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수학은 왜 공부하는가(페르마마지막정리, 세제7대수학난제,필즈상)

1 수학은 왜 공부하는가 ? - 수학 공부를 해야하는 다섯 가지 이유 - 수학의 응용 - 페르마의 마지막 정리 ( 앤드류 와일즈 ) - 세계 7 대 수학 난제 ( 밀레니엄 문제 ) - 수학의 노벨상 , 필즈상2 수학 공부를 하여야 하는 다섯 가지 이유 바른 판단력 정직함 참을성 창의력 마음을 경영 하는 학문 ( 푸앙카레 )3 남이 해 놓은 증명을 따라 하고 점점 스스로 새로운 증명을 해보는 습관을 기르세요 자신도 모르게 남이 한번도 해보지 못한 원리를 발견하게 된다 여러분 ! 어떤 원리를 보면 증명하는 훈련을 하세요 ( 파인만 ) 처음에는 그렇게 증명하는 습관을 가지면4 자연을 이해하기 위하여 수학 을 배워야 한다 ( 갈릴레오 ) 수학은 자연의 언어 인간의 어떠한 지적 산물도 수학적으로 보여 지지 않으면 진정한 학문이라 말할 수 없다 ( 레오나르도 다빈치 )5 ( 존재성 ) 수학은 사회 문제의 해결방법을 말해 줍니다 . 사건이 해결책이 있는가 ? 어떻게 해결할 것인가 ? 제시한 해결책이 바른가 ? ( 검증 )6 수학은 아름다움을 추구하는 학문 삼라만상의 패턴 을 연구하는 학문7 예술가의 수학 (Escher)8 수학은 기술입니다 . 걸프전 이후 이것은 수학의 승리이다 . ( 고어 ) 컴퓨터 (Turing, von Neumann) 통신이론 ( 샤논 ) 게놈연구 금융기술9 수학자들은 무엇을 하고 있나 ?10 페르마의 마지막 정리 n 이 2 보다 큰 자연수일 때 , 방정식 을 만족하는 양의 정수 x, y, z 는 존재하지 않는다 . 페르마 마지막 정리 1993 년 엔드류 와일즈 ( 영국 ) 에 의해 증명됨 (1995 년 증명완성 )11 세계 7 대 수학 난제 , 밀레니엄 문제 1. P-NP 문제 2. 호지 추측 3. 푸앙카레 추측 (1904- 2002, 그레고리 페렐만 , 러시아 ) 4. 리만 가설 (1859) 5. 양 - 밀스 질량 간극 가설 (2013 년 4 월 17 일 건국대 조용민 교수 - 검증중 ) 6. 내비어 - 스톡스 방정식 7. 버치와 스위너톤 - 다이어 추측 클레이 수학연구소 (Clay Mathematics Institute, CMI) - 2000 년 5 월 24 일 - 백만달러 ( 약 11 억원 )12 밀레니엄 문제 1 ( 백만불 문제 ) Birch and Swinnerton-Dyer 예측13 밀레니엄 문제 2 ( 백만불 문제 ) Hodge 예측14 밀레니엄 문제 3 ( 백만불 문제 ) 나비어 - 스톡 방정식15 밀레니엄 문제 4 ( 백만불 문제 ) P 대 NP 문제16 밀레니엄 문제 5 ( 백만불 문제 ) ) 푸앙카레 예측17 푸앙카레 예측 해결 Perelman 의 해결 내가 우주의 비밀을 쫓고 있는데 어떻게 백만 달러를 쫓겠는가 ? ( 상금 , 필즈상 수상 거부 )18 밀레니엄 문제 6 ( 백만불 문제 ) 리만 가설19 밀레니엄 문제 7 ( 백만불 문제 ) Yang-Mills 방정식20 수학의 노벨상 , 필즈상 국제 수학자 회의 (ICM) - 존 찰스 필즈 ( 캐나다 수학자 ) 의 유언에 따라 유산을 기금으로 만들어진 상 1936 년부터 2010 년까지 총 49 명 수상 ( 일본 2, 중국 1, 한국인 없음 ) 필즈상은 국제수학자회의 개최국의 국가 원수가 수여함 - 2014 년 8 월 한국 ( 서울 ) 에서 개최됨 ( 박근혜 대통령 , 필즈상 수여자 ) 40 세 이전에만 수상 가능함 ( 페르마 마지막 정리의 엔드류 와일스 : 특별상 )21 2006 년 필즈 상 수상자 Andrei kounkov ( 러시아 , 37) Wendelin Werner ( 프랑스 , 38) Terence Tao ( 호주 , 31)22 수학의 응용 제임스 사이먼의 경우 1978 르네상스 테크놀리지 투자회사 창립 (39) 2003-2007 평균 연봉 1 조원 MIT 수학 학사 (19) 캘리포니아 대학 수학박사 (23) MIT, 하바드 , 뉴욕대 수학과교수23 수학의 응용 뇌 이미징 종양 탐사 지문저장 과 데이터 압축 DNA 구조 연구 항공기 디자인 영화 , 에니메이션24 CT ( 컴퓨터 단층 촬영기 ) 에서도 수학이 ?25 밑면에 수직인 임의의 평면으로 자른 단면의 면적을 알 때 위 곡면을 알 수 있다 . ( 라돈의 복원공식 , 1917)26 수고 하셨습니다{nameOfApplication=Show}

