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초등학교-고등학교까지 기하교육의 흐름

■ 기하교육과정의○ 국민 공통 기본 교육(초등학교 ~ 고1)학급학년영역초등학교초등학교1학년2학년3학년4학년5학년6학년도형?입체도형의 모양?평면도형의 모양?기본적인 평면도형?입체도형의 구성?각과 평면도형?평면도형의 이동?원의 구성 요소?각과 여러 가지 삼각형?다각형의 이해?직육면체와 정육면체의 성질?합동?대칭?각기둥과 각뿔의 성질?원기둥과 원뿔의 성질?여러 가지 입체도형학급학년영역중학교고등학교1학년2학년3학년1학년기하?점, 선, 면, 각?점, 직선, 평면의 위치 관계?평행선의 성질?간단한 작도?삼각형의 결정조건과 합동조건?다각형의 성질, 내각과 외각의 크기?부채꼴의 중심각과 호의 관계?부채꼴의 넓이와 호의 길이?원과 직선, 두 원의 위치 관계?다면체, 회전체의 성질?입체도형의 겉넓이와 부피?명제의 뜻과 증명의 의미?삼각형과 사각형의 성질 증명?도형의 닮음?닮은 도형의 성질?삼각형의 닮음조건?평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비?삼각형의 중점 연결 정리?닮은 도형의 넓이와 부피?피타고라스의 정리?삼각비?원에서 현, 접선에 대한 성질?원주각의 성질?원에 내접하는 사각형의 성질?원과 비례에 관한 성질?두 점 사이의 거리?선분의 내분, 외분?직선의 방정식?두 직선의 평행, 수직 조건?점과 직선 사이의 거리?원의 방정식?좌표평면에서의 원과 직선의 위치 관계?평행이동과 대칭이동?부등식의 영역○ 선택과정영 역내 용일차변환과 행렬?일차변환과 행렬?일차변환의 합성과 역변환이차곡선?포물선?타원?쌍곡선

교육학| 2009.10.05| 2페이지| 1,000원| 조회(229)

