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Random Signal 5장

5장은 매우 중요하니, 그 구절 하나하나를 외워야 할 정도로 공부하는 것이 제어전공의 지름길이라.5.The Discrete Kalman Filter, State-Space Modeling, and Simulation.최적 필터 문제의 Wiener solution의 결과의 끝은, 연속시스템의 경우에 필터의 가중함수(전달함수)를 구하는 것이고, 이산시스템이 경우에는 가중계수들을 구하는 것이 된다. 사실상, 이것은 현재의 시스템의 출력을 구하는 최적추정자의 문제로, 과거의 데이터를 어떻게 조합하여 현재의 값을 구하는가 하는 것이다. 불행하게도 Wiener solution은 좀 복잡한 time-variable이나 다변수시스템에는 적용하기 어렵다. 1960년에, Kalman은 state-space에서 최소제곱평균오차 필터를 구하는 또 다른 방법을 제시하였다. 공학자들, 특히 항법분야에 종사하는 공학자들은 위너방법으로는 다룰 수 없던 문제들에 칼만방법을 사용할 수 있음을 파악하였다. 칼만의 방법과 해는 시스템을 상태변수벡터를 이용하고 있고, 또 결과식이 입력데이터의 순환식으로 계산될 수 있었다. 여기에서는 먼저 이산시스템에서의 선형필터를 순환식으로 구성하는 것을 살펴보도록 하자.5.1 A Simple Recursive Example.이산데이터를 처리할 때에 중요한 문제점 중의 하나는 주어진 문제가 수학적으로 뿐만이 아니라 계산이 가능하겠나 하는 점이다. 간단한 예를 하나 살펴보자. 잡음이 섞인 측정치로부터 Random constant의 mean 값을 estimation 하는 문제에 관하여 고찰한다. 우리는 Sample mean을 구하도록 하고, 다음의 새 측정치를 사용할 수 있을 때에 이를 이용하여 새로운 평균치를 구한다고 가정한다. 이는 Data를 on-line처리하는 과정과 같이 생각할 수 있다. measurement sequence를{z}_{1},{z}_{2},… 와 같이 표기한다. 여기서 첨자는 각각의 measurement가 얻어진 시간을 나타낸다. data를 처우리는 sine과 cosine의 계수가 state variables가 된다고 하자.x prime _1과x prime_2를 정의하면 다음과 같다:(5. 2. 22)그러면 state 방정식은 다음과 같다.(5. 2. 23)(5. 2. 24)주의할 것은 model 2의 유동성을 설명하는 F 행렬이 model 1의 F 행렬을 만드는 것 보다 더욱 간단하다는 것이다. 하지만 이것은 더욱 복잡한 출력 행렬을 가져오게 된 다. 이것은 time-variable의 요소를 포함하고 있다는 것에 유의해야 한다. 하지만 주어진 모델은 여전히 선형적이다.또 하나의 random harmonic motion의 특별한 형태는 진폭이 Rayleigh분포를 가지며, 그 위상이 uniform분포를 지닌 랜덤신호이다. 이것은x prime_1과x prime_2가 서로 독립적이며 영평균 가우시안 random variable일 경우이다. 이것은 2. 12장에서의 narrowband의 토의로부터 명백할 것이고, 출력 방정식은y는x prime_1 ,x prime_2에 관계되어짐에 유의하고 다음과 같이 쓸 수 있다.(5. 2. 25)바로 앞의 예제들은 벡터 형태의 모델이라 할 수 있는 많은 processses의 몇가지 뿐이다. stationarity라는 가정은 필요치 않다. 유일한 요구사항은 어떤 방법으로든 입력을 백색잡음으로 하는 선형미분방정식으로 표현되어져야 한다는 점이다. 여기에서 state variable의 수를 선택할 수 없다는 점이 중요하다. 오히려, state vector안에 있는 요소의 수는 백색잡음으로 구동되는 시스템의 차수로 고정되어 있게된다. 이것은 state model이 정확하게 그 상황을 나타내는 것이라면, 반드시 고수되어야 할 기본적인 사항이다. 공학에는 너절한 모델링의 예들이 많이 있고 따라서 독자들은 주의해야 한다.또한, random process의 벡터 모델은 유일무이한 것이 아니라는 점을 기억하라. 