교육학| 2014.08.07| 26페이지| 2,000원| 조회(510)

페르마, 리만가설, 마지막정리, 필즈상, 수학난제, 수학 공부의 필요성, 수학는왜공..

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생활속의 수학 - 게임이론과 암호학

40년대 최고의 엘리트들이 모이는 프린스턴 대학원. 시험도 보지 않고 장학생으로 입학한 웨스트 버지니아 출신의 한 천재가 캠퍼스를 술렁이게 만든다. 너무도 내성적이라 무뚝뚝해 보이고, 오만이라 할 정도로 자기확신에 차 있는 수학과 새내기, 존 내쉬. 누구도 따라올 수 없는 뛰어난 두뇌와 수려한 용모를 지녔지만 괴짜 천재인 그는 기숙사 유리창을 노트 삼아 단 하나의 문제에 매달린다. 어느 날, 짓궂은 친구들과 함께 들른 술집에서 금발 미녀를 둘러싸고 벌이는 친구들의 경쟁을 지켜보던 존 내쉬는 섬광같은 직관으로 '균형이론'의 단서를 발견한다. MIT 교수로 승승장구하던 그는 정부 비밀요원 윌리암 파처를 만나 냉전시대 엘리트들이 그러하듯 소련의 암호 해독 프로젝트에 비밀리에 투입된다. 소련 스파이가 자신을 미행한다는 생각에 사로잡히는 존…세계 무역 협상, 국가노동관계, 생물진화 등 까지 영향을 끼쳤다. 존 내쉬는 뉴저지의 프린스턴에 살고 있으며 수학과에 재직 중이다.한 집단에서 어떤 행동에서의 결과가 게임에서와 같이 참여자 자신의 행동에 의해서만 결정되는 것이 아니고 동시에 다른 참여자의 행동에 의해서 결정된다는 상황하에서, 자기 자신이 최대의 이익을 위해서 행동하는 것을 분석하는 수리적 접근법 경제상황에서 의사를 결정해야 할 방도는 이성적인 행동을 분석해서 최적의 결론을 얻는 것 사회적인 게임이론의 정의는 사회 구성원의 어떤 이득이 다른 구성원의 이득과 상호적인 상황을 얘기한다.1921, 보렐에 의해 처음으로 제창 1928, 폰 노이만과 모르겐슈테른이 지금의 수학게임이론이라 불리어지는 거의 모든 것들에 대한 기초 확립 '게임이론과 경제적인 활동'1950, 존내쉬 “내쉬평행” 제안 노벨 경제학상 수상 군사학, 경제학, 정치학 (룰렛게임, 투자, 복권, 죄수의 딜레마, 비스마르크해전)개인의 이익이 곧 사회의 이익 자신의 이익을 추구하는 열정과 행위는 바로 사회 전체의 이익과 조화를 이루는 방향으로 나아가며, 이런 방향으로 나아가게 하는 “보이지 않는 손” 국부론 (푸을 부인하면 너희는 총기소지자로 3개월 형을 받게 될 것이다. 반면에 둘 중에 한 명만 자백한다면, 자백을 했기 때문에 1개월 형만 받고 증인보호프로그램으로 보호받게 될 것이다. 반면에 부인한 사람은 10년 형에 처하게 될 것이다. 그리고 둘 다 자백한다면 둘 다 9년 형에 처하게 된다.”두 명의 범죄자가 어떻게 행동할까? 어떤 것이 최선의 선택일까?범죄자 B가 부인한다면 A가 부인하면 3개월형, 자백하면 1개월형 A는 자백하는 것이 유리 범죄자 B가 자백한다면 A가 부인하면 10년형, 자백하면 9년형 A는 자백하는 것이 유리 A와 B는 둘다 자백하는 것이 유리A와 B는 둘 다 자백하는 것이 자신에게 최선의 이익이라는 판단 하에 행동 둘 다 부인하게 되면, A와 B는 둘 다 3개월만 살게 될 것이었다. 개인의 이익을 추구한 결과 사회의 최악의 결과를 낳게 되었다. (국부론이 틀렸다는 존 내쉬의 이론을 뒷받침해주는 딜레마 )휠이 돌아갈 때 작은 공을 휠회전 방향의 반대쪽으로 던져, 휠이 멈췄을 때 그 공이 어느 숫자에 떨어지는지를 맞추는 게임 휠에는 38개의 작은 칸막이가 있고 칸막이에는 각각 '1에서 36'의 숫자와 '0', '00'이 써있다. '0', '00'은 초록색이고 숫자의 절반은 검은색, 나머지 절반은 빨간색이 칠해져 있다.