 다른 어떤 것에 의해 균형 잡히지 않으면 인류는 멸망할 것이라는 것을 깨닫고 그가 이것을 밝혀내야 한다는 사명으로 그것을 상쇄할 수 있는 충격을 시도하려고 하였다. 기존 사회개혁가들과는 달리 그는 대중들이 영적 세계에 관한 지식을 가질 만한 시기가 됐으며, 또 윤리적으로 영향력을 행사할 수 있는 개인적인 노력을 함으로써 모든 사람들이 영적 세계에 관해 알 수 있다고 생각하였다. 그는 현세적 이해방식에 영적 지식을 가져다주며, 종교적 주장을 정당화하고, 물리적 세계와 영적 세계를 연결하는 것을 그의 사명으로 알았고 이러한 새로운 발달을 인지학이라고 한다. 인지학은 체제도 아니고, 이론의 묶음도 아니고 교리, 도그마, 우상 숭배도 아니다. 그것은 아주 광범위한 것이다. 인지학은 우리가 사려 깊게 사고할 수 있도록 도와주며, 더 나아가 의식적인 내있지 못하기 때문에 외적인 것만 보고 문제의 핵심을 건드리지 못하고 있다. 제대로 된 교육은 인간 전존재의 발달이어야 한다. 교과를 가르치는 수업은 바로 이러한 목적을 위한 수단이지 교육이라는 목적 자체는 아니다. 교육을 통해 우리는 지적뿐 아니라 감성적으로 발달해야 하며 열정, 내적 유동성, 영혼에 대한 양식까지 길러 줄 수 있어야 한다. 현대의 교육은 물질주의적인 지적 전망을 하도록 이루어지고 있다. 오늘날 자연과학이 발달했고, 또 정신적 삶을 추구하는 여러 가지 종파의 종교도 발달했다. 자연 과학은 인간에 관해 많은 것을 알려준다. 그러나 자연과학은 인간 존재의 본질적인 특성에 관해서는 언급하지 못하고 있다. 자연 과학이 물질 적인 것에 관한 지식을 제공하지만, 세계와 인간은 정신적 힘의 표현이며, 따라서 정신 과학 역시 자연 과학의 상보적인 부분으로 필요하다. 정신과학은 영계를 이해하는데 인간으로서 가능한 지식을 말한다. 여기서 정신이란 말은 비물질적, 초감각적인 것에 사용하는 일반적인 말이다. 정신과학은 시대가 변화함에 따라 여러 가지 변화를 보여왔다. 정신과학은 정신과학 자체를 위해서 연구될 수 있으나 교육에 응용될 수 있다. 인간에 대한 지식을 얻기 위해서 교육자들은 인간 존재의 변화하는 특성을 알아야 할뿐만 아니라 인간 경험의 한계와 세계 진화의 한계를 알아야 한다. 교사는 크고 작은 변화를 관찰함으로써 갈치는 데 올바른 전망을 가질 수 있고, 현 세대를 바르게 접근할 수 있다.과거의 교육은 선택된 일부만을 위한 것이었다. 현대의 교육은 특정 계급, 특정 국가, 전문적 영역에 속하는 사람이 아닌 모든 사람을 위한 것이다. 모든 개별적 존재로서의 인간은 교육을 통해서 자기 고유의 본래적 특성을 발달시켜야 한다.교사는 자기 안의 전체성을 발달시켜야 하고, 살아 있는 인간 본성에 대한 지식을 얻음으로써 획득할 수 있는 것을 아이들에게 말해 주어야 한다. 그리고 학생 스스로의 생각을 격려하고 열매 맺을 수 있게 해서 교사가 학생 장래의 계몽의 방해하지 가 올바른 인생 행로를 발견할 수 있도록 하는 교육이 주어진다면 직업을 구체적으로 선택하게 할 필요가 없다. 