당신은 state variables의 집합에 대해 어떠한 nonsingula}_{ k+1}사이의 구간을 갖는 상수라 가정하자. 그러면 state transition matrix는F TRIANGLE t의 행렬 지수함수로 간단히 된다{ }_{ k} = { e}^{F TRIANGLE t} =I+F TRIANGLE t+ { {(F TRIANGLE t)}^{2}} over {2! } + ...(5.3.21)여기서TRIANGLE t는 step size이다. 이것은 특히 MATLAB의 expm 함수를 사용하면 쉽게 값을 구할 수 있다. 예제가 이것을 설명해 줄 것이다.EXAMPLE 5.45.2절에서 논의된 harmonic motion process에 대해 생각해 보자.(Eq. (5.2.20)을 보라) 이 예제에서 우리는{ w}_{0 }=1 그리고TRIANGLE t=0.1이라 하자.F TRIANGLE t는 다음과 같다.F TRIANGLE t= BMATRIX { {0 }& { }& { .1}#{ -.1}& { }& { 0} }실행중인 MATLAB의 expm 함수는 산출 해낼 것이다.expm(fdt)= BMATRIX { {.9950 }& { }& {.0998 }#{ -.0998}& { }& {.9950 } }{ Q}_{k }의 값을 구하는 것은{ }_{ k}를 구하는 것처럼 쉽지 않다. 이를 구하는 한가지 방법으로 Eq. (5.3.6)으로 주어지는 정의식을 이용하는 방법이 있는데, 이는 작은 구간에서TRIANGLE t의 1차 근사치를 사용하여{ Q}_{k }값을 구하는 방법이다. 이것은 전체 구간에 대해 작은 시간에 따라 전개되는{ Q}_{k }를 구하고 이를 전 구간으로 확장하여 전구간에서의 값을 구한다. 참고문헌(7)에 의하면, 이와 같은 방법을 조심하여 사용하면,{ Q}_{k }를 구할 수 있게 된다. 그러나 그것은 가장 능률적이거나 편리한 방법은 아니다. 우리는 먼저 일반적인 time-variable case를 살펴볼 것이고, 나중에 fixed- parameter case에 대해 생각해 볼 것이다.{ Q}_{k }가 다음의 행렬 미분 방정식을 때의 출력과 상태변수들은 w(0)으로부터 영향을 받지 않는다.k=1일 때 :k=1일 때의 출력과 상태변수들은 w(0)으로부터 영향을 받지만, w(0)으로부터는 영향을 받지 않는다.k=2일 때 :앞에서와 마찬가지로 k=2일 때 그 상태와 출력이 현재의 입력의 w(2)에 의존하지 않는다는 것을 유의하자. 사실상 이것은 표기법의 문제이고 Section 5.5.에서는 더 중요하게 다룬다. 개념적으로 시스템의 출력과 상태변수보다 한 스텝 먼저 입력된 백색신호를 상상할 수 있다. 즉, y(1)은 입력 w(0)가 들어와야 나타날 수 있고, 또 y(2)는 w(0)과 w(1)를 알아야 계산될 수 있으며, y(3)는 w(0), w(1), 그리고 w(2)가 입력되어야 계산이 가능한 것이다. 실시간인 경우를 생각해보면, 시간 k에서는 w(k)값을 알수 없으며, 다만 알고 있는 분산값을 가진 영평균의 신호라는 것만을 알고 있는 것이다. 따라서 시간이 k+1이 되어야만이 그 값이 얼마인지를 알수 있는 것이다.이 예제를 마치기 전에 마지막으로 주어진 값들이 원래의 ARMA모델(Eq.(5.3.40))을 만족시키는가 하는 점이다. 우리는 k=0인 경우 이것을 검사하기 위한 충분한 단계를 거쳐왔다. 앞에서 구한 y(0) ,y(1), y(2)의 값과 w(0)와 w(1)을 원식에 대입하면 다음의 등식이 확인된다.(.5)-(.5) + (.5)(0)= (.5)(-.5) + (.25)(1.0)스칼라 양 y에 관한 미분방정식의 초기조건 즉, y(0), y(1)은 state 변수들의 초기조건x_1`(0)와x_2`(0)하고는 다르며, 같을 수 없다. 그것들은 대수적으로 관계가 있다. 그러나 state변수들이 매개변수로 사용되는 위상변수들로 y(k)과 y(k+1)가 같지 않으므로, 이들과 때문에 일대일 대응이 아니다.마지막으로 언급할 내용은 주어진 시스템에 대한 state-space 모델은 유일하지 않다는 점이다. 