다음의 두 가지 선택 상황이 있다고 한다. 각각의 경우의 기댓값으로 얼마가 될까? 검은색과 빨간색 중에 공이 멈출 색을 예상하여 1달러를 걸고 색이 일치하면 2달러를 돌려받는다. 멈출 번호를 예상하여 1달러를 걸고 번호가 일치하면 35달러를 받는다. 경기자가 선택할 수 있는 경우는 '색에 배팅하는 것', '특정한 수에 배팅하는 것', 또는 '전혀 배팅을 하지 않는 것'이 있다.다음 표와 같은 두 종류의 복권이 있다. 이들 복권 한 장의 값은 1000원 이다. 복권 A의 한 장의 기댓값과 복권 B의 한 장의 기댓값을 각각 구하여라. 한 장의 복권을 사려고 할 때, 어느 것이 유리하겠는가?등위상금(원)매수1등500,000,00012등5000,000500500,000,0004등100,00010,0001,000,000,0005등10,000100,0001,000,000.0006등3,000500,0001,500,000,000총 매수10,000,0005,000,000,0001943, 2월 일본군 수송선이 파푸아 뉴기니의 일본군 진지를 보강할 목적으로 인근 뉴 브리튼 섬에 있는 라바울 항에 집결하고 있다는 증거를 연합군 정보부대가 입수하였다. 일본군은 라바울에서 파푸아 뉴기니에 이르기까지 3일간의 항해를 해야 했다. 일본군은 비가 오고 날씨가 좋지 않을 것으로 예측되는 뉴브리튼 북쪽지역을 따라 항해할 수도 있었고 청명한 날씨가 예측되는 남쪽지역을 따라 항해할 수도 있었다. 남서태평양의 연합 공군 사령관인 조지 케니 장군은 맥아더 장군으로부터 일본국 수송선을 차단해서 최대한 타격을 가하라는 명령을 받고 정찰기의 태반을 북쪽 또는 남쪽으로 집중시킬 수 있었다.미군이 남쪽을 정찰했을 때, 일본군이 북쪽으로 항해하면 하루 동안 폭격이 가능하고 남쪽으로 항해하면 3 일 동안 폭격이 가능하다. 미군이 북쪽을 정찰했을 때, 일본군이 북쪽으로 항해하면 이틀간 폭격이 가능하고 남쪽으로 항해하면 이틀간 폭격이 가능하다.내 이익이 최대가 되려면 나 때문에 손해를 입는 다른 입장이 반드시 반격할 것이다. 이득의 맥시민, 손실의 미니맥스 맥시민 (maximum in minimum)~최소로 보장 받는 것 중에 가장 큰 효용 과거 경제학(자급 자족) 현실 경제학(상대 의존성) (폰 노이만~20C) 미니맥스(minimum in maximum)~최악의 상황에서 얻을 수 있는 최선의 결과미국 : 맥시민 전략 일본 : 미니맥스 전략 각 국은 어디로 항해를 했을까?2인 영합게임 :한 경기자의 이득이 다른 경기자의 손실로부터 오는 경우2인 영합게임의 효용이 다음과 같다고 하자.각 경기자의 전략의 선택에 따라 결과를 예측하면? 갑: 맥시민 전략 Hint! 을: 맥시민 전략 갑: 미니맥스 전략 을: 미니맥스 전략갑의 효용을의 전략abc갑의 는 게임을 제로섬 게임이라한다1-1-11수지와 수현이는 각각 동전을 하나씩 가지고 있고 그들은 동시에 각자 동전의 앞면 또는 뒷면을 보여준다. 이 때 동전이 둘 다 앞면 또는 뒷면이면 수지이 동전을 갖고 그렇지 않으면 수현이가 동전을 갖는다.앞면 뒷면앞면 뒷면1은 수지가 동전 한 개를 따는 것을 표시, -1은 수지가 동전 한개를 잃는 것을 표시. 수지가 따면 수현이 잃을 것이고, 수현이 따면 수지가 잃을 것이다수지와 수현이가 바위, 가위, 보 게임을 한다. 승자는 상대에게서 100원을 받고 비긴 경우에는 돈을 주고받지 않는다. 