교육, 교육학, 기하교육, 교과과제연구및지도법

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확률 수업계획서

단원명Ⅰ. 확 률1. 확 률① 경우의 수② 상대도수와 확률의 뜻학습 대상중학교 2학년준 비 물교과서, 연습장학습 목표1. 여러가지 경우의 수를 구할 수 있다.2. 합의 법칙, 곱의 법칙에 대하여 말할 수 있다.3. 동전 또는 주사위 던지기에 대하여 경우의 수를 구할 수 있다.단계(시간)학습과정학습 활동학습 자료도입(5분)▷생활 속수학이야기▷흥미유발< 열쇠에 숨어있는 경우의 수 >소중한 것을 지키기 위해 사용하는 열쇠를 자세히 살펴보자. 모양이 비슷한 열쇠들도 자물통과 제 짝이 아니면 아무리 모양이 비슷해도 자물통을 열 수 없다. 이러한 열쇠는 어떠한 원리로 만들었을까?전통적인 모양의 열쇠는 자물통 속에 들어가 자물쇠를 여는 부분이 3부분 또는 4부분으로 이루어져 있다(ⓐ, ⓑ, ⓒ, ⓓ). 그리고 이 각 부분의 높낮이를 다르게 만들고 이에 맞는 자물쇠를 만들어 같은 높낮이의 열쇠와 자물쇠가 맞물렸을 때에만 자물통이 돌아가 열리게 되어 있다.그러면 높낮이를 다르게 해서 몇 개의 열쇠를 만들 수 있을까? 간단히 ⓐ, ⓑ, ⓒ 세 부분으로만 구성된 열쇠를 생각해 보기로 하자.0, 1, 2의 높이를 주어 모양을 다양하게 만드는 경우, ⓐ 부분의 높이를 0이 되게 하는 경우는 다음 그림처럼 9가지이고, 높이가 1이나 2가 되는 경우도 각각 9가지가 있으므로 모두 27가지의 열쇠를 만들 수 있음을 알 수 있다.본론(30분)활동1본론(30분)▷ 내 용□ 경우의 수□ 합의 법칙, 곱의 법칙□ 동전 or 주사위 던지기날씨가 좋은 5월이에요 ^^ 여러분은 학교에서 공부하는 것보다는 소풍가는 게 더 좋죠? 만약 학교에서 내일 운동회를 한다고 했을 때, 비가 오는지 안 오는지를 알기 위해서 기상청에 들어가보면, 내일 비가 올 확률은 몇 %다 라고 나오는걸 보았지요?이렇게 우리는 크고 작은 일들을 결정하는 일이 생기는 데요. 사람들은 종종 가능성이 큰 경우를 선택하는 경향이 있습니다. 가능성이 크다는 것은 확률을 크다라고 하며, 이와 같은 확률을 배우기 전에 경우의 수를 배울 것이에요. 두 번째는 경우의 수를 배우는데 중요하게 사용되는 개념인 합의 법칙과 곱의 법칙에 대해서 배우고, 세 번째, 경우의 수를 구하는데 있어서 동전이나 주사위 던지기를 많이 하는데요. 이때 사용되는 경우의 수를 직접 구해볼 것이에요.□ 경우의 수1) 시행 : 관찰이나 실험ex) 동전던지기, 주사위 던지기2) 사건 : 시행에 의하여 일어나는 결과ex) 동전던지기 : 앞면, 뒷면주사위 던지기 : 1,2,3,4,5, 짝수의 눈, 홀수의 눈3) 경우의 수 : 어떤 사건이 일어날 수 있는 경우의 가지수ex) 동전 1개 → 앞면 : 1가지⇒ 동전 한 개를 던졌을때, 앞면이 나오는 경우의 수주사위 1개 → 짝수의 눈(2,4,6)⇒ 주사위 한 개를 던졌을때, 짝수의 눈이 나오는 경우의 수표로 만들어보자면,시행사건경우의 수한 개의 동전을 던진다앞면이 나온다1가지(앞면)□ 합의 법칙, 곱의 법칙○ 합의 법칙사건 A의 경우수가 m가지이고 사건 B의 경우수가 n가지일 때, 사건 A또는 사건 B가 일어나는 경우수는 m+m이다.(두 사건이 연관되지 않을 때! 동시에 일어나지 않을 때!)ex) 두 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 합이 5 또는 6이 되는경우의 수를 구하면?풀이) 주사위의 눈의 합이 5가되는 경우수는 4가지이고, 6이 되는 경우수는 5가지이다. 