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[통계학] 표본조사론

1. 다음은 어느 일간지의 발표내용이다. 다음 물음에 답하시오.어느 여론조사기관에서는 졍부의 통일 정책에 대한 지지도를 알아보고자 전국의 전체 유권자를 대상으로 조사를 실시하였다. 1500명의 유권자를 단순임의 추출하여 조사한 결과 이들 중 890명이 정부의 통일정책을 지지한다고 응답하였다.1정부의 통일정책에 대한 지지율을 계산하고, 95%신뢰구간을 작성하시오.풀이) 먼저 지지율에 대한 추정값을 구하면{{ } atop { }{{ ＾} atop {P} `=` { SUM from { { i}=1} to n { y}_{i } } over {n } `=` { 890} over {1500 }= 0.593 이다.다시 분산을 구해보면 추정식이{V(P)`=` { N-n} over {N } ` { p`q} over {n-1 }인데 전국 성인수 N의 값이 주어져 있지않다.그러나 전국의 전체유권자수 N은 표본의 크기인 1500에 비해 매우 큰 값이므로 {{ N-n} over { N} ` Image `1로 생각할 수 있다. 따라서 분산의 추정값은{V(P)` Image ` { p`q} over {n-1 } `=` { 0.593×0.407} over { 1499}`=`0.000161이된다.이를 이용하여 지지율 P의 95%신뢰구간을 구하면 다음의 값을 얻게 된다.(여기서 {{ Z}_{ { alpha } over {2 } } `=`2로 계산){P +- { Z}_{ { alpha } over { 2} } SQRT { V(P)} `=`0.593 +- 2× SQRT { 0.000161}`=`0.593 +- 0.0254즉 (0.5676 , 0.6184) 이 된다.2 95%신뢰수준에서 지지율에 대한 오차의 한계가 0.02 이내에 있게 하려면 표본의 크기는 얼마로 해야 하는가? (1의 조사결과를 이미 알고 있는 경우로 가정)풀이) 문제에서 전체유권자수 N이 제시되지 않아 통계청 인터넷싸이트에서 2000년도 전국의 20세이상인 전체유권자수를 직접 알아보니 29,281,275명 이었다.따라서 N=29,5 } } `=`2413.80` Image `2414`명이므로 표본의 크기를 2414명으로 하면 된다.3 만약 1의 조사결과가 주어져 있지 않은 경우라면 표본의 크기는 얼마로 해야 하는가?풀이) P = 0.5인 경우에 표본의 크기가 최대가 되므로{{ n}_{0 } `=` { 4×p`q} over { { B}^{ 2} } `=` { 4×0.5×0.5} over { { 0.02}^{ 2} }`=`2500{N`=` { { n}_{0 } } over {1+ { { n}_{0 } } over {N } }`=` { 2500} over {1+ { 2500} over {29281275 } }` Image `2499.79 `Image `2500~~명이므로 표본의 크기는 2500명으로 하면 된다.2. 어느 지역에 있는 소매점은 모두 N = 500 이다. 이지역에서는 소매점의 한달 평균 매출액을 추정하기 위해서 점포 면적에 따라 층화하고, 표본으로 추출된 n = 40개의 소매점을 조사하여 다음의 결과를 얻었다{층 {{ N}_{h }{{ n}_{ h}{{ y}_{h }{{ s}`_{h } ^{2 }1(소) 300 24 400 1212(중) 150 12 1,250 4413(대) 50 4 2,430 1,746계 500 401 중(中 : 층2)인 소매점에 대한 한달 평균 매출액의 95%신뢰구간을 구하면?풀이) 표에서 층2의 한달 평균 매출액에 대한 표본평균과 표본분산은 층2에 대해 단순임의 추출법을 적용하여 얻은 결과로 볼 수 있다.표에서 {{ y}_{ 2}`=`1,250~`~~````````````` { s}`_{2 } ^{2 } `=`441{V`( { y}_{ 2} )`=` { { N}_{2 }- { n}_{ 2} } over {{ N}_{2 } } ` { { s}`_{2 } ^{2 } } over {{ N}_{2 } }`=` { 150-12} over {150 } ` { 441} over {12 } `=`33.81이므로 층2의 한달 평균 매출액에 대한 95%신뢰구간은 다음과 같다.L { N}`_{h } ^{2 } { { N}_{h }- { n}_{ h} } over {{ N}_{h } } { { s}`_{h } ^{2 } } over {{ n}_{ h} } `에서~~#&{ s}`_{h } ^{2 }`=` { 1} over {{ N}_{h } -1 } SUM from { { i}=1} to { n}_{h } { ( { y}_{hi } - { y}_{h } )}^{ 2} ~~이다.#이제 표의 값을 대입해 보면{& { y}_{st }`=` { 1} over {N }[ { N}_{1 } { y}_{1 }`+` { N}_{2 } { y}_{2 } `+` { N}_{3 } { y}_{3 }]#&~~~``=` { 1} over {500 }[300×400+150×1,250+50×2,430]#&#&```````````````=`858#&v({ y}_{st })`=` { 1} over { { N}^{2 } } SUM from { { h}=1} to 3 { N}`_{h } ^{2 }{ { N}_{h }- { n}_{ h} } over {{ N}_{h } } { { s}`_{h } ^{2 } } over {{ n}_{ h} }#&#&~~~~~~` =`{ 1} over { { 500}^{2 } }[417,450+760,725+1,014,300]#&#&~~~~~~`= { 1} over {250,000 }×2,192,475#&#&~~~~~~`=`8.7699#&#&이 지역 전체 소매점의 한달 평균 매출액에 대한 95%신뢰구간은# &#& { y}_{2 } +- `2 SQRT { V( { y}_{2 }) } ~` LRARROW ~~858` +- `2 SQRT {8.7699}즉 ( 852.077 , 863.923 )이 된다.3 표본의 크기를 100개로 늘리고 네이만 배분법에 따라 표본을 배분하면 각 층에 배분되는 표본수는 얼마인가?