실제로 주어진 상태변수 방정식에 상배변수에 nonsingular변환을 적용하면 다른 상태변수~~~~~~~~~~~~~~~~~~~i≠kRIGHT } #E[w_k v_i^T]=0, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~for ~all~ k ~and~ iE[w_k v_i^T]=0,~~~~~~~~~~~~~~~~for~all~k~ and~i여기에서 시간t_k에서 그 이전의 모든 정보로부터 추정한 추정치{{hat x}_k}^-를 가정하자. 여기에서 상부의 hat은 추정치를 의미하고, 상부첨자'-'는 특정치가 입력되는 시간t_k이전의 모든 정보로부터 추정한 선험추정치를 의미한다. ( 여기에서의 상부첨자는 앞에서의 spectral factorization과는 다른 의미이다.) 또한{{hat x}_k}^-의 오차와 그 오차공분산을 알고 있는 값으로 다음과 같이 나타난다고 하자.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~e_k^- =x_k -x_k^-P_k^- =E[e_k^- e_k^-T ] =E[(x_k - x_k^- )(x_k -x_k^- )^T ]대부분의 경우에서는 측정치가 없이 추정자를 구동시키기 시작한다. 이 같은 경우에 x의 평균이 0이라면, 그 초기조건을 0으로 하고, 그 error covariance matrix는 단지 x 자신의 covariance matrix로 초기치를 설정한다.이와 같은 선험추정치(측정치가 없이 설정한 추정치) x(?)로부터 측정치 zk를 이용하여 새로운 추정치를 구하여야 한다. 우리는 noisy measurement와 선험추정치를 다음 식과 같이 선형결합시키는 관계식을 선택한다.식(5.5.8)보강추정치결합계수(필터이득:아직 결정되지 않았음)Eq(5.5.8)과 같은 특별한 형태의 방정식의 정의는 5.8 절까지 미룰 것이다. 지금 문제는 어떤 조건 안에서 optimal인 updated estimate를 나타내는 particular blending factor Kk를 찾아야 한다. Wiener필터를 구할 때와 같이 필터의 성능지표로 오차의 최소제곱평균으로 사용한다. 이를 위하여 먼저 updated estimate에 관한 error covariance오)

공학/기술| 2000.12.28| 28페이지| 1,000원| 조회(703)

Random, Kalman, 확률, 제어계측

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Random Signal 4장

4. Wiener Filtering이제부터는 필터이론의 중요한 분야인 최소제곱필터에 관하여 고찰할 것이다. 실제로는 단순히 오차의 최곱을 최소화하는 것이 아니고, 오차의 제곱평균을 최소로 하는 것으로 단순히 최소제곱필터라고 부를 수 없다. 사실 선형최소제곱평균필터라고 부르는 것이 타당하며, 이를 MMSE라고 하기도 한다. 선형 MMSE필터를 간단히 다음과 같이 말할 수 있다. : 그 스펙트럼특성이 알려진 신호와 잡음이 주어졌을 때, 이 합쳐진 신호로부터 가장 잘 신호와 잡음을 선형적으로 분리할 수 있는 것은 무엇인가? 여기에서 "가장 잘"이라는 의미는 오차의 제곱평균을 최소로 하는 것을 말한다. 이러한 분야의 연구는 1940년대 N.Wiener가 시작하였고, 이후 1960년대에 R.E. Kalman이 state-space방법이라는 다른 도구를 사용하여 완성하게 된다. 특히 Kalman의 결과는 다변수시스템, 시변시스템에도 적용할 수 있어 이의 응용분야도 확장되었다.여기에서는 Wiener로부터 Kalman에 이어지는 필터이론의 과정을 살펴본다. 구체적인 이론을 미리 다루지 않고, 다만 간단히 언급하도록 한다.4.1 위너필터문제필터의 목적은 어떤 것에서 다른 것을 분리하는 것이다. 전기에서의 필터는 명시된 주파수 범위의 신호는 통과시키고, 그 범위 밖의 신호성분은 제거하는 것을 의미한다. 역사적으로 이러한 필터는 원하는 주파수응답을 얻기 위한 회로를 구성하기 위하여 시작되었다. 이러한 문제는 아직도 중요한 문제로 남아 있다. 