이 두 사건은 별개로 겹치지 않으므로 합의 법칙에 따라 더한다. 4+5=9답: 9가지- 시행, 사건, 경우의수를 구별하고 그에 관한간단한 예를 들 수 있다.-곱의법칙의 주의점에 대해 설명한다.본론▷ 내 용○ 곱의 법칙사건 A의 경우수가 m가지이고 사건B의 경우수가 n가지일 때, 사건 A와 사건 B가 연관되어 일어나는 모든 경우의 수는 m×n이다.(두 사건이 동시에 일어나는! 함께 일어나는!)ex) en 개의 주사위를 던져서 나오는 모든 경우의 수를 구하면?풀이) 두 주사위를 각각 A, B라 하고 주사위 A의 눈이 1일 때, 다른 주사위 B의 눈이 1부터 6까지 모두 올 수 있다. 주사위 A의 눈이 2일 때도 마찬가지로 주사위 B의 눈이 1부터 6까지 모두 올 수 있다. 이런 식으로 주사위 A의 눈이 1부터 6까지의 각각의 경우에 대해 주사위 B의 눈이 1부터 6까지 모두 올 수 있으므로 두 개의 주사위에 대해 가능한 모든 경우수는 6×6=36답: 36가지Tip) 합의 법칙은 두 사건이 전혀 관계가 없는 경우이고, 곱의 법칙은 어떤 사 건 각각의 경우에 대해 다른 사건의 모든 경우가 반복되어 속하는 경우라고 하겠다. 곱의 법칙을 적용하여 곱할 때, 주의할 것은 반복되느냐 하는 것이다.○ 합의 법칙: 겹치지 않을 때 곱의 법칙: 반복될 때ex) 한 개의 동전과 한 개의 주사위를 던져서 일어나는 경우의 수는 동전의 앞면일 때, 주사위의 눈이 1부터 6까지 올 수 있고 동전의 뒷면에 대해서도 주사위의 눈이 1부터 6까지 올 수 있다.즉, 동전의 앞면과 뒷면에 대해 주사위의 눈이 1부터 6까지 반복되기 때문에 전체 경우수는 두 사건의 경우수를 곱한 2×6=12 가지이다.예제) 2종류의 연필과 3종류의 볼펜이 있다. 이 때, 연필 1개, 볼펜 1개를 선택하는 방법의 수는?볼펜의 세 종류를 A. B, C로 나타내고 연필의 2종류를 a, b라고 하자.(1) 연필 a, b에서 하나를 선택하는 방법은 2가지이고 볼펜 A, B, C에서 하나를 선택하는 방법은 3가지이다.(2) 연필과 볼펜을 함께 선택하는 방법의 수는 곱의 법칙에 따라 2×3=6이다.답: 6가지Tip) 이것을 두 갈래와 세 갈래로 된 길을 가는 방법의 수로 바꾸어 보면 곱하는 이유를 보다 분명하게 알 수 있다.□ 동전 or 주사위 던지기1) 동전 던지기① 1개 ⇒ 앞면, 뒷면 : 2가지② 2개 ⇒ 앞 - 앞, 뒤뒤 - 앞, 뒤: 2 × 2 == 4가지③ 3개 ⇒ 2 × 2 × 2 == 8가지…∴ n개 ⇒ 2 × 2 × 2 × … × 2 =개본론▷ 내 용2) 주사위 던지기① 1개 ⇒ 1, 2, 3, 4, 5, 6, : 6(가지)② 2개 ⇒ 6 × 6 == 36(가지)③ 3개 ⇒ 6 × 6 × 6 == 216(가지)…∴ n개 ⇒ 6 × 6 × … ×6 =(가지)3) 동전 m개와 주사위 n개를 동시에 던졌을 때, 나올 수 있는 경우의 수⇒×(가지)본론활동2⇒실제문제 적용하기문제1) 경호는 어느 음식점에서 아래의 차림표를 보고 식사를 주문하려고 한다. 다음 물음에 답하여 보자.차 림 표김 된 돌 떡 칼 물치 장 솥 만 국 냉찌 찌 비 두 수 면개 개 빔 국밥4000원 4000원 4500원 4000원 3000원 3000원⑴ 경호가 식사 한 가지를 주문할 때, 선택할 수 있는 식사의 경우의 수를 말하여라.⑵ 경호가 친구와 둘이서 동시에 한 가지씩 식사를 주문할 때, 선택할 수 있는 식사의 경우의 수를 말하여라.⑶ 다음 표에 식사류와 음료류를 적은 차림표를 각자가 자유롭게 만들어 보고, 경호가 식사와 음료를 한 가지씩 동시에 주문할 때, 선택할 수 있는 식사와 음료의 경우의 수를 말하여라결론마무리1. 오늘 배운 내용 간략히 요약- 함수와 관련된 용어