현재 인간의 자아 는 과거의 결과이고 인간의 미래는 그의 현재에 달려 있다. 인간은 자신의 운명을 실현할 필요가 있으며 어떤 임의의 방향을 따르도록 설득하는 것이 아니라 그를 과업으로 안내하는 것이 교육의 임무이다. 교육의 한 가지 목적은 개인의 타고난 능력의 계발을 촉진시키고, 타고난 소질을 충분히 확장하도록 허용하는 것이어야 한다. 어린이는 깨어나야 하며, 교사는 깨우는 사람이다. 수업 혹은 교수는 지식을 주입하고 교과를 가르치는 것이라기보다 오히려 교수 매체를 사용하여 능력을 계발하고, 창의력을 고양하는 일이다. 아이들에게 모든 것에 관한 지식과 경험이 주어진다면 모든 능력이 깨어날 것이다. 이것은 종합적 교육과정을 가지고 적절한 시간에 적절한 방법으로 올바른 교과를 제공하는 것을 의미한다.제4장발달 단계에 따른 학습교육을 맡고 있는 교사들은 아동들의 총체적인 삶에 주목하고 관심을 가져야한다.삶에 대한 인지적 관점에서 볼 때 영혼, 정신의 존재는 육체로 구체화되어 나타난다. 육체를 이루고 있는 영혼과 정신의 힘은 태어나기 전에 존재하고 있다가 성장하는 과정을 통해 자기를 드러낸다. 교사는 이 힘들이 어떻게 나타나는가를 알아야 하며, 아이들을 읽어내는 이 기술이야말로 교육적으로 무엇이 필요한가를 해결하는 관건이 된다. 따라서 어떤 내용을 가르치는 데는 일종의 방법과 순서가 필요하다.0~7세 사이, 학교는 이 기간에는 관심을 가질 수 없지만, 실제로는 교육적 징후들은 이 시기에 주어진다. 아이는 어른이 말하는 것을 듣고, 그것이 제대로 된 것이든 아니든 아이들에게 영향을 준다. 어린아이의 교육의 핵심은 본보기와 모방이라고 할 수 있다. 아이들은 주위에서 일어나는 것을 모방하고 받아들인다. 따라서 아이들이 모방할 만한 세계와 도덕적 환경을 제시하는 것이 부모와 아이를 돌보는 사람들이 할 일이다.7~14세 아이들은 학교에 가는 시기이고 이 시기에 지배적인를 유지시킬 것이다. 우울함은 참을성이 필요하다. 이런 어린이는 자신의 신체 기관에 의해 눌려있고, 항상 조용하고 주눅들어 있으며 주변 세계에 관심 없이, 침울하고 내성적이다. 이런 어린이는 그 자신의 분위기 속에서 접근해야 한다. 그의 삶이 근심과 걱정으로 가득하다는 것을 고려하여 생각과 이야기가 주어진다면 그 우울함은 동정과 친근감을 발전시킬 것이다. 무기력한 기질은 세계의 움직임에 대해 흥미 없이 지켜본다. 정체되어 있고, 의존적이며, 주의깊은 사람인 그는 엄청난 가능성을 지니고 있지만, 그것을 일으켜주는 것이 필요하다. 이런 유형의 어린이는 보살핌이 중요한데, 교사가 무기력한 행위를 부과해주면 이것은 어린이를 지루하게 만들어 깨어나게 한다.학급을 운영할 때도 격하기 쉬운 아이들끼리 앉히면 서로 상쇄되고, 쾌활함도 지치고, 우울함도 무기력함도 마찬가지이다. 교사는 개개인의 혹은 그룹을 그들 기질의 특성에 맞는 방식으로 대해주어야 한다.제7장도덕교육도덕성은 오직 내부로부터 형성될 수 있다. 