무작위 뽑기 회전판을 돌려서 그 결과에 따라서 각각의 결정을 하는데 기초할 수도 있다.가위 보 바위01-1-1011-10수현 바위 가위 보바위 수지 가위 보머큐리 : 국가보안 암호 제조기의 코드명. 암호의 개발자들은 혹시나 하는 마음에 일반인 중에 암호를 풀 수 있는 사람이 있는지를 알아보기 위해 암호를 시험적으로 잡지에 실어 놓는다. 자폐아이자 컴퓨터 천재인 꼬마 사이먼이 암호를 해독한 후 잡지의 안내에 따라 전화를 건다. 사이먼을 제거하려는 정보기관과 사이먼을 보호하려는 FBI 요원 아트(브루스 윌리스) 사이에 한판 추격전이 벌어진다.애니그마(암호기계)수수께끼 1923년 독일 엔지니어 셀비우스에 의해 발명됨 2차 대전 독일이 유럽을 침공할 때 지령문 암호화했다. 1939년 영국 정부는 암호학교 설립 1943년 수학천재 튜링 콜로수스(거인)라는 해독기 만듦정보화 사회의 도래하면서 생활 곳곳에서 암호가 쓰이고 있다 : 인터넷 뱅킹, 전자 상거래, 전자우편, 회원 전용 사이트 등 개인의 정보를 보호할 필요가 있는 현대의 일상 생활 전반에서 암호가 사용. 암호의 역사를 보면 초기의 암호는 주로 군사적 목적으로 사용되었다. 비밀 정보를 교환하기 위한 암호가 기원전부터 사용되었다.1세대 암호 : 고대 그리스부터 19세기 말까지의 고전암호. 2세대 암호 : 20세기 전반부터 2차 세계 대전까지의 암호. 3세대 암호 : 2차 세계 대전이 끝난 후의간단한 경우 : A부터 Z까지의 알파벳을 각각 무작위로 다른 알파벳으로 바꾸고, 그에 따라 평문을 암호화하는 것. 무작위로 알파벳을 바꾸는 방법의 수 26!=4*************5635584000000영어 문장들을 분석한 통계에 따르면, E의 사용빈도는 10%을 넘고, X, Z, J, Q의 사용 빈도는 1%에도 미치지 못한다. 가장 빈번하게 짝지어지는 글자는 th 이다. 가장 많이 나오는 단어는 the 이다. 한글은 초성 'ㅇ', 중성 'ㅣ', 종성 'ㅎ'이 가장 빈도수가 높다. 암호문이 길수록 빈번하게 혹은 희박하게 사용된 알파벳의 분석을 통하여 암호가 해독될 가능성이 크다.비게네르 암호 : 16세기 프랑스의 암호학자 비게네르(Vigenere)에 의해 제안된 암호.암호화 키가 (12345)인 비게네르 암호를 작성하였다고 한다면 다음 암호문의 원문은 무엇일까?암호는 두 번의 세계대전을 거치면서 급속도로 발전. 연합군의 독일군과 일본군의 암호를 해독한 것은 2차 세계대전의 종전을 가져온 일등공신. 독일군 암호작성장치 에니그마(Enigma)의 암호를 해독한 것은 앨런 튜링(컴퓨터의 아버지, 세계 최초의 해커, 인공지능의 선구자 등 많은 수식어가 따라 다님)이 발명한 콜로서스(Colossus)이었다. 세계 최초의 컴퓨터는 에니악(ENIAC)이 아니라 콜로서스라는 설이 유력. 컴퓨터의 발명과 암호 해독 방법의 연구가 서로 밀접한 관계가 있다.현대 암호의 발전은 컴퓨터의 발달과 고급 수학 이론을 암호에 활용함에 따라 가속화 되었다. 현대 암호는 비밀키(secret key) 암호와 공개키(public key)암호로 구분된다. 비밀키 암호에서 복호화 키는 암호화 키의 역함수이기 때문에 암호화 키와 복호화 키는 기본적으로 같다. 따라서 키의 기밀을 유지하는 것이 무엇보다 중요.1929년 레스터 힐이 제안한 힐 암호에서는 역행렬이 존재하는 정사각행렬을 이용하여 암호화하고, 그 역행렬을 이용하여 복호화하기 때문에 암호화 키와 복호화 키가 대칭적이다. 이 경우 암호화 키가 w}