교육학| 2009.05.30| 6페이지| 1,000원| 조회(158)

교육학, 교육학개론, 확률, 2학년

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함수 수업계획서

단원명Ⅳ 함수1. 함수2. 함수의 그래프학습 대상중학교 1학년준 비 물교과서,학습 목표1. 두 집합의 원소 사이의 대응의 뜻을 말할 수 있다.2. 함수의 뜻을 말할 수 있다.단계(시간)학습과정학습 활동학습 자료도입(5분)▷생활 속수학이야기▷흥미유발일대일함수사례1) 일대일 함수초등학교 다니는 나 천재군은 어느 날 울면서 집에 왔다. 그 이유인 즉, 자리를 새로 정했는데 자기만 여자 짝꿍이 없고, 혼자 앉게 되었다는 것이다. 말하자면, 다른 남자 아이들은 다들 여자애들과 짝이 되었는데, 키 순서대로 서다보니, 여학생이 한 명 모자라는 바람에 자신만 여자 짝이 없었던 모양이다. 수학에서는 짝짓기에 대한 것에 ‘함수’라는 이름을 붙여 놓았다. 한 집합 X의 원소가 다른 집합 Y의 원소와 짝을 이룰 때 이것을 ‘함수’라고 한다(함수가 아닌 짝짓기가 있기는 하다).특히, X의 모든 원소가 Y의 모든 원소와 개수가 같아서, 각각 중복되지 않고 남지 않게 짝지을 수 있을 때, ‘일대일 대응’ 라고 한다. 위의 그림은 X의 모든 원소가 Y의 모든 원소에 각각 중복되지 않고 남지 않게 짝지어지는 것이기 때문에 일대일 대응이다.cf) '일대일 함수’집합의 모든 원소가 다른 집합의 원소에 하나씩만 서로 대응될 때 이것을 수학적으로 ‘일대일 함수’라고 하는데, ‘일대일 대응’에서는 짝이 없는 원소가 하나도 없는 반면, ‘일대일 함수’에서는 경우에 따라서 어떤 원소에는 어느 원소도 대응하러 오지 않는 외로운 신세가 되는 경우도 있다. 우리의 생활에서 상황을 단순화하여 찾아본다면, 미팅에서 남, 녀 중 한 명이 약속 장소에 나오지 않을 때, 짝을 짓지 못하는 사람이 생기는 슬픈 ‘사랑의 작대기’의 상황과 비슷하다고나 할까?도입(5분)이와 비슷한 경우는 일자리 개수와 취업연령에 있는 인구와의 관계, 대학입학 정원과 수험생의 수, 명절 때 기차표의 수와 귀향인파와의 관계, 주차공간의 수와 차 대수 등등 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있다. 일대일 대응과 일대일 함수는 단어 하나 때문에 의미가 달라지는 용어이다.사례2) 사다리타기우리 생활에서는 이렇게 일대일 대응이 되는 경우를 ‘사다리타기’에서 찾아볼 수 있다. 짝을 정하거나 순번을 정할 때, 또는 술래를 정할 때 이용하는 공평한 방법 중의 하나인데, 이 방법이 동서고금을 막론하고 널리 애용되는 이유는, 절대로 중복되거나 누락되는 일이 없이 항상 기가 막히게 하나의 원소가 다른 하나의 원소에 대응된다는 것이다. 또, 누구와 짝이 될지를 얼른 보아서는 알 수 없다는 것도 한 이유가 된다.○ 사다리를 탈 때 지켜야 할 조건첫째, 가로선은 옆 칸의 가로선과 같은 높이에 나란히 그을 수 없다. 둘째, 가로선을 만나면 반드시 가로선으로 가야하고, 세로선을 만나면 다시 세로선으로 가야 한다. 셋째, 시작점에서 출발하여 세로선으로는 아래 방향으로만 가야 한다. 넷째, 한 번 지나간 길을 되돌아올 수 없다.○ 사다리를 탈 때, 한 번 나온 순위가 중복되어 또 나오는 것은 아닐까?중복되어 나오는 경우는 없다. 그 이유는 무엇일까? 예를 들어, 세 사람이 타는 사다리를 아무렇게나 만들어보자. 아래 사다리에서는 1번과 2번 두 사람이 세로선을 타고 내려오다가 가로선을 만나게 되면 왼쪽 세로선인 1번은 오른쪽으로, 오른쪽 세로선인 2번은 왼쪽 세로선으로 바꿔 타게 된다. 이제 1번과 3번은 세로선을 타고 내려오다가 가로선을 만나게 되고, 두 사람은 다시 세로선을 바꿔 타게 된다. 이와 같이 가로선을 만날 때마다 두 사람이 왼쪽과 오른쪽의 세로선으로 바꿔 타게 되므로 중복되는 경우는 있을 수 없게 된다.○ 사다리를 탈 때 먼저 타는 사람이 유리할까?만약 3사람이 사다리를 탄다면, 먼저 타는 사람이 1등을 할 가능성은 ⅓이다. 먼저 탄 사람이 1등을 해 버리면 나중에 타는 사람은 1등을 할 가능성이 전혀 없다. 그렇지만 먼저 탄 사람이 1등을 하지 못한다면 나중에 타는 사람이 1등할 가능성은 ⅓보다 훨씬 크게 된다. 이런 점을 종합하면 사다리 타기는 누가 먼저 타든 상관없이 공평한 게임이라는 것을 이해할 수 있다.본론(30분)활동1- 실제 생활에서 함수를 찾아보자. (3분간)본론(30분)▷ 내 용번개가 친 곳에서 멀리 떨어져 있을수록 천둥소리는 늦게 들립니다. 또, 산에 높이 오를수록 기온은 내려갑니다.이와 같은 변화 현상을 주의 깊게 살펴보면, 한쪽 양이 변함에 따라 다른 쪽 양이 따라서 변하는 관계가 있음을 알 수 있습니다.일정한 속력으로 달리는 자동차의 달린 시간과 거리, 휴대 전화 통화량과 사용 요금 등과 같이 일상생활에서도 따라서 변하는 두 양을 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 변하는 두 양 사이의 관계를 잘 파악하면, 변화 현상을 설명할 수 있을 뿐만 아니라 합리적인 판단을 하거나 미래를 예측하는 데 도움을 얻을 수도 있습니다.