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[일반 수학]벌집,완전수,황금삼각형

벌집이 정육각형인 이유모든 생명체가 살아가는 데 있어서 가장 기본적이고 필수적인 것은무엇일까? 아마 많은 것들이 있겠지만 그중에서 각자의 안식처는 빼놓을 수 없을 것입니다. 우리 인간은 물론이거니와 많은 생명체들이 그들 특유의안식처를 가지고 있는데 그 역할이나 모습은 저마다 가지각색입니다.이 중 육각기둥의 독특한 구조를 지닌 벌집이 가장 튼튼하고 과학적이라고 얘기를 합니다. 벌집은 수만 마리 벌의 생활 보금자리이자 각각의 방은 그들의 꿀을 저장하고 또한 그들의 아기 벌을 키우기도 합니다.이러한 중요한 역할을 하는 벌집이기에 당연히 가장 안정된 구조의 정육각형 모양을 띄는지 알았습니다. 그러나 벌집이 정육각형의 모양을 띄고 있는 데에는 다른 이유가 있었습니다. 지금부터 왜 벌집이 그러한 모양을 띄는지 설명하겠습니다.당연히 정육각형이 가장 안정된 구조이기 때문인지 알았습니다. 그러나..누군가는 정육각형인 이유에 대해 이렇게 말했다고 합니다.“육각형 모양의 구조물은 자연법칙의 일종이다. 원기둥 모양의 물체는 어떤 것이나 모두 사면으로 압력을 받을 때 단면이 육각형으로 된다. 역학적으로 볼 때 육각형이 제일 안정적이다. 벌집은 지을 때 서로 압력을 받아 육각형으로 되었다.”저 역시 당연히 정육각형이 주위의 압력을 가장 안정되게 받을 수 있는 구조라고 생각했습니다. 그래서 원 모양에서 정육각형구조로 모양이 변할 수도 있다고 생각했습니다. 그러나 이번 레포트 조사를 하며 한 가지 알게 된 것은 벌집은 서로서로 연결되어 있는 구조이기 때문에 서로에게 압력을 받지 않는 다는 사실이었습니다.그렇다면 벌집은 처음부터 정육각형? 무엇 때문에 벌들은 육각형을 선택했을까?벌집이 압력에 의해 정육각형의 모양이 형성된 것이 아니라는 것을 알고 얻게 된 물음입니다. 변형되어 얻어진 형태가 아니라면 처음부터 정육각형 모양으로 만들어졌다는 것인데 그런 선택에는 분명히 다른 이유가 있을 거라 생각 했습니다. 그 답은 바로 그들의 경제성에서 찾을 수 있었습니다.그들은 혼자가 아닙니다. 그들은 집 마시기 사나운 곳에 함부로 부어넣는 것은 적당치 않다. 그래서 벌들은 꿀을 붓기에 알맞은 그릇을 만들었다. 이 그릇은 불순물이 끼지 못하도록, 서로 빈틈없이 연이어 있는 형태를 지녀야 한다. 그런데 동일한 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 그리고 정육각형의 세 가지 밖에는 없다. 벌들은 본능적으로 최대의 각(꼭지점)을 가진 정육각형을 택했지만, 이 형태는 다른 둘보다 훨씬 많은 꿀을 채울 수가 있다."정말 정육각형이 가장 많은 면적을 얻을 수 있는 구조일까?아까 언급했듯이 평면을 덮을 수 있는 구조라면 정육각형 말고 정삼각형이나, 정사각형의 모양으로도 빈틈없이 평면을 덮을 수 있을 것입니다. 그래서 왜 정육각형이 정해진 선분의 길이에 대한 가장 많은 면적을 얻을 수 있는 구조인지 그 이유를 알아보았습니다.(선분의 길이를 고정한 이유는 같은 조건하에서 가장 효율적인 면적을 찾으려 함입니다.)위의 계산 결과에서 보면 원에 가까워질수록 면적은 커진다는 것을 알았습니다. 분명 원이나 정팔각형이 정육각형보다는 많은 면적을 가집니다. 하지만 효율성은 떨어집니다.다음 그림을 통해 그 예를 들겠습니다.위 그림에서 알 수 있듯이 정팔각형이나 원은 분명 한 개당 면적은 정육각형보다는 크지만 여러 개가 연결이 되면 사이사이에 못 쓰는 공간이 생기게 됩니다. 