통신과 제어에 있는 많은 응용문제에서는 직관적으로 이상적인 주파수응답을 구할 수 있다. 예를 들면, 우리가 특별한 AM방송국으로부터 그 신호를 받기를 원한다면(그리고 정확하게 할 수 있다), 적절한 필터가 그 할당받은 방송국주파수의 수KHz 내의 성분들을 통과시키고, 나머지 모두는 제거하게 된다. 이 경우에는 지정된 주파수응답을 결정하기 위하여 특별한 이론이 요구되지 않는다. 다만 회로설계의 문제일 따름이다. 제 2차 세계 대전 동안에, No하기 위한 적절한 타협점에 관하여서도 명백한 기준이 없다. 이것은 1940년에 시작된 Wiener문제입니다. 우리는 그가 적절한 저항이나 콘덴서 등의 전기소자들로 이를 구성하려 한 것이 아니란 것에 유의합니다. 그의 문제점은 더 본질적이었습니다; 잡음에서 신호를 가장 효율적으로 분리할 필터의 주파수 응답은 어떤 것일까?이러한 문제는 Wiener필터이론이라 하며 다음과 같은 특성을 지니고 있다.1. 가정 : 신호와 잡음이 스펙트럼이나 auto-또는 crosscorrelation이 주어진 랜덤프로세스.2. 성능지표 : MMSE. 이것은 부분적으로 그 문제점을 수학적으로 다루기 쉽게 만드는 것입니다. 그것은 또한 많은 응용에서 좋은 실제적인 기준입니다.3. 결과식 : 최적필터가중함수 (또는 stationary인 겨웅에는 전달함수 )우리는 이제 최적필터의 문제까지 나아갑니다.4.2 매개변수로의 최적화초기의 확률필터최적화는 요즘 유명한 RLS의 제25권에 R.S Phillips가 소개하였다. 그의 접근방법은 wiener의 것보다 덜 일반적이지만, 많은 응용에 아직까지도 유용하다. 이 방법은 한 두개의 매개변수를 결정하지 않은 필터의 전달함수를 직관으로 구한다. 그리고 미정매개변수를 오차의 제곱평균이 최소가 되도록 결정한다.우리는 phillip의 방법의 진행의 예제를 보기 전에 필터의 mean-square에러 표현의 유도가 필요하다. 그림 4.2에서 보이고 있는 필터의 라플라스 변환에서 필터의 출력은 다음과 같다.X(s)=G(s)[S(s) + N(s)](4.1.2)우리는 필터에러를 신호의 실제출력과 우리가 바라는 이상의 값 사이에 차이와 같이 정의한다. 그러므로e(t)=s(t)-x(t)(4.2.2)이고E(s)=S(s)-X(s)(4.2.3)식 (4.2.1)을 식 (4.2.3)으로 대신한다.E(s)=S(s)-G(s)[S(s)+N(s)]=[1-G(s)]S(s)-[G(s)]N(s)(4.2.4)에러는 두요소의 superposition으로 생각할 수 있고, 하나는 변환함수[1-G()G(-s) { S}_{n }(s)ds(4.2.5)우리는 이제s(t) 와~~ n(t)의 스펙트럼과 필터의 전달함수로 오차의 mean-square함수에 관한 명백한 표현을 가지게 된다.G(s)가 변화에 자유로운 매개변수를 포함한다면 우리는 이제 매개변수를 주목함으로E({e}^{2})의 최소값을 일반적인 미분의 계산으로 구할 수 있다.이제 예제로 나아가자EXAMPLE 4.1그림 4.1에 보여진 것처럼 white-noise와 Gauss-Markov 신호를 생각해 보자. 노이즈로부터 신호를 분리하는 저역통과필터가 필요하게 된다. 다음과 같은 간단한 1차필터로 한번 해보자.G(s)= { 1} over {1+Ts }우리는 이제G(s)의 함수적인 항을 규정하였고, 식(4.2.5)을 이용할 수 있다.G(s)={1}over{1+Ts}={1/T}over{s+(1/T)}1-G(s)=1-{1}over{1+Ts}={s}over{s+(1/T)}{ S}_{s }(s)={2 { sigma}^{2 }beta }over{{-s}^{2}+{beta}^{2}}={ SQRT { 2{sigma}^{2}beta} }over{s+beta} CDOT {SQRT{2{sigma}^{2}beta }}over{-s+beta}{S}_{n}(s)=A= SQRT {A }CDOT SQRT{A}식 (4.2.5)에 위에서 구한 값들을 대입하고, 3.4절의 적분테이블을 이용해E({e}^{2})의 값을 구한다.E({e}^{2})={{sigma}^{2}betaT}over{1+betaT}+{A}over{2T}(4.2.6)우리는 미분학을 이용하여 T가 변할 때의 최소값을 구한다.E({e}^{2})는 다음의 식을 만족할 때 최소값이다.T={SQRT{A}}over{sigmaSQRT{2beta}-beta SQRT{A} }(4.2.7)일반적인 매개변수의 값으로 양의 T값을 산출한다는 것은 흥미롭다. 