아동들은 이미 부모에게 도덕성에 대한 영향을 받고 있는 상태에서 학교에 입학한다. 따라서 교사는 그 모습 그대로의 아동을 받아들여야 한다. 말하기는 도덕교육에 중요한 역할을 하는데 교사는 자신의 언어를 순화함으로써 아동들에게 좋은 예시를 보여주어야 한다. 아동들의 도덕성은 감사, 사랑, 의무를 계발하는 차원에서 제공되어야한다. 도덕은 교훈적 수단에 의해 가르칠 수 없으며. 5~7세의 아이는 이야기나 동화를 통해 반드시 선과 악, 선을 사랑하고 악을 미워하는 , 그리고 도덕적인 것에 동의하고 비도덕적인 것인 것에 반감을 갖도록 하는 것을 배워야 한다. 14세 이후에는 교사에 의해 아동기에 각인된 도덕성을 그대로 받아들인다. 감사와 사랑의 마음이 충만하게 되면, 의무에 대한 감각이 지속적으로 성장하게 된다.제8장교육행위아동들에게 교사로서의 권위를 바탕으로 하여 올바른 것을 제시해 주는 것은 교수 학습의 기본이다. 여기에 질서를 전제로 한, 어떤 특별한 교육적 요소들이 첨가되력하여야 한다.제3부루돌프 슈타이너 교육론의 기초(2)제1장언어교육모국어를 터득하는 가장 우선적이고 중요한 방법은 듣기와 말하기를 통해서 배우는 것이다. 물론 아동이 학교에 입학할 때에는 어느 정도 말할 줄도 알며 그들이 듣는 말을 이해할 줄도 알지만, 교사는 이러한 능력들을 더욱 계발시켜 주어야 한다. 이해하는 연습은 좀 시간이 흐른 후에 행해야 할 것이지만 말하는 연습은 즉각적으로 행해져야 한다. 교사는 학생이 명확하게 모든 음절을 발음하는 완전한 문장으로 말할 수 있도록 독려해야 하는 것이다.당연히 교사는 명쾌하고, 지성적이며, 예술적으로 사용할 수 있도록 교육받은 것을 전제로 하며, 학생들에게 있어 처음 몇 년간의 학교 생활중에는 언어의 건전한 면을 숙지하도록 연습하는 것이 중요하다.말하는 능력의 배양하는 가장 좋은 방법 가운데 하나는 시(詩)를 집단적으로, 그리고 개인적으로 낭송하는 것이다.6~7세의 아동이 자신을 표현하는 일은 그다지 쉽지 않은 일이라서 그의 상상력에 불을 지펴줄 모종의 자극이 필요하다. 들은 것을 다시 말하게 하는 연습에는 요정 이야기가 이상적이다. 이어서 8~9세의 아동에게는 동물이야기나 우화를 추천할 만하다.9세의 아동에게는 구약 성서 이야기가 적합하고, 10세에는 고대사나 북구 신화가, 11세에는 중세사나 그리스 신화가, 12세에는 근대사와 로마 신화가, 13세에는 다른 민족의 설화가, 그리고 14세에는 다양한 민족의 학문을 배우는 것이 적당하다.이러한 재료는 영혼에 영향을 공급할 뿐만 아니라 아동의 생각을 자라게 하기도 하는 것이다. 이때 교사는 이야기가 시종일관 조용한 분위기 속에서 진행될 수 있도록 하여야 하며, 말을 부풀리지 말고, 그가 한 말이 마술과도 같이 학생의 마음속에 그림을 그려 놓도록 그대로 놔두어야 한다.쓰기와 읽기읽고 쓰는 법을 배우는 것은 10~11세 즈음에 배우는 것으로 충분하다. 사회적·관습적 이유로 해서 아동이 이러한 것을 더 일찍 배울 수도 있지만 그렇다고 원칙이 바뀌는 것은 아니다. 오히려 읽고다.