이 단원에서는 변하는 두 양 사이의 관계를 나타내는 함수와 함수의 그래프에 대하여 배운다.▷ 함수와 관련된 용어▷ 함수의 표현함께 함수와 관련된 다양한 용어를 살펴보고, 함수를 표현하는 다양한 표현방법과 정확한 뜻에 대해서 공부 봅시다.- 변 수 : x, y와 같이 변하는 여러 가지 값을 가지는 문자- 상 수 : 일정한 값을 나타내는 수나 문자를 상수라고 한다.- 정의역 : 함수 y=f(x)에서 변수 x가 취하는 모든 값의 집합- 공 역 : 함수 y=f(x)에서 변수 y가 속하는 모든 값의 집합- 함숫값 : 함수 y=f(x)에서 x의 값에 의해서 정해지는 y의 값- 치 역 : 함수 y=f(x)에서 함수 값 전체의 집합- 정비례① 정비례 관계의 값이배,배,배, …이 되면의 값도배,배,배, …이 되는 관계② 정비례 관계식 :비례상수- 반비례① 반비례 관계의 값이배,배,배, …이 되면의 값은배,배,배, …이 되는 관계비례상수② 반비례 관계식 :- 주변에서 쉽게 찾을 수 있는 함수를 제공함으로써 흥미 도를 더욱 높인다.- 두 변수의2가지 관계에대해 예를 들어 설명할 수 있다.- 공역과 치역관계를 그려보게 한다.본론▷ 내 용함수란 비유하면 자동판매기와 같습니다. 자동판매기에서 콜라를 누르면 콜라가 나오고, 사이다를 누르면 사이다가 나오는 것처럼 돈을 넣고 버튼을 넣으면 거기에 대응되는 음료들이 나오기 때문입니다. 여기에서 메뉴를 x라고 하고 그에 대응되어 우리가 마시게 되는 음료를 y라고 하면 하나의 관계식이 만들어집니다. 이것을 y=f(x)라고 쓰며 이민은 y는 x에 관한 함수라고하며, 여기에서 f는 영어로 function을 뜻합니다. x는 독립변수라고 하고 x값에 따라서 달라지는 y는 종속변수라고 부릅니다.예를 들어서 어떤 수를 넣으면 7배가 돼서 나오는 마술 상자가 있다고 합시다.2를 넣으면 14가 나오고, 5를 넣으면 35가 되겠죠. 이렇게 집어넣는 input을 x로 보고 나오는 결과 output을 y로 보면, 이 상자는 x에 관한 y의 함수 꼴로 표시가 됩니다. 여기에서 대응되는 값들은 반드시 그리고 오직 하나 뿐이라는 규칙을 꼭 따라야 합니다. 다시 자판기로 돌아가자면, 콜라를 눌렀는데 콜라와 사이다 2개가 나왔다면, 그 대응은 함수라고 할 수 없습니다. 오직하나만 나와야 한다는 조건을 어겼기 때문입니다. 또한, 사이다를 눌렀는데 아무것도 나오지 않았다면 이것 또한 함수가 아닙니다. 왜냐하면 반드시라는 조건을 어겼기 때문입니다. 이런 함수를 잘 이해하기 위해서 다양한 예제를 통해서 함수와 함수가 아닌 것을 구분문제를 아래에서 풀어볼 것입니다. 아래 표로 정리해보면,□ 함수의 뜻○ 대 응어떤 주어진 관계에 의하여 집합 X의 원소 x에 집합 Y의 원소 y가 짝지어지는 것을 집합 X 에서 집합 Y로의 대응이라고 한다.○ 대응의 표시X의 각 원소 x에 대하여 Y의 원소 y가 맺어지면 x에 y가 대응한다고 하며 기호로 x→y와 같이 나타낸다.○ 일대일대응집합 X의 모든 원소와 집합 Y의 모든 원소가 하나도 빠짐없이 꼭 한 개씩 대응되는 것을 특별히 X에서 Y로의 일대일대응이라고 한다.⇒ 두 집합 X, Y에서 집합 X의 각 원소가 집합 Y의 원소에 반드시 하나씩 대응할 때, 이 대응을 집합 X에서 집합 Y로의 함수라 한다. 이 함수를 f 라고 하면 기호로 f : X →Y 와 같이 나타낸다. 집합 X를 함수 f : X →Y 의 정의역, 집합 Y를 f : X →Y의 공역이라고 한다.○ 함수의 간단한 표현함수 f : X →Y에서 X의 원소 x에 대응되는 Y의 원소 y를 y=f(x)로 쓰고, 이 함수를 f : X →Y , y=f(x) 로 나타낸다.특히, 정의역과 공역이 분명할 때에는 정의역과 공역을 생략하여 간단히 함수 'y=f(x)'로 나타낸다.본론쉬어가기1. 함수 관계는 모두 몇 가지일까?두 집합 X, Y가 주어졌을 때, 집합 X에서 집합 Y로의 대응은 여러 가지 구할 수 있다. 이 때, X에서 Y로의 대응에는 함수라고 말할 수 있는 것과 함수라고 말할 수 없는 것이 있다.X에서 Y로의 함수는 X의 각 원소에 대하여 Y의 원소가 오직 하나씩 대응되는 것을 뜻하므로, X에서 Y로의 여러 가지 대응 중 함수에 의한 대응이 몇 가지인지 구할 수 있다. 이 때, 함수의 개수는 다음과 같이 그려보지 않고도 구할 수 있다.X, Y의 원소의 개수를 각각 p, q라 할 때, X에서 Y로의 함수의 개수는 q의 p제곱(가지)이다.즉, X=｛1, 2, 3｝, Y=｛4, 5｝일 때, X에서 Y로의 함수는 2×2×2()8가지이다.2. 음차)은 사용한 함수여기 있는 시원한 콜라와 함수가 공통점이 있다고 합니다. 과연 그게 무엇일까요? 중국어로 콜라는 ‘가구가락’이라고 불린다고 하는데요. 아주 정확한 이유는 없지만, 한 견해로는 중화사상의 영향으로 그런 이름이 붙여졌다고 하네요. 가구가락은 즐거움이 전해진다는 듯이라고 해요. 그리고 가구가락을 중국발음으로 읽으면 ‘커카카우’라고 하는데요. 코카콜라와 발음이 비슷하죠? 이런식의 한자표현법을 음차라고 하는데요. 함수도 이 표현법을 빌려 썼다고 해요. 함수 영어로는 function은 중국어로 函數로 사용되는데요. 중요한 것은 여기서 함수는 상자의 수라는 뜻을 가지고 있다고 합니다.