풀이) 네이만 배분법은 층별 조사비용은 별로 차이가 나지 않으나 층별변동의 정도가 많이 차이가 나는 경우 층의 크기와 층별 변동의 정도를 함 `38.596` Image `39층2 ; {{ n}_{2 } `=`100× { 150×21} over { 8,550} ` Image `36.842` Image `37층3 ; {{ n}_{3 } `=`100× { 50×42} over { 8,550} ` Image `24.561` Image `243. 다음의 자료는 전체 직원이 N = 160명인 어느회사에서 지난 해 1년 동안 질병으로 인한 휴가일수이다. 이자료를 모집단으로 간주하여 다음의 물음에 답하시오.1 모집단에서 n = 20인 계통표본을 추출하시오.(단, 임의 출발점은 5로 선택되었다고 가정하시오.) 전체 직원에 대한 질병으로 인한 총휴가일수를 추정하고, 이에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.또한 전체 직원 중에서 질병으로 휴가일수가 8일 이상인 직원의 비율을 추정하고 이에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.풀이) 임의 출발점이 5로 선택되었으므로 계통표본은 다음과 같다.5 0 3 9 0 5 2 6 11 93 0 3 6 15 5 5 14 4 8먼저 주어진 데이터의 표본평균과 분산을 구하면{&````````y`=` { 1} over {n } SUM from { { i}=1} to n { y}_{i } `=`5.65#&#& { s}^{2 } `=` { 1} over {n-1 } SUM from { { i}=1} to n {( { y}_{ i} -y) }^{ 2} `=`13.304이 된다. 따라서 {{ y}_{ sy}`=`5.65~이고 ~~~ { tau }_{ sy}`=`N{ y}_{ sy}`=`160×5.65`=`904~(일)이다.또한 분산의 추정값은{&V`( { tau }_{sy } )`=(`V`)N{ y}_{ sy}`=` { N}^{2 } V( {y }_{sy })`=`{ N}^{2 } { N-n} over {N } { { s}^{2 } } over {n }#&#&~~~~~~~```=` { 160}^{2 } × { 160-20} over { 160} { 13.304} over { 20} #&#&~~~~~~가일수가 8일 이상이면 1이고 그렇지 않으면 0의 값을 갖는다. 모집단 자료순서와 휴가일수와는 서로 독립적이라고 볼 수 있으므로 표본추출에 사용되는 추출틀은 랜덤모집단을 가정할 수 있다. 따라서 분산의 추정값은{&V( { P}_{sy })`=` { N-n} over {N } { { p}_{sy } { q}_{sy } } over {n-1 } `=` { 160-20} over {160 } { 0.3×0.7} over {20-1 } `=`0.00967 ```가 된다.#&~~~~#&또한 추정값에 대한 95%신뢰구간은#&#&{ P}_{sy } +- 2 SQRT { V( { P}_{sy })} ~~~ LRARROW ~~~0.3 +- 2 SQRT { 0.00967}즉 ( 0.1033 , 0.4967 ) 이 된다.2 모집단에서 크기가 4인 반복계통표본 5개를 추출하여 다음 물음에 답하시오. 전체 직원에 대한 질병으로 인한 총휴가일수를 추정하고, 이에 대한 95%신뢰구간을 구하시오. 또한 전체 직원 중에서 질병으로 휴가일수가 8일 이상인 직원의 비율을 추정하고, 이에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오. 단, 임의 출발점들로 25, 19, 37, 10, 6이 선택 되었다고 가정하시오.풀이) 모집단에서 크기가 4인 반복계통표본 5개를 추출하면 다음과 같다.{# 25# 19# 37# 10# 6휴가일수*************481118609표본평균5.753.754.7565.75추출된 5개의 계통표본을 이용하여 모평균 μ에 대한 추정값을 구하면{& mu `=` SUM from { { i}=1} to m { { y}_{i } } over { m} `=` { 5.75+3.75+4.75+6+5.75} over { 5}`=`5.2~~이고 #&#&총휴가일수는 ~~ { tau }_{sy } `=`N mu `=`160×5.2`=`832#&#&V({ tau }_{sy })`=` { N}^{2 }V (mu)`=` { N-n} over {N } { SUM from { { i}=1} to m { ( { 7.2}

자연과학| 2004.03.09| 6페이지| 1,000원| 조회(795)

신뢰구간, 모평균, 네이만배분, 계통표본, 추정값

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