음의 T는 0에서 무한대까지의 범위에 상대적인 최소값이 존재하지 않는다는 걸 의미한다.필터 전달함수가 임의로 선택되었기 때문에, 얻어진 최소는 스펙트럼함수)로써 알려진 분산 이 안정한 신호와 잡음의 덧셈 결합이다.2. 필터는 선형적이고 시불변이다. 더 이상의 다른 어떠한 가정도 없다.3. 출력은 covariance stationary하다.(어떠한 switching 작동이래 긴 시간이 경과되었다.)4. 성능지표는e(t)=s(t+alpha)-x(t)로 정의된 mean-square에러의 최소값이다.일반적인 필터전달함수의 형태와 마찬가지로 이산적인 필터의 출력도 출력s(t)대신에 일반적인 츨력s(t+alpha)로 표현하여 보자. 여기에서 다음의 매개변수alpha에 따르는 용어들을 살펴보자.1.alpha가 양일때 : 예측문제라 한다. 필터는 현재시간 t보다alpha만큼 앞선 신호를 추정한다.2.alpha=0: 필터문제라 부른다. (전에 우리가 고려했던 일반적인 문제이다.)3.음의 alpha: 스무딩문제라 한다. (필터는alpha만큼 지난 과거의 신호값을 추정한다.)이것은 중요한 일반화이고, 각각에 해당되는 실제적용문제들이 다수 있다. 매개변수alpha는 매번 용도에 알맞게 선택되며, 최적화 과정에서는 고정되어 사용된다.우리는 필터에러를 다음과 정의함에 의해 시작한다.e(t)=s(t+alpha)-x(t)(4.3.1)에러의 제곱은 다음과 같고{e}^{2}(t)={s}^{2}(t+alpha)-2s(t+alpha)x(t)+{x}^{2}(t)(4.3.2)적분을 컨볼류선식으로x(t)을 다음에 적는다.INT _{ - INF }^{INF }g(u)[s(t-u)+n(t-u)]du(4.3.3)이것을 식(4.3.2)에 대입하여 평균을 다음과 같이 구한다.E({e}^{2})= INT _{ -INF }^{INF } INT _{ -INF }^{INF }g(u)g(v){R}_{s+n}(u-v)du dv-2 INT _{-INF }^{INF }g(u){R}_{s+n,s}(alpha +u)du +{R}_{s}(0)(4.3.4)여기에서{R}_{s}=s(t)의 autocorrelation 함수이다{R}_{s+n}=s(t)+n(t)의 auto로 해결할 수 있다.(참고문헌5) 이 방법을 이용하기 위하여g(u)를 교란된 가중함수g(u) + epsilon eta(u)로 치환한다.여기에서g(u): 가중함수의 최적조건[ 해에서g(u)는 최적의 weighting함수를 의미한다.eta(u): 임의의 교란함수이다.epsilon:epsilon이 0으로 가면 교란가중함수가 최적으로 되는 교란인자이다.최적가중함수와 교란가중함수가 그림 4.4에 그려졌다. 식(4.3.4)에서g(u)를g(u)+epsilon eta(u)으로 치환하면,E({e}^{2})=INT _{-INF }^{INF } INT _{-INF }^{INF }[g(u)+ epsilon eta (u) ][g(v)+epsilon eta (v)]{R}_{s+n}(u-v)du dv-2 INT _{-INF }^{INF }[g(u)+epsilon eta (u)]{R}_{s+n,s}(alpha+u)du +{R}_{s}(0)(4.3.6)이제E({e}^{2})이epsilon의 함수이고,epsilon=0일 때 최소가 된다는 걸 주목하라. 미분학을 이용하면,E({e}^{2})을epsilon으로 미분하고 결과를 0으로 하면epsilon=0의 결과와 같다. 적분변수를 교환하여 정리하면,INT _{-INF }^{INF } eta ( tau )[-{R}_{s+n,s}(alpha+tau)+INT _{- INF }^{INF }g(u){R}_{s+n}(u-tau)du ]d tau=0(4.3.7)해를 구하기에 복잡하므로 causal한 경우와 noncausal한 경우로 나누는 것이 유리하다.Noncausal Solution ( 상윤이가 빼먹었음. )필터가중함수에 아무런 제약을 두지 않으면 음과 양의 u에 관한 g(u)를 구할 수 있다. 이와 같이 구한 g(u)는 실시간에서 사용이 불가능한 미래의 데이터를 사용하여야 하므로 noncausal 시스템이 된다. 물론 이와 같은 상황은 실시간적용에 있어서는 불가능한 일이지만 실사데이터를 이용하는 off-line시스템의 경우에는 가능하다. 이러한 분석도 {}