교육학| 2009.05.30| 7페이지| 1,000원| 조회(196)

교육학, 교육학개론, 1학년, 수업계획서

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무리수와 실수 수업계획서 평가B괜찮아요

단원명Ⅰ. 무리수와 실수1. 제곱근과 실수① 제곱근과 그 성질 ② 무리수와 실수2. 근호를 포함한 식의 계산① 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈② 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈학습 대상중학교 3학년준 비 물교과서, 모눈종이, A4용지학습 목표1. 실수의 뜻을 말할 수 있다.2. 실수를 수직선 위에 나타낼 수 있다.단계(시간)학습과정학습 활동학습 자료도입(5분)실생활사례흥미유발□ 생활속에 숨어있는 ‘이상한 수’ √2자연수만을 수라고 여기던 그 당시에 이러한 이상한 수(이런 수를 무리수라고 한다)의 등장은 아마도 큰 충격이었을 것이다. 유명한 수학자 피타고라스와 그의 제자들에게도 이 √2에 대한 문제는 너무 어려운 문제였고, 그 수의 존재를 인정하게 되면 그들이 지금까지 믿어오던 수체계가 흔들리게 되는 것이었다. 그들은 그 사실을 기밀로 감추었다. 이렇게 엄청난 무리수 √2를 받아들이는 것이 우리 학생들에게도 그리 쉽지만은 않을 것이라는 생각이 든다.피타고라스와 그의 제자들이 그랬듯이 √2는 심오한 수이지만 우리 주변에서 의외로 쉽게 발견되기도 한다. 몇 가지 예를 살펴보기로 하자.사례1) 보도블록 속에 숨어있는 √2거리를 걷다 보면 여기 저기 아름다운 보도블록을 보게 된다. 그 중에서 그림과 같은 보도블록도 볼 수 있다. 이 모양은 정사각형을 반으로 나눈 것을 이용한 것인데 이와 같이 우리 주변에서는 정사각형과 그 대각선을 자주 볼 수 있다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 제곱하여 2가 되는 수, 즉 √2=1.4142135623...과 같이 한없이 계속되는 무한소수이다.도입(5분)사례2) 카메라 속에 숨어있는 √2요즘은 휴대폰에 있는 카메라를 가지고 다니는 사람들이 많다. 카메라에는 어두운 데서 우리 눈의 동공이 커지듯이 카메라도 빛의 양을 조절하는 곳이 있는데 그것이 조리개이다. 조리개는 여러 개의 날개로 되어 있는데, 조리개의 값(F수)에 따라서 날개가 움직이며 빛의 양을 조절한다. 카메라 렌즈를 보면 F1.4, F2, F2.8, F4, F5.6, F8, F16, F22 등과 같이 표시된 숫자를 볼 수 있다. 이 수들을 자세히 관찰해 보면 √2≒1.4에 차례로 √2를 곱해준 값이라는 것을 알 수 있다. 왜 그렇게 만들었을까? 조리개는 그 수가 클수록 좁아지고, 작을수록 반대로 커지게 되어 있다. F수를 한 단계 높이면 조리개가 렌즈를 적당히 가려서 빛이 들어오는 부분의 넓이가 반으로 줄어든다. 원의 넓이는 π에 반지름의 제곱을 곱하게 되므로 넓이가 배가 되려면 반지름은 √2배가 되어야 하는 것이다. 그래서 조리개의 수치는 √2와 관계가 있는 것이다.반면에, 셔터를 열고 닫는 속도 역시 빛의 양과 관계가 있다. 셔터의 개폐 속도는 B, 15, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/15, 1/30, 1/60, 1/125, 1/250, 1/500, 1/1000 등으로 구성되어 있어서 한 단계 옮기면 속도가 반으로 줄어들게 되어 셔터의 개폐 속도와 조리개의 F수를 잘 조합시켜야 좋은 사진을 찍을 수 있는 것이다.사례3) A4용지 속에 숨어있는 √2우리가 많이 사용하고 있는 A4 용지나 B4 용지에서도 √2를 찾을 수 있다. A계열에서 A4 용지를 반으로 접으면 A5가 되고, 두 장을 붙이면 A3이 된다. B계열의 용지에서도 마찬가지이다. 그런데 이처럼 반으로 접어도 처음과 같은 모양이 되도록 하려면 가로와 세로의 길이의 비가 1:√2가 되어야 한다. 황금 분할비인 1:1.618이 가장 아름다운 비율이라고 하지만 실제로 우리가 사용하고 있는 종이의 경우에는 그런 비율보다 1:√2를 사용하고 있는 것이다. 그 이유는 종이를 반으로 잘랐을 때 처음 종이와 같은 모양이 되도록, 즉 잘라서 버려야 할 불필요한 부분이 생기지 않도록 하기 위한 것이다.사례4) 피아노 속에 숨어있는 √2피아노에도 √2가 존재하고 있음을 아는가? 피타고라스가 서양의 7음계를 만든 이후 오랜 세월 동안 7음계를 수정해 왔다. 그래서 지금은 평균율을 채택하고 있다. 평균율은 7음계에 반음을 추가하여, ‘도, 도#, 레, 레#, 미, 파, 파#, 솔, 솔#, 라, 라#, 시, 도’와 같이 12음계로 구성된다. 그리고 낮은 도와 높은 도의 진동수를 낮은 도의 진동수의 2배가 되도록 하였다. 그러므로 각각의 음 사이의 진동수의 비는 a의 12승=2가 되는 값, 즉 a≒1.0595이다. 그 중에서 파#의 진동수는 낮은 도의 진동수의 √2배가 된다.