교육학| 2014.01.28| 50페이지| 3,000원| 조회(794)

게임, 게임이론, 암호학, 암호, 생활속의 수학, 생활수학

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생활속의 수학 - 피보나치수열과 황금비

황금비와 피보나치수열1) 황금비의 정의와 유래목 차2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제황금비는 (작은 부분) : (큰 부분) = (큰 부분) : (전체)의 비율 황금비율은 어떤 것을 작은 부분, 큰 부분으로 나눌 때, 전체와 부분들 사이에 계속 일정한 비가 유지되는 것을 의미 , 이 변하지 않는 비를 황금의 성질에 빗대어 황금비라고 함1X-1옛날부터 황금비라 일컬어 지는 비례가 가장 균형잡힌 아름다운 비례로 인식되어 왔다. 인간이 느끼는 황금분할의 비율은 가장 안정적이며, 편안하게 하는 요소를 내재하고 있다. 우연인지 필연인지 자연이 만들어 낸 아름다운 산물들 중에는 황금비율을 갖춘 것들이 아주 많다.고대이집트 사람들은 자연 속에 내재된 아름다움을 칭송하면서 그 아름다움을 객관적으로 밝혀내기 위해 노력하였다. 그와 같은 노력으로 자연 곳곳에 숨어 있는 아름다운 비율을 찾아내고 이를 이용하였다. B.C.299년경, 기자에 세워진 거대한 피라미드에서 그 실례를 찾을 수 있다.그리스 신전 건축이나 동상, 꽃병, 물항아리 등을 제작할 때 이 비율을 구사하여 작품을 만들어왔다. 특히 아테네의 파르테논 신전을 비롯한 여러 가지 건축물에 이 비율이 많이 사용되었다.1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제우리 주변에 있는 물건들 중 많은 것들이 사각형이나 원모양을 하고 있다. 그 중에서 사각형 모양의 물건들을 보면 닮은꼴들이 많은 데 그것은 많은 사람들이 무의식적으로 가장 선호하는 황금비를 적용했기 때문이다. 예: 명함, 신용카드, 엽서, 책,공책,종이 등엽서카드책담배갑자연 속의 황금비 (식물)머리가 1이면 가슴이 1.618 가슴이 1이면 배가 1.618자연 속의 황금비 (개미)자연 속의 황금비 (나비, 물고기)두 눈동자를 있는 선은 얼굴의 아래 위로 황금분할 한다. 뿐만 아니라 우아한 자태 안에서도 두 개의 황금사각형 을 더 찾을 수 있음.건물의 윤곽, 창문, 식탁 등이 황금비를 따르고 있다.손가락 뼈, 얼굴 윤곽, 치아에서도 황금비가 나타난다. 따라서, 인체에 맞추는 제복 등에도 황금비가 이용된다.11.618유명한 모델들의 몸에도 황금비가 숨어 있다. 바로 머리부터 배꼽까지와 배꼽부터 발끝까지의 비율이 1: 1.168 인 황금비를 이룬다.1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제피보나치 수열 - 피보나치Leonardo of Pisa of Fibonacci Born 1175 AD다음 수열의 규칙을 찾을 수 있습니까? 1, 1, 2, 3, 5, ?, ?, ?, ….규칙은 어떻게 될까요? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …1 + 1 = 21 + 2 = 32 + 3 = 53 + 5 = 85 + 8 = 138 + 13 = 21▷ an+2=an+1+an피보나치 수열피보나치 수열1.1.2.3.5.8.13.21.34.55. ……에서 연속한 항의 비를 구해보면 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666… 13/8=1.625…, 21/13=1.615, 34/21=1.619, 55/34=1.6176…, 89/55=1.618, … 피보나치 수열에서 수가 커질 수록 항의 비는 황금비인 1.618…에 점점 가까워짐을 알 수 있다.1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제카라(1)꽃기린 선인장꽃(2)연령초(3)노란 데이지(13)배꽃(5)참제비고깔(8)자연 속의 피보나치 수열 (꽃잎)솔방울에서 피보나치 수열을 찾아보자.자연 속의 피보나치 수열 (솔방울)나선형 곡선 구조해바라기 꽃봉오리의 씨앗 배열 오른쪽과 왼쪽 방향으로 씨앗이 나선형 곡선 으로 배열되어 있어 길쭉한 모양의 많은 씨앗 이 중앙과 가장자리까지 골고루 분포자연 속의 피보나치 수열 (해바라기)해바라기에서 피보나치 수열을 찾아보자.앵무조개에서 피보나치 수열을 찾아보자.자연 속의 피보나치 수열 (앵무조개)13112358앵무조개 그리기자연 속의 피보나치 수열 (앵무조개)황금나선인체에 나타난 황금 나선(귀)인체에 나타난 피보나치 수열 (손가락뼈)1) 황금비의 정의와 유래2) 황금비 만들어 보기3) 우리 주변에 나타난 황금비4) 피보나치 수열과 황금비5) 자연속의 피보나치 수열6) 여러가지 수학 문제피보나치 수열의 점화식과 일반항피보나치 수열과 황금비파스칼 삼각형에 나타난 피보나치 수열황금비 문제황금비 문제피보나치 수열 문제피보나치 수열과 황금비 문제피보나치 수열과 황금비 문제선형동차점화식 일반항 구하기{nameOfApplication=Show}