교육학| 2003.04.06| 11페이지| 1,000원| 조회(923)

교육철학, 루돌프 슈타이너, 독일 대안학교

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[수학교육]6차 수학교육과정과 7차 수학교육과정의 비교,분석 평가A+최고예요

제6차 수학교육과정과제7차 수학교육과정의 비교1. 수학과 교육 과정 개정의 배경2. 수학과 교육 과정의 변천3. 교과목별 6차,7차 수학교육과정비교해설〈수학(10 단계)〉〈실용 수학〉〈수학 I〉〈수학 II〉〈미분과 적분〉〈확률과 통계〉〈이산 수학〉1. 수학과 교육 과정 개정의 배경가. 개정의 필요성21 세기의 사회는 지식 기반 정보화 사회로 특징지워지며, 이에 적합한 교육은 단순 기능인의 양성보다는 자기 주도적으로 지적 가치를 창조할 수 있는 자율적이고, 창의적인 인간의 육성에 그 중점을 두어야 한다. 이에 대비하기 위한 수학과의 역할은 수학의 기본적인 지식과 기능을 습득하고, 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 토대로 탐구하고 예측하여 실생활의 여러 가지 문제를 합리적으로 해결하며, 창의적인 문제 해결력을 배양시키는 것이다. 이전의 수학 교육 과정에서도 문제 해결력의 신장은 교육 과정의 중요한 목표로 추구되어 왔으나, 제 7 차 교육 과정에서는 문제 해결력과 더불어 제반 고등 사고 능력을 함께 포함하는 '수학적 힘(mathematical power)'의 신장을 그 목표로 하고 있다. 여기서, 수학적 힘이란 창의적 사고력, 논리적 사고력, 비판적 사고력, 문제 해결 능력, 추론 능력, 의사 소통 능력, 수학에 대한 자신감과 긍정적인 태도, 수학과 인접 학문과의 관련성 및 수학의 유용성 인식 등을 포함하는 포괄적인 개념이다. 수학 교육 과정이라는 측면에서 우리 나라와 상호 큰 영향력을 미쳐 온 일본은 1998년 12월 우리 나라의 교육 과정에 해당하는 학습 지도 요령을 발표하였는데, 새 학습 지도 요령에서 중요한 목표로 삼은 것이 바로 '삶의 역량의 육성'이다. 여기서, 삶의 역량이란 일상 생활에서 수학을 활용할 수 있는 능력 배양을 말하며, 우리 나라가 설정한 수학적 힘의 신장과 유사하다고 할 수 있다.시대의 흐름에 따라 요구되는 수학적 능력도 다소 변화된다고 할 수 있다. 예를 들어, 시대에 따라 알고리즘을 위주로 하는 계산적인 수학이 중요한 위치를 차지하은 학생의 학습 능력을 기준으로 단계로 대별하여 차별화된 내용을 제공하면서, 단계 내에 심화 과정과 보충 과정을 부차적으로 두어 단계 내 학생들의 수준 차이에 대해서도 대응하도록 정교하게 구성되어 있다. 즉, 교육 과정의 내용을 핵심 내용과 선택 내용으로 분화시키고, 핵심 내용은 기본 과정에, 선택 내용은 심화 과정에 배치하였다. 교육 과정에 명시적으로 구체적인 내용이 제시되어 있지는 않지만, 보충 과정의 선정 기준을 제시하여 학교나 학생의 수준에 따라 보충 과정도 운영할 수 있도록 하였다. 다시 말해, 교육 과정의 내용 요소를 기본적인 골격이 되는 기본 과정과 보충 과정, 이를 실생활에 응용하는 심화 내용으로 구분하고, 학생들의 수준에 따라 선택적으로 학습할 수 있도록 하였다.제 7 차 교육 과정에서 추구하는 또다른 중요한 항목 중의 하나는 학습 내용의 적정화이다. 교육 내용의 적정화라면 대개 내용의 삭제, 추가, 약화, 강화, 이동 등이 포함되나, 제 7 차 교육 과정에서 주로 의도한 바는 학생의 학습 부담 경감을 위한 내용의 축소와 경감이다. 사실 교육 내용의 양에 대한 방침은 제 4 차 교육 과정이래 일관되게 내용의 축소와 약화로 이어져 왔다. 