사례5) 선풍기 속에 숨어있는 √2특별한 이유가 있어서 만들었는지는 모르지만 우리들 집에 있는 선풍기를 살펴보니, 중간에 있는 원의 반지름이 14cm, 바깥의 가장자리 원의 지름이 20cm인데, 여기에도 1.4와 2의 관계가 있었다.본론(30분)활동1- 모눈종이로 √2를 그려 실제로 그려본다.- 계산기를 이용해서 √2값을 찾아본다.본론(30분)내용1. 유리수와 무리수의 구분2. 실수의 분류□ 유리수와 무리수의 구분○ 무리수란? 분수꼴모양 x○ 유리수란? 분수꼴모양 ⇒ 즉는 정수○ 무리수의 소수 표현무리수를 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 된다.소수유한소수무한소수순환소수순환하지 않는 무한소수무리수유리수정수정수가 아닌 유리수음의 정수양의 정수(자연수)실수유리수무리수□ 실수의 분류○ 실수 : 유리수와 무리수를 통틀어서 실수라고 한다.가장 접하기 쉬운 수는 자연수로, 자연수로만은 3-5와 같은 수를 정의할 수 없게 됨으로써, 수를 확장하게 됩니다. 그래서 등장하게 된 것이 음의정수입니다. 음의 정수가 처음에는 받아들여지기 힘들었지만, 동양에서 먼저 음의정수를 받아들였다고 합니다. 동양에서는 음양사상 때문에 수를 인정하기 쉬었나봐요.이렇게 양의정수와 , 0 , 음의정수를 묶어서 정수라고 부릅니다. 그러나와 같은 나누기를 할 수 없었기 때문에 또한번 수 체계를 확장이 필요했고, 유리수를 도입합니다. 유리수는 분수로 표현할 수 있는 유리수와 정수가 아닌 유리수로 나뉘게 되고 무리수는 순환하는 무한소수와 수환하지 않는 무한소수로 표현됩니다. 유리수와 무리수는 다시 실수로 묶이게 되고, 지금 우리가 배우지는 않지만 나중에는 우리 상상 속에 존재하는 허수라는 개념을 배우게 될 거에요. 보통기호로는,- 실수 = R(real number)- 유리수 = Q(rational number)- 무리수 =(irrational number)- 정수 = Z(inteer)- 자연수 = N(nature number)로 나타냅니다.-무리수정의-실수의체계에 대해서 설명한 뒤, 간단한예를 든다.-허수에 관한설명도 잠시언급한다.본론쉬어가기1. 무리수 √2의 탄생기피타고라스는 그리스의 유명한 수학자이다.그는 그의 이름을 따서 학교를 세우게 되는데 이 학교를 피타고라스 학교라고 불리었다. 피타고라스 학파는 수학자 피타고라스가 고향인 크로톤에 세운 학교에 모여 수학을 연구한 사람들로, 이 모임은 종교적인 색채가 매우 짙었다. 이 학파에서는 독특한 규칙과 규율이 있었는데요. 가슴에 오각별 문양을 달고 다니기도 하고, 서로에게 밝혀진 진실이나 진리를 외부사람들에게는 알리지 않는 규율이 있었다고 해요.또, 콩이라는 식물을 아주 신성시 여겨 먹거나 밟지 않았다고 합니다. 피타고라스의 인기는 점점 더 높아져서 사람들은 그를 신의 아들이라고까지 부르며 추앙하기 시작합니다. 이렇게 유명한 사람이 있으며 싫어하는 사람도 있겠죠? 그의 명성과 인기는 왕의 노여움을 사게 되고 왕은 피타고라스의 학교를 불태울 뿐만 아니라 피타고라스를 죽이라고 명하게 됩니다. 한참을 피타고라스는 더 이상 신성시 여기던 콩을 밟고 도망가는 것을 포기하고 잡혀 가가로 결심합니다.그 당시 그리스에서는 우주의 구성이나 자연 현상에 대한 연구가 활발히 이루어졌으며, 많은 사람들은 우주는 수로써 구성되어 있고, 우주의 질서나 조화는 모두 정수의 비로 표현할 수 있다고 믿었어요. 따라서, 그들은 도형에서의 선분은 크기를 가진 많은 점이 나란히 있는 것으로 그 점의 수는 유한하고 헤아릴 수 있다고 생각하였다. 따라서, 도형의 선분의 길이의 비는(이것은 점의 개수로서 표현된다.)반드시 정수의 비로 되어 있다고 생각했다.그런데 정사각형의 한 변의 길이의 비와 대각선의 길이의 비를 생각해 보았을 때, 중요한 사실을 알게 되었다. 그들은 선분은 유한 개의 점의 집합이므로 정사각형의 한 변은 a개의 점으로, 대각선은 b개의 점으로 되어 있다고 생각했으나,a와 b의 비는 정수의 비가 되지 않는다는 것을 알게 되었다.즉, 정수의 비로 나타낼 수 없는 수(무리수)가 존재함을 알았다. 이것은 "만물은 수이다."라고 생각 하던 그들에게는 대단히 곤란한 일이었대요.. 때문에 그들은 이 무리수의 존재에 대해서는 비밀로 하여 외부에 절대 누설하지 못하도록 했다고 규율을 정했다고 해요.본론쉬어가기일반적으로 알려져 있는 무리수의 발견은 '한 변이 1인 정사각형의 대각선이 가된다.'라는 것에서이다. 곧,=2에서 x=√2를 얻었대요.현재는, 무리수의 존재를 누구도 의심할 사람은 없지만 유럽에서는 19C 중반까지도 무리수를 수로 인정하지 않고, 유리수까지를 수로 인정하였다고 해요.지금의 학교와는 달리 종교단체이기도 하고 정치결사단체이기도 했던 피타고라스 학파는 '배운 것은 외부에 일체 누설해서는 안된다'는 규칙이 있었대요. ‘√2를 분수로 나타낼 수 없다.’ 라는 규칙이 있었는데요. 피타고라스 학파의 한 사람이였던, 히파수스는 정십이면체의 면인 정오각형에서 한 변과 대각선의 비가