교육학| 2014.01.28| 50페이지| 3,000원| 조회(1,759)

황금비, 생활속의 수학, 생활수학, 피보나치수열

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수업지도안 - 로그와 그 성질

수 업 지 도 안단원Ⅲ. 로그함수01. 로그1. 로그와 그 성질 (81-85쪽)지도대상2학년 0반교사수업일시2014년 1월 7일 (화) 0교시장소2학년 0반 교실학습목표1. 로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.수업자료교 사학 생교과서, 수업 지도안, PPT 자료, 형성평가지, 과제물교과서, 공책, 필기도구, 학습과제지단계(시간)수 업 내 용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업자료및 지도상의 유의점교 사학 생도입(6분)▶ 인사시작- 인사 및 출석을 점검 한다.- 학습 분위기를 조성 한다.- 예의 바르게 인사를 한다.- 수업 준비를 확인한다.- 학습 분위기를 조성한다.▶ 전시학습 확인지수방정식과 지수부등식지수방정식과 지수부등식을 풀 수 있다.전시학습확인여러분 지난 시간에 무엇을 배웠나요?- 지난 단원에서 배운 지수에 대한 내용을 간략히 언급하고, 지난 시간에서 배운 지수방정식과 지수부등식을 복습한다.a>0,`a != 1일 때,a ^{P} =a ^{Q} `` LRARROW ``P=Q예)2 ^{1-3x} = sqrt {2}a>1일 때,a ^{P} >a ^{Q} `` LRARROW ``P>Q00,`a != 1일 때, 임의의 양수N에 대하여a ^{x} =N을 만족하는 실수x는 어떻게 정의할까요?-y=2 ^{x}의 그래프를 보고 일대일 대응임을 이해하여y값이 주어질 때 반드시y=2 ^{x}를 만족하는 실수x값이 하나만 존재함을 이해한다.- 교과서에 명시된 로그의 정의를 명확하게 하여 학생들이 로그라는 생소한 개념에 대해 받아들이고 이해하게 한다.- 지수함수가 일대일 대응이라는 사실을 너무 강조하지 않고, 그래프에서 직관적으로 알 수 있도록 지도한다.▶ 학습목표 제시학습목표제시- 학습목표를 제시하고 학생들에게 읽어보게 한다.로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.다 같이 학습목표를 읽어보도록 합시다. 노트에 단원명이랑 학습 목표를 적도록 하세요.- 학습목표를 노트에 적는다.- 학습목표를 같이 읽으면서 학습할 내용을 인지한다.- 칠판에 학습목표를 제시하여 학생들이 수시로 확인할 수 있도록 한다.전개(38분)▶ 개념설명로그의 정의개념설명a>0,`a != 1,`N>0일 때,a ^{x} =N`````` LRARROW ````x=log _{a} Na>0,`a != 1일 때, 임의의 양수N에 대하여a ^{x} =N을 만족하는 실수x는 오직 하나만 존재하며, 이 실수x를a를 밑으로 하는N의 로그라 하고, 기호로x=log _{a} N과 같이 나타낸다. 이 때,N을log _{a} N의 진수라고 한다.- 선생님의 설명을 들으며 로그의 정의를 이해한다.- 용어 ‘밑’은 지수의 밑과 관련지어 도입하고 밑의 조건인a>0,a != 1을 와 진수N은 양수임을 강조한다.▶ 문제 1등식의 변환(지수와 로그 형태)활동1문제 1번을 같이 풀어 볼까요? 누가 한 번 읽어 볼까요?- 학생을 지목하여 큰 소리로 문제를 읽도록 한다.- 문제1을 통해 주어진 등식을 로그와 지수 형태로 자유자재로 변형할 수 있도록 지도한다.- 친구가 큰 소리로 문제를 읽을 동안 마음으로 같이 읽는다.- 주어진 등식을 지수를 로그로 로그는 지수의 형태로 변환해보고, 이를 통해 로그의 정의를 정확하게 이해한다.- 학생들이 문제를 풀 동안 교실을 순회하며 질문을 받고, 학생들이 수업에 집중할 수 있도록 도와준다.