그러나 정육각형으로 지으면 빈틈없이 지을 수가 있어 가장 효과적으로 공간을 활용할 수 있을 것입니다.벌집구조가 우리에게 준 영향을 무엇일까?마지막으로 벌집구조가 우리에게 끼친 영향에 대해 조사해봤습니다. 이러한 벌집 구조는 그 특수성으로 인하여 많은 수학자나 연구자들에게 적지 않은 영향을 끼쳤다고 합니다. 비행기 구조 연구자들은 재료를 절약하고 비행기 무게를 줄이기 위하여 '벌집식 사이층' 구조물을 창조하였습니다. 이런 구조물은 속이 비고 두 끝이 금속관으로 고정되어 있기 때문에 속이 비지 않은 구조물보다 강도가 높고 무게도 속이 비지 않은 구조물의 몇 분의 1밖에 안되며 소리나 열을 격인지를 알게 되고 계산하는 법을 배우고 그것을 당연한 듯 사용합니다. 그로인해 지금 내 주위에 있는 수들을 너무나도 당연한 듯 느끼고 사용하여 이런 수가 없는 세상은 상상조차 못할 것입니다. 하지만 이러한 수도 실제로 이런 단계까지 도달하는 데는 정말 긴 시간과 수많은 사람들의 피나는 노력이 수반되었을 것입니다. 그러한 노력에 의해 만들어진 다양한 수들 중에 하나인 ‘완전수’에 대하여 지금부터 설명하겠습니다.완전수? 그게 모지?간단하게 완전수를 먼저 정의 하자면 자기 자신의 양의 약수 중 자신을 제외한 것의 합이 다시 자기 자신이 되는 수입니다. 예를 들어, 6의 양의 약수는 1, 2, 3, 6인데 이 중 자기 자신을 제외한 수의 합 1+2+3=6이 되는데 이러한 수를 피타고라스학파 사람들이 완전수(perfect number)라고 이름 붙였다고 합니다.왜?완전수가 무엇인지는 간단히 알았지만 한 가지 의문이 생겼습니다. 그것은 바로 ‘도대체 왜? 완전수를 만들었지?’ 라는 의문이었습니다. 분명 완전수도 많은 사람들이 많은 시간을 소비하며 발견한 수임에 틀림없을 것입니다. 하지만 아무리 생각해도 완전수가 우리 생활에 많이 쓰인다는 것을 특별히 느끼지 못했습니다. 물론 전 아직까지도 왜 만들었는지 정확히 모르겠습니다. 하지만 이런 궁금증을 가지고 중 혼자 추측이나마 하게 해줄 실마리를 찾았습니다. 바로 아홉 번째 완전수를 발견한 발로우(1776-1862)라는 사람을 통해서인데 그는 그의 한 책에서 n=61에 대응하는 아홉 번째 완전수에 대해 이렇게 말했다고 합니다.“이 수는 앞으로 발견될 완전수 중에서 가장 큰 수가 될 것이다. 왜냐하면 완전수는 쓸모없고 단지 호기심의 대상으로 누구도 이것보다 더 큰 수를 찾아내려고 시도하지 않을 것이기 때문이다.”그러나 발로우의 완전수에 대한 과소평과와는 달리 계속된 수학자들의 연구로 인해 그가 찾아낸 아홉 번째 완전수보다 더 큰 38번째의 완전수까지 발견됐고 이러한 호기심의 완전수를 찾기 위한 계산이 컴퓨터의 능력을 측정하는 기무엇 무엇이 있을까?어설프게나마 완전수가 무엇인지 왜 만들어지게 되었는지를 알아보았습니다. 지금부터는 그동안 발견된 완전수에는 무엇이 있고 어떤 근거로 완전수가 성립되는 지를 알아보려합니다. 처음 세 개의 완전수는 6, 8, 496입니다. 이 신비로운 완전수에 대한 고찰은 진지한 수학적 연구를 유도했는데 피타고라스는 이 완전수에 여러 가지 특유의 성질을 갖고 있음을 알아냈습니다. 그 중 하나가 완전수는 항상 연속되는 자연수의 합으로 표현될 수 있다는 것입니다.6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ‥‥‥‥ + 30 + 318,128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ‥‥‥‥ + 126 + 127완전수에 관하여 피타고라스가 발견한 또 하나의 ‘완전성’은 ‘2’라는 숫자와 깊은 관련이 있었는데 4(2×2), 8(2×2×2), 16(2×2×2×2) 등의 수들은 2를 모두 연속적으로 곱하여 만들어짐으로써 이들을 모두 2n으로 표현할 수 있다는 것입니다. 