교육학| 2009.05.30| 7페이지| 1,000원| 조회(384)

교육학, 교과교육론, 수업계획서, 정사각형

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도형의 닮음 수업계획서

단원명Ⅲ. 도형의 닮음2. 닮음의 응용① 삼각형과 평행선② 평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비학습 대상중학교 2학년준 비 물학생 학습지, 컴퓨터학습 목표평행선 사이의 선분의 길이의 비를 말할 수 있다.단계(시간)학습과정학습 활동학습 자료도입(5분)실생활사례< 길이·면적·부피의 닮음비>사례1) 비용을 절약할 수 있는 피자 고르기중학교 2학년인 나닮음 군은 생일을 맞아 친구6명에게 피자로 간단하게 한턱을 내기로 했다. 닮음군은 피자의 크기별로 좀 더 꼼꼼히 가격을 따져 비용이 가장 적게 드는 경우를 알고 싶었다. 피자 비용을 절약할 수 있는 방법은 어떤 것일까?지름의 닮음비만을 고려한 가격의 비를 생각해보면 10.5:14와 22900:30900이 거의 차이가 없다. 그러므로 어느 쪽으로 주문을 해도 큰 차이가 없어 보인다. 그러나 바로 이곳에 맹점이 있다.왜냐하면, 피자의 크기는 단순히 지름만을 비교하면 안 되기 때문이다. 초등학교 6학년 교과서에 나오듯이 원의 넓이는 원주율(3.14)에 반지름의 제곱을 곱하여 구하기 때문이다. 따라서 두 피자의 크기의 비는 다음과 같이 반지름의 제곱의 비로 구할 수 있다.위와 같이 Family 사이즈 피자는 지름의 닮음비만을 비교할 때와는 달리, Medium 사이즈 피자보다 2배 가까운 크기가 된다. 그러나 값은 두 배보다 적으므로, 위와 같은 경우라면 Medium 두 판을 시키는 것보다는 Family 한 판을 시키는 것이 돈을 절약하는 방법이 될 것이다. 물론 실제로 과일을 살 때는 부피만이 아니라 씨 부분을 제외한 속살의 양, 보관성 등 여러 변인을 고려해야만 하기 때문에 이처럼 단순하게 판단할 수만은 없다.도입(5분)사례2) 과일사기과일 가게에서 배를 사려고 하는데, 한쪽에는 어른 주먹 2개를 붙여 놓은 듯한 크기(반지름이 10cm라고 하자)의 배를 3개에 10000원에 팔고, 그 옆에는 그 반만 한 크기(반지름이 5cm라고 하자)의 배를 7개에 10000원에 판다고 하자. 어떤 배를 살 것인가? 이런 경우 보통 우리는 닮음비는 2:1인데, 그 두 배가 넘는 많은 개수를 주는 쪽으로 마음이 기울게 될 것이나, 구의 부피에 대한 공식을 떠올려 보면 그렇지 않다는 것을 바로 직감할 수 있다.구의 부피를 구하려면 반지름의 세제곱을 곱해야 하기 때문에, 부피의 비는 2:1이 아니라 8:1이 되는 것을 알 수 있다. 즉, 큰 배 1개와 같은 부피가 되려면 작은 배가 8개가 있어야 한다. 따라서 10000원에 큰 배 3개라면 작은 배는 24개가 되어야 부피가 같게 되는데, 7개라면 너무 적다. 한편, 우리 나라와 달리 중국은 크기에 상관없이 무조건 무게(근)로 가격을 결정하기 때문에, 이러한 고민을 하지 않아도 항상 정해진 기준량에 비례한 만큼의 가격을 치르게 되어 있어 편리한 면이 있다. 물론 실제로 과일을 살 때는 부피만이 아니라 씨 부분을 제외한 속살의 양, 보관성 등 여러 변인을 고려해야만 하기 때문에 이처럼 단순하게 판단할 수만은 없다.본론(30분)활동1종이접기(평행선 사이의 선분의 길이의 비)삼각형준비 → 수선 만들기 → 수선의 발로 삼각형접기 → 3변들의 닮은비를 확인내 용□ 삼각형과 선분의 길이의 비에 대하여 알아보자.오늘 수업의 내용은 삼각형이 하나 존재하고 밑변에 평행한 선분이 주어졌을때, 변들의 성질을 공부해 볼 꺼에요.△ABC 에서 점 D , E 가 변 AB , AC 또는 그 연장선 위의 점 일때,1.이면,2.1번의 내용은 삼각형에 평행선 하나를 그으면, 변들의 길이의 비가 성립한다는 내용이고 간단히 증명해 보자면, ①삼각형의 닮음과 ②평행선의 성질을 이용할 거에요.본론(30분)삼각형이 닮음에 필요한 3가지 조건이 있었죠. 다시 기억해보면, 세 쌍의 대응변의 길이가 같을때 ( SSS 닮음 ) 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 닮음) 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (AA 닮음)가 있었고, 문제를 풀 때는 (AA 닮음)을 많이 사용하게 될거에요.평행선의 성질이란, 어떤 두 직선이 평행하다면, 동위각과 엇각의 크기가 같다는것 입니다. 잘보면 이속에는 삼각형이 2개가 있어요. △ADE와 △ABC가 있죠. 그런데,하면, 평행선의 성질에 의해서,는 동위각으로 각각 같기 때문에 AA닮음이 됨으로 두 삼각형을 닮은 관계에 있고, 세변의 길이의 비는 일정하다고 할 수 있어요. 다시말해서는 닮은비가 되고,또한 닮은비가 된다는 것입니다.2번명제는 1명명제의 가정과 결론을 바꿔써 놓았죠? 이런 명제를 ‘역’명제라고 하며, 2번명제 또한 성립이 됩니다.위의 1,2,명제는 아래 두 조건에서도 성립하는데첫 번째, △ABC가 있고 B와 C를 연장해서 D와 E라는 점을 잡으면 △ABC와 △ADE는 닮음이고 각 변은 닮은비가 됩니다.또 하나 A점을 중심으로 C의 연장인 E라는 점을 잡고 B의 연장선 D라는 점을 잡으면, △ABC와 △ADE는 닮음이기 때문에 닮은비가 성립하게 됩니다.쉬어가기그리스 최초의 수학자이자 천문학자인 탈레스(Thaies, 기원전 624∼546?)는 청년 시절에 소금이나 기름을 거래하는 상인이었는데 그 덕분에 여러 나라를 다니면서 견문을 넓힐 수 있었고, 당시 문명 국가이던 이집트에서 선진 문물을 접할 수 있었다. 당시 이집트의 어느 사원에 아주 소중히 모셔 둔 문서가 있다는 말을 듣고 여러 번 찾아가 간곡히 사정하여 마침내 그 책을 볼 수 있게 되었다. 이 책들은 기하학과 천문학에 관하여 쓰여진 것을로 그 책을 본 탈레스는 깊은 감명을 받아 이집트의 승려들에게 기하학과 천문학을 배운 후 고향 이오니아에 돌아와서 젊은이들에게 가르쳤다. 이 학파를 이오니아 학파(또는 밀레토스 학파)라 하는데 이오니아 학파는 자연철학 학파의 시초가 되었다.쉬어가기탈레스가 이집트에 갔을 때, 그 곳에는 이집트 왕의 무덤인 피라미드가 있었다. 사람의 몸은 때가 되면 죽지만 그 영혼은 영원히 살아 있으며 언젠가는 다시 돌아온다고 생각했던 이집트인들은 왕의 육신을 보존하기 위해 미이라를 만들고 그것을 돌무덤, 곧 피라미드 속에 안치했던 것이다. 피라미드는 기원전 2520년부터 지어졌는데 하나를 만드는 데에도 수 만명의 노예들이 몇 십년이라는 긴 세월을 보내야했다. 그 중 가장 높은 것은 기제에 있는 체옵스 피라미드인데 높이가 무려 146.6m에 이른다고 한다.

교육학| 2009.05.30| 5페이지| 1,000원| 조회(456)

교육학, 교과교육론, 2학년, 수업계획서

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