단계수 업 내 용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업자료및 지도상의 유의점교 사학 생전개(38분)▶ 개념설명로그의 기본 성질개념설명지수법칙로그의 성질a ^{0} =1log _{a} 1=0a ^{1} =alog _{a} a=1a ^{p} BULLET a ^{q} =a ^{p+q}log _{a} xy=#log _{a} x+log _{a} ya ^{p} ÷a ^{q} =a ^{p-q}log _{a} {x} over {y} =#log _{a} x-log _{a} yLEFT ( a ^{p} RIGHT ) ^{k} =a ^{pk}log _{a} x ^{k} =k`log _{a} x- 지수법칙과 로그의 성질을 비교하며 로그의 성질을 설명한다.- 지수법칙을 이용하여 로그의 성질 중 한 가지를 증명한다.예를 통해 학생들이 로그의 성질과 혼동하여 착각하기 쉬운 것들을 소개한다.예)log _{a} x+log _{a} y != log _{a} LEFT ( x+y RIGHT )log _{a} xy != log _{a} x`log _{a} ylog _{a} x ^{k} != LEFT ( log _{a} x RIGHT ) ^{k}- 지수법칙과 비교하여 로그의 성질을 이해하고, 암기하도록 한다.- 지수법칙을 통하여 로그의 성질을 증명할 수 있음을 이해한다.- 로그의 성질과 혼동하여 착각하기 쉬운 것들을 예를 통해 소개하여 주의시킨다.▶ 문제 4로그의 성질 증명활동2자. 이제 여러분들이 한 번 도전해 볼 차례가 되겠어요.문제를 풀어볼 사람 손들어 보세요.- 손을 든 학생 중 2명을 지목하여 직접 나와서 문제를 풀게 한다.- 칠판에 문제를 푼 학생에게 설명을 하도록 한다. 부족한 부분이 있으면 설명에 대한 보충을 한다.(풀이한 학생의 생각을 물어본다.)- 친구가 문제를 풀 동안 문제 4번을 같이 풀어본다.- 친구의 설명을 잘 듣고 지수법칙을 이용하여 로그의 성질을 증명하는 과정을 정확하게 이해한다.- 문제를 잘 푼 학생에게는 격려와 칭찬을 그렇지 못한 학생에게는 친절하게 재설명을 한다.▶ 예제 2, 문제 6활동3- 예제 2번을 로그의 성질을 이용하여 증명의 풀이를 한다.- 문제 6번은 학생들이 직접 증명할 수 있도록 시간을 준다.- 예제 2번과 문제 6번을 통해 로그의 성질을 다시 한번 더 강조한다.- 선생님의 설명을 잘 듣고 모르는 부분이 있으면 질문한다.- 로그의 성질을 떠올리며 문제를 직접 풀어 본다.- 학생들이 문제를 풀 동안 교실을 순회하며 질문을 받고, 학생들이 수업에 집중할 수 있도록 도와준다.- 학생들의 수준에 따라 문제 6번은 생략할 수 있음.단계수 업 내 용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업자료및 지도상의 유의점교 사학 생전개(38분)▶ 개념설명밑의 변환 공식개념설명a>0,`b>0,`c>0,a != 1,c != 1RARROW ``log _{a} b= {log _{c} b} over {log _{c} a} ,`log _{a} b= {1} over {log _{b} a}로그의 밑을 변환할 수 있는 공식을 설명한다.- 선생님의 설명을 잘 듣고, 로그의 밑 변환 공식을 이해한다.▶ 문제 7, 문제 8활동4- 문제 7번을 로그의 여러 가지 성질을 이용하여 풀이를 한다.- 문제 8번은 학생들이 직접 풀어볼 수 있도록 시간을 준다.- 선생님의 설명을 잘 듣고 모르는 부분이 있으면 질문한다.- 로그의 성질을 떠올리며 문제를 직접 풀어 본다.- 학생들이 문제를 풀 동안 교실을 순회하며 질문을 받고, 학생들이 수업에 집중할 수 있도록 도와준다.정리(6분)▶ 수업내용 정리