공학/기술| 2000.12.28| 10페이지| 1,000원| 조회(558)

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Random Signal 3장 평가A좋아요

3. 랜덤 신호에 대한 선형 시스템 응답선형 시스템 분석의 중요한 문제는 주어진 입력에 대하여 출력이 무엇인가를 알아내는 데에 있다. deterministic시스템에서는 보통 함수의 형태로 시스템의 반응과 출력을 표현할 수 있다. 랜덤입력을 지닌 경우에는 그 입력이 결정적인 랜덤신호일 경우에 출력을 함수의 형태로 표현할 수 있지만(항상 그런 건 아니지만), 나머지의 경우에는 거의 불가능하다. 일반적으로 랜덤입력문제에서 결정적인 문제들에 비하여 완전하지 못한 출력을 구할 수 있다. 랜덤신호를 설명하는 데 편리한 도구들은 자동상호관계 함수, 스펙트럼 밀도 함수, 그리고 제곱평균값 등이 있다. 이번 장에서는 선형 시스템의 입력 출력 관계에 대해서 알아보자.3.1 서론 : 분석 문제선형 미분 방정식을 만족시키는 시스템에서 그 해는 초기 조건에 의한 해와 구동입력이나 추진입력에 의한 해를 중첩의 원리에 의하여 더해져 나타낼 수 있다. 아마도 초기조건과 구동입력은 랜덤신호일 수 있고, 그렇다면 그 출력도 랜덤신호가 된다. 우리는 그러한 상태에 주위를 기울여야 하고, deterministic신호에 관한 선형시스템 분석(1, 2, 3)의 분석에 관하여 기본적인 지식이 있어야 한다.Fig.3.1과 같이 주어지는 시스템에서의 분석은, 초기 조건과 입력 그리고 시스템의 동특성이 주어졌을 때의 출력을 구하는 것이다. 물론, 확률론적인 문제에서, 입력과 출력은 그 확률적인 방법으로 설명되어야 할 것이다.우리는 여기서 잠시 빗나가서 표시법 문제를 토론할 필요가 있다. 1장과 2장에서 랜덤변수를 나타내기 위해 대문자를, 그리고, 그것들의 확률밀도함수의 독립변수를 나타내기 위해 소문자를 사용하였다. 이것은 현재 확률에 관한 책에서 쓰는 관습이다. 그러나, 오랫동안 제어공학이나 선형시스템을 다룬 공학책에서는 시간 함수에 소문자를 사용하고, 라플라스나 푸리에 변환에 대문자를 사용했다. 그렇기 때문에 표기법이 혼동될 수 있다. 여기에서는 시스템이론에서 사용한 것처럼 신호가 랜덤이든 determ````````````````````````````````````(`3`.`2`.`1`)Eq.(3.2.1.)은 실수 각 주파수omega의 의미를 갖는 허수 축인 s 평면에서 나타낸 것이다. 만약omega로 Eq.(3.2.1)을 쓴다면 s 대신 jw 로 바꾸면 된다. 방정식 (3.2.1)은 다음 식처럼 바뀐다.s_x`(j`omega`)= G``(j`omega``)G``(-j`omega``)S_f``(j`omega``)`=` LEFT | G`(j`omega) RIGHT |^2 S_f`(`j`omega`)``````````````````````````````````````(`3`.`2`.`2`)스펙트럼 함수의 특별한 성질 때문에 Eq.(3.2.2)의 양변은omega의 실 함수에서 성립된다. 또한 출력의 자동 상호 관계 함수는S_x`(`s`)의 푸리에 역 변환에서 얻어진다. 두 예제들은 Eq. (3.2.1)을 사용해서 기술할 수 있다.EXAMPLE 3.1입력이 단위 백색 잡음인 일차 저역 통과 필터가 있다. Fig. 3.1에서 언급된 것과 같이 T 는 필터의 시정수이다.S_f`(s`)`=`1G`(s`)`=` { 1} over {1`+`TAU`s }출력 스펙트럼 함수는 다음과 같다.S_x`(s`)`=` { 1} over {1`+`TAU`s }CDOT { 1} over {1`+`TAU`(-s`) }CDOT1`=` { ({ 1} over {TAU })^2 } over {-s^2`+`( {1 } over {TAU })^2 }또는 실 주파수omega구간에서S_x`(j`omega`)`=` { ({ 1} over {TAU })^2 } over {omega^2`+`( {1 } over {TAU })^2 }이것은 Fig.3.2와 같이 ω의 function으로서 나타나집니다. 