교육 내용의 축소와 약화는 제 4 차, 제 5 차, 제 6 차 교육 과정 개정에서 소극적으로 이루어졌으나, 제 7 차 교육 과정 개정의 가장 중요한 방향의 하나로 설정되었다. 특히, 제 7 차 교육 과정에서는 기존보다 더욱 구체적인 지침을 마련하여 수학 교과의 내용을 이전에 비하여 약 30 % 정도 축소 조정할 것을 지침으로 삼기도 하였다. 사실, 수학 교육 과정의 양을 축소하고 경감시키자는 방침은 비단 우리 나라만의 경향은 아니다. 일본의 경우에도 새로운 수학 학습 지도요령에서 수학 내용을 엄선하여 학습 내용의1over3경감을 목표로 하였으며, 수학 학습 양의 축소 조정은 여러 나라에서 공통적으로 이루어지고 있는 경향이라고 할 수 있다.그 외에 개정의 기본 방향으로 논의될 수 있는 것은 교수·학습과 평가의 다양구체적인 조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학적 경험을 통하여 형식이나 관계를 발견하고, 수학적 개념, 원리, 법칙 등을 이해한다.또, 수학적 문제를 해결할 때에는 먼저 문제를 분명히 이해한 후, 문제 해결을 위한 합리적이고 창의적인 해결 계획을 작성하여 실행한 다음, 반성 과정을 거치는 사고 태도를 거치도록 한다. 그리고 수학적 지식과 기능을 활용하여 실생활의 여러 가지 문제를 해결해 봄으로써 수학의 필요성과 실용성 등을 인식할 수 있게 하여 수학에 대한 긍정적인 태도를 가지게 한다.수학의 학습을 통하여 학생들은 수학의 기초적인 개념, 원리, 법칙을 습득하고 기능을 익혀, 자연과 사회에서 일어나는 현상이나 문제를 수학적인 방법으로 조직하고 해결할 수 있는 문제 해결 능력을 높이며, 유연하고 다양한 사고 활동을 통하여 수학적 사고력과 창의력을 배양할 수 있다.2. 신·구 교육 과정 비교제 7 차 수학과 교육 과정은 1 학년부터 10 학년까지의 10년 동안을 국민 공통 기본 교육 기간으로 설정하여 단계형 수준별 교육 과정으로 구성·운영하도록 되어 있다. 이에 따라 교과목명, 편제, 성격과 목표, 영역명, 내용, 교수·학습 방법, 평가에 걸쳐 제 6 차 수학과 교육 과정에 비하여 상당히 많은 변화를 가져왔다. 그 내용을 요약하면 다음과 같다.가. 교과목명, 편제, 성격과 목표, 영역명구 분제 6 차 교육 과정제 7 차 교육 과정비 고과목명공통 수학10 단계 수학시 수136136교 육 과 정 체 제1 . 성격2 . 목표3 . 내용가. 내용 체계나. 학년별 내용내용 진술용어와 기호4. 방법5. 평가1. 성격2. 목표3. 내용가. 내용 체계나. 단계별 내용(1) 목표(2) 내용내용 진술용어와 기호학습 지도상의 유의점심화 과정4. 교수·학습 방법5. 평가. 교육 과정 전체 체제 통일. 단계별 목표 진술. 영역별로 학습 지도상의 유의점 제시. 영역별로 심화 과정 제시성 격. 수학과 교과 성격 규명.논리적 사고력, 합리적인 문제 해결 능력과 태도 육성.필수적인 도구 교과로정비 고대단원내 용대단원내 용Ⅴ. 함수1. 함수-함수-합성함수-역함수Ⅲ.규칙성과 함수1. 함수2. 이차함수의 활용3. 유리함수와 무리함수1.1 함수의 뜻과 그래프-함수의 뜻/함수의 그래프/일대일 대응, 항등함수, 상수함수1.2 합성함수1.3 역함수2.1 이차함수의 최대, 최소-이차함수의 꼭지점의 좌표와 축의 방정식/이차함수의 최대값과 최소값2.2 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계-이차함수의 그래프와 직선의 교점2.3 이차함수와 이차방정식, 이차부등식 사이의 관계-이차함수의 그래프와 이차방정식/이차함수의 그래프와 이차부등식3.1 유리함수와 무리함수의 뜻-유리함수와 분수함수의 뜻/점근선3.2 유리함수y= {ax+b} over {cx+d}의 그래프3.3 무리함수y=sqrt {ax+b} +c의 그래프-함수 개념을 두 집합의 원소 사이의 대응을 통하여 다룬다.