하지만 이렇게 만들어진 숫자들은 결코 완전수가 될 수 없었습니다. 이런 수의 약수들은 모두 더해보면 원래의 수보다 항상 1이 작기 때문입니다.22 = 2 × 2 = 4, 약수 : 1, 2 합 = 323 = 2 × 2 × 2 = 8, 약수 : 1, 2, 4 합 = 724 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, 약수 : 1, 2, 4, 8 합 = 1525 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, 약수 : 1, 2, 4, 8, 16 합 = 31그로부터 2세기가 지난 뒤에 완전수는 유클리드에 속에서 엄격한 수학 이론으로서 화려한 변신을 하였습니다. 이 책에서 그는 다음과 같은 정리를 증명 하였습니다“(2n -1)이 소수이면, (2n -1)(2n-1)은 완전수이다.”실제로, 이 식의 n에 2, 3을 각각 대입하면, (22 -1)(22-1) = 3 × 2 = 6이 되고 (23 위에서 제시한 완전수는 전부 짝수입니다. 뿐만 아니라 현재까지 발견된 38개의 완전수들 중에 가장 큰 수는 4197919 자리수를 가지고 있는 데 이 38개의 완전수 모두 짝수라고 합니다. 그렇다면 홀수의 완전수는 없는 것일까? 홀수의 완전수 존재 문제는 현재까지 미해결문제로 남아있습니다. 하지만 수학자들은 39번째 완전수가 홀수일 가능성을 완전 배제하지 않고 있습니다. 그러던 중 몇 년 전 일간지에 한 천재소년이 홀수인 완전수가 없다는 것을 기사가 실렸다고 합니다. 그 당시에는 많은 논란을 일으켰는데 지금은 사실이 아니라는 것을 일반적인 결론으로 정하고 있습니다. 그 이유로는 홀수인 완전수가 만일 존재한다면, 최소한 10300을 초과해야 하고, 소인수분해에서 나타나는 소인수는 9개를 넘어야 하고, 가장 큰 소인수는 1060보다 커야하고 그러한 홀수 완전수가 있다면 그 소인수의 개수 k에 대해서 ap, p=ak (단, a=1951/7=2.123...)을 넘지 못하는 정도로 알려져 있습니다. 이런 정도로만 알려져 있지 홀수인 완전수가 존재하는 지에 대한 증명 또는 반례는 아직 나오지 않았습니다.완전수의 비화중세의 종교 학자들은 6 과 28 의 완전수가 보여주는 완전함이 곧 우주를 구성하는 조직의 기본질서라고 주장했다. 신은 이 세상을 6일 만에 창조했고 달은 28일 마다 한 번씩 지구의 주위를 도는 것이다. 성 아우구스티누스St. Augustine는 자신의 저서 에서, 자연계와의 관계 때문이 아니라, 수의 속성 그 자체가 수를 완전하게 만든다고 믿었다. 성인은 이렇게 말했다. “신은 이 세상을 한순간에 창조할 수도 있었지만 우주의 완전함을 계시하기 위해 일부러 6일이나 시간을 끌었다. 6은 신이 6일 동안에 세상을 창조했기 때문에 완전한 것이 아니라, 그 자체가 완전한 수이다. 그래서 하나님도 이 완전수를 모델로 하여 세상을 6일만에 창조한 것이다. 따라서 그 6일 동안의 창조작업이 설혹 없었다고 하더라도 6은 완전수로 남아 있을 것이다.”황금 삼각형golden?

경영/경제| 2005.12.02| 13페이지| 2,000원| 조회(1,892)

완전수, 벌집, 황금삼각형

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