짐작한 대로, 대부분 스펙트럼은 낮은 frequencies에서 집중됩니다. w가 ∽로 접근함에 따라 차차 줄어듭니다.출력의 mean-square 값이 계산하기에 또한 재미있습니다.Eq(2.7.17)에 의해 주어집tion이 가능하다.Eq.(3.2.5)에 주어진 형의 복소함수를 적분하는 방법이 다음 절에 소개되므로 이에 관하여서는 다음절에서 계속 다루도록 한다. 여기에서는 section 2.7에 서술하였던 파워 스펙트럼의 밀도함수의 개념이 일반적이며, 위의 적분이 가능하던 불가능하던 간에 항상 신호의 mean-square값을 의미하고 있다는 점을 주의하여야 한다. 실제로 파워스펙트럼밀도함수로부터 신호의 power를 계산하는 복소적분의 수치적인 방법이 여러 가지 개발되어 있다.(e.g., see Problem 3.28).3.3 INTEGRAL ＴＡＢＬＥＳＦＯＲＣＯＭＰＵＴＩＮＧＭＥＡＮ－ＳＱＵＡＲＥＶＡＬＵＥ대부분의 선형시스템에서는 그 스펙트럼의 함수가s^2의 분수함수로 나타난다. 이러한 경우에는 다음과 같이 spectral factorization된 형태로 표현할 수 있다.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~S_x (s) = { c(s)} over {d(s) }· { c(-s)} over {d(-s) }여기에서 c(s)/d(s)는 좌반면에 모든 poles와 zero를 가지고 있으며, c(-s)/d(-s)는 poles와 zero가 mirror-image의 형태로 우반면에 존재한다. 단 d(s)의 근은 허수축에 있지는 않다. 따라서 x의 제곱평균값은 다음과 같이 된다.~~~~~~~~~~~E(x^2 )= { 1} over {2πj } INT _{ -j∞}^{j∞ } { c(s)c(-s)} over {d(s)d(-s) } dsR.S.필립스는 참고문헌(4)에서 이의 적분을 위하여 적분테이블을 만들었다. 그의 테이블은 이후로 조금씩 고쳐져 많은 교재에 서술되어 있다.(5,6,7). 복소수 s영역에서의 적분테이블의 일부가 표 3.1에 주어져 있다.Table 3.1 Table of Integrals~~~~~~~~~~~~~~~I_n = { 1} over {2πj } INT _{ -j∞}^{j∞ } { c(s)c(-s)} over {d(s)d(-s) } ds #~~~~~~~~~~~~~~= (β+1/T)#~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~d_0 = β/T#그리고E(x^2 )은~~~~~~~~~~~E(x^2) = { c_0^2 } over {2d_0 d_1 } = { 2σ^2 β/T^2} over {29β/T)(β+1/T) } = { σ^2} over {1+βT }3.4 PURE WHITE NOIDE AND BANDLIMITED SYSTEMS이제 순수한 백색잡음이 무한한 분산을 가지고 있다고 할지라도 그 정당성이 있음을 알아보도록 하자. 이는 다음의 두 가설의 mean-square 분석 문제로부터 살펴볼 수 있다.1. 입력으로 bandlimited 백색잡음을 가진 first-order low-pass필터를 살펴보자. 명확하게,Fig3.1을 참조 하시오.S_f (jω) = LEFT { A , LEFT | ω RIGHT | t1 일 때, v에 관하여 적분하는 것이 유리하다. 이러한 첫 번째 (i.e., t2 > t1) 경우를 고려한 경우,t2 < t1일때도 유사하게마지막 결과는 다음과 같다.특히 이것은 Chapter 2.에서의 Wiener Process에 방법과 같은 결과이다.이 section의 결론은, 과도응답은 입력에 의한 과도응답과 초기조건에 의한 과도응답을 포함하고 있으며, 총응답은 이들의 superposition이다. 