-삼차함수의 그래프 삭제2. 유리함수와 무리함수-이차함수와 그 활용-삼차함수-유리함수-무리함수Ⅵ.지수함수와 로그함수1. 지수함수지수함수와 그래프-지수방정식과 지수부등식2. 로그함수-로그함수와 그래프-로그방정식과 로그부등식-지수와 로그, 지수함수와 로그함수 삭제Ⅶ.삼각함수1. 삼각함수-삼각함수-삼각함수의 그래프-삼각함수의 성질-삼각형에의 응용Ⅳ. 삼각함수1. 삼각함수와 그 그래프2. 삼각형에의 응용1.1 일반각과 호도법-일반각의 뜻/호도법의 뜻과 육십분법의 관계1.2 삼각함수의 뜻-삼각함수의 정의1.3 사인, 코사인, 탄젠트의 그래프와 성질-y= sinx `의 그래프와 성질/y= cosx `의 그래프와 성질/y= tanx `의 그래프와 성질1.4 삼각함수의 성질-삼각함수의 여러 성질과 상호 관계1.5 삼각방정식과 삼각부등식-삼각방정식과 삼각부등식 풀기2.1 사인법칙과 코사인법칙-삼각형의 각과 변 사이의 관계2.2 삼각형의 넓이-사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 삼각형의 넓이 구하기-삼각함수의 그래프는 사인, 코사인, 탄젠트에 대해서만 다룬다.-삼각방정식과 삼각부등식에서 일반해는 다루지 않는다.다. 교수·학습 방법 생활 관리, 명제와 진리표, 행렬, 수열, 극한, 미분법과 적분법, 삼각함수와 복소수, 벡터, 확률과 통계* 4 개 영역으로 구성. 계산기와 컴퓨터, 경제 생활, 생활 통계, 생활 문제 해결. 시간 배당 기준 축소에 따라 6 개 영역 폐지내용 제시 방법. 각 영역별 학습 요소 제시. 각 영역별로 학습 내용과 수준 진술. 각 영역별로 용어와 기호, 학습 지도상의 유의점 제시나. 영역별 주요 내용 비교표영 역제 6 차 교육 과정제 7 차 교육 과정비 고계산기와 컴퓨터. 계산기. 컴퓨터. 계산기. 컴퓨터. 컴퓨터 소프트웨어 활용 추가생활 관리(경제 생활). 생활 계획. 수입과 지출. 은행의 이용. 보험의 이용. 영역명을 생활 관리에서 경제 생활로 변경대 수. 명제와 진리표. 행렬. 수열. 삭제해 석. 극한. 미분법과 적분법. 삼각함수와 복소수. 삭제기 하. 벡터. 삭제확률과 통계. 순열과 조합. 확률. 통계. 자료의 정리와 요약. 확률과 통계의 활용. 기술 통계 내용 추가생활 문제 해결. 생활 문제 해결. 컴퓨터를 활용한 문제 해결. 신설수 학Ⅰ1. 성 격10 단계 수학을 이수한 학생들은 보다 전문적인 진로를 고려하게 되는 바, 10 단계까지의 수학보다 높은 수준을 요구하는 학생들을 위해 '수학 Ⅰ'을 설정하였다. '수학 Ⅰ'은 심화 선택 과목이며, 보다 높은 수준인 '수학 Ⅱ'를 학습하기 위한 전 단계의 내용으로 구성되어 있는데, 교육 과정에서는 그 성격을 다음과 같이 서술하였다.'수학 Ⅰ'은 국민 공통 기본 교육 기간의 10 단계 수학을 이수한 다음, 보다 높은 수준의 수학을 학습하기 위하여 선택할 수 있는 첫 단계 과목으로서, 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 이해하고 수학적 사고력, 논리적 추론 능력을 키워 문제를 합리적이고 창의적으로 해결하는 능력과 태도를 기르게 하며, '수학 Ⅱ' 과목 이수에 기초가 된다. 이 과목은 대학 진학을 희망하는 모든 학생들이 이수하기에 알맞은 과목이다.'수학 Ⅰ'의 내용은 '대수' 영역에서 지수와 로그, 행렬, 수열, '해

교육학| 2003.01.12| 27페이지| 2,000원| 조회(1,204)

교육, 수학, 교육과정

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