그러나 두가지의 상태가 서로 correlation이 없을 경우에만 두 응답의 합이 총응답의 Mean-square Value로 나타나므로 주의하여야 한다. 만일 두 조건이 서로 correlation이 있다면 Mean-square value를 계산할 때 이를 적절하게 고려해야 한다.3.9 이산 시간 진행 모델과 분석이제까지 연속적인 random signal과 이에 대한 선형 system의 signal 응답에 관관하여 살펴보았다. 이러한 모든 이론들은 이산시간신호와 이산시스템에 같은 상태의 counterpart(대응부)가 있고, 이제 이산시간 raform과 같이 이산시스템에서는 Z-transform을 이용하여 시스템의 안정성을 고찰할 수 있다. 두 개의 예를 살펴볼 것이다.Example 3.10_______________________________________________________________________simple first-order ARMA model을 고려하자RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철RS146 노 희 철3.11 트랜지스터 함수와 대응하는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 명령의 버터워트 필터의 대역 특징은 숫자아래에서 보준다.아래 필터는 0에서 최대로 균등하고 다른 고주파 필터에서 앞의 것보다 중더 이상적인 곡선에 가까워진다.3가지 필터은 3 데시밸 점과 1rad/sec로 모든 응답에 교차하여 표준에 맞춘다.a)노이즈는 다른 필터들과 동등한 주파수 폭을 보여준다.b)노이즈 억제에 있어서 걱정보단 3가지 명령버터워트 필터보다 사용된 어떤 고주파가 많이 얻어지는 것이다.3.12 출력의 평균 직각의 값은 다음 트랜지스터의 함수에서 보여준다.두 가지 경우 초기 상태는 0 이고 입력은 t=0이다.3.13 일정한 선형 시스템은 보여진 다른 방정식을 만족한다.x(t)가 응답이고 f(t)는 입력이면 t=0이 적용된다.만약 f(t)가 스펙트럼밀도 폭 a와 함께 순수 노이즈이면 x(t)의 평균 직각값은 얼마인가?3.14 간단한 frist-oder,low-pass 필터를 고려하면 트랜스터 함수는 다음이다.필터 입력은 t=0에서 시작하고 필터의 초기상태는 0이다. 입력에 f(t)=au(t)+n(t)를 주면u(t)= 단위 계단 함수a= 0과1의 균등한 분포인 랜덤 변수n(t)= 단위 가우스 노이즈 일때를 보여준다.a) 평균, 평균 사각 ,출력의 변화를 t=1sec일때 값을 구한다.b)고정된 상태 조건에서 ehlvnf이

공학/기술| 2000.12.28| 17페이지| 1,000원| 조회(443)

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Random Signal 2장 평가B괜찮아요

2. 확률신호의 수학적 기술주파수의 특성(스펙트럼)에 관하여서는 기본적인 물리학으로부터 잘 알고 있으므로, 잡음과 같은 신호가 지니는 주파수 특성을 살펴보는 것은 잡음을 파악하기에 좋은 방법이 된다. 이와 같은 접근법은 직관에 의존하는 면도 있지만 많은 어려움이 따르고 있다. 잡음을 기술하기에 주의해야 하는 사항은 이를 확률적으로 서술해야 하며, 확률모델로부터 주파수특성을 유도해야 하는 것이다. 이 장에서는 이와 같은 작업을 수행하게 될 것이다.2.1 확률신호의 개념먼저 확률신호와 결정신호를 구별하여 보자. 보통 신호들은 전압,전류,거리,온도 그리고 힘 등을 나타내는 물리량을 의미한다. 따라서 그들은 실제로 존재하는 신호들이고, 대부분은 그 필요성과 관계없이 시간을 그 독립변수로 하고 있다. 관찰하고자 하는 시간내에서 시간에 따라 그 신호를 정확히 예측할 수 있으면, 그 신호를 결정신호라고 한다. 다음과 같은 에들이 있다.a) x(t)=10 sin2pitb) x(t)={ 1,t>=00,t =00, t

공학/기술| 2000.12.28| 42페이지| 1,000원| 조회(424)

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