교육학| 2014.01.28| 4페이지| 2,000원| 조회(286)

수학, 로그, 로그와 그 성질, 로그성질

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수업지도안 - 구분구적법과 정적분

본시 학습 지도 계획1. 본시 학습 주제대단원 I. 적분법중단원 2. 정적분소단원 2-1. 구분구적법과 정적분 (p.34~40)2. 본시 학습 목표1. 구분구적법을 이해하고, 이를 이용하여 간단한 도형의 넓이와 부피를 구할 수 있다.2. 정적분의 뜻을 안다.3. 주안점 및 유의점1. 구분구적법은 정적분의 정의를 이해하는 것이 그 목적이므로 간단한 도형을 이용하여 그 원리를 충분히 이해하는 데에 초점을 두어야 한다.2. 구분구적법에 의한 계산에는 수열의 합을 구할 수 있어야 하므로 이 합의 계산에 숙달되어 있도록 해야 된다.4. 자료 및 준비물1. 교사 : 교과서, 수업지도안, PPT 자료, 형성평가지, 과제물2. 학생 : 교과서, 공책, 필기도구, 학습과제지5. 구분구적법의 뜻區分求積法區: 구분하다, 分: 나누다. 求: 구하다. 積: 쌓다. 法: 방법구분되어 지고 나눠진 것을 쌓으면서 구하는 방법, 잘게 쪼개진 도형을 합해서 구하는 방식수 업 지 도 안단원I. 적분법2. 정적분2-1. 구분구적법과 정적분지도대상2학년 0반교사김 문 석수업일시2014년 1월 27일 (월) 0교시장소2학년 0반 교실학습목표1. 구분구적법을 이해하고, 이를 이용하여 간단한 도형의 넓이와 부피를 구할 수 있다.2. 정적분의 뜻을 안다.수업자료교 사학 생교과서, 수업 지도안, PPT 자료, 형성평가지, 과제물교과서, 공책, 필기도구, 학습과제지단계(시간)수 업 내 용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업자료및 지도상의 유의점교 사학 생도입(6분)▶ 인사시작- 인사 및 출석을 점검 한다.- 학습 분위기를 조성 한다.- 예의 바르게 인사를 한다.- 수업 준비를 확인한다.- 학습 분위기를 조성한다.▶ 전시학습 확인부정적분, 부분적분법전시학습확인여러분 지난 시간에 무엇을 배웠나요?- 지난 단원에서 배운 부정적분에 대한 내용을 간략히 언급하고, 지난 시간에 배운 부분적분법을 복습한다.예제)int _{} ^{} {e ^{x} `sinx} ``dx- 지난 시간에 배운 내용을 생각하면서 대답한다.- 선생 기초가 되는 개념이므로 그 원리를 정확히 아는 것이 필요하지만, 계산 과정이 복잡하므로 비교적 간단한 예를 중심으로 원리를 익히는데 초점을 둔다.▶ 문제 1구분구적법을 이용한 도형의 넓이 계산활동1- 곡선y=x ^{2}과x축 및 직선x=1로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법의 방법으로 설명한다.(소구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 방법)- 소구간의 왼쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 방법도 간략히 그림을 통해 소개한다.- 선생님의 설명을 듣고 구분구적법을 이용하여 도형의 넓이를 구하는 방법에 대하여 이해한다.- 구분구적법의 계산 과정은 매우 복잡하므로, 비교적 간단한 예를 중심으로 원리를 익히는데 초점을 두어야 한다.▶ 문제 1구분구적법을 이용한 도형의 넓이 계산활동2자. 이제 여러분들이 한 번 도전해 볼 차례가 되겠어요.문제를 풀어볼 사람 손들어 보세요.- 손을 든 학생 중 2명을 지목하여 직접 나와서 문제를 풀게 한다.- 칠판에 문제를 푼 학생에게 설명을 하도록 한다. 부족한 부분이 있으면 설명에 대한 보충을 한다.(풀이한 학생의 생각을 물어본다.)- 친구가 문제를 풀 동안 문제 1번을 같이 풀어본다.- 친구의 설명을 잘 듣고 구분구적법을 이용하여 도형의 넓이을 계산하는 과정을 정확하게 이해한다.- 문제를 잘 푼 학생에게는 격려와 칭찬을 그렇지 못한 학생에게는 친절하게 재설명을 한다.▶ 예제 1구분구적법을 이용한 도형의 부피 계산활동3- 예제 1번을 구분구적법의 원리를 이용하여 설명한다.(예제1) 밑면의 반지름의 길이가r이고, 높이가h인 원뿔의 부피를 구분구적법으로 구하여라.- 선생님의 설명을 잘 듣고 모르는 부분이 있으면 질문한다.- 문제 풀이를 하기 전 학생들에게 문제 풀이에 대한 생각을 할 시간을 미리 주고 그 뒤에 문제를 풀이하고 설명한다.- 학생들 수준에 따라 예제 1번은 풀이를 생략할 수도 있음.단계수 업 내 용수업흐름교 수 - 학 습 활 동수업자료및 지도상의 유의점교 사학 생전개(38분)▶ 개념설명정적분의 정의개념설명함수f(x)가 히 다시 설명한다.- 형성평가지를 열심히 푼다.- 답을 확인한다.- 풀이를 보고 이해한다.- 형성평가지- PPT #3- 학생들이 형성평가를 잘 풀고 있는지 순회하며 확인한다.▶ 과제제시 및차시예고과제제시및차시예고- 과제를 제시한다.(수준별 학습과제 - 기본, 심화)- 차시예고를 한다.다음시간에는 곡선으로 둘러쌓인 도형의 넓이를 구하는 방법에 대해 배울 예정입니다. 책을 미리 읽고 오도록 하세요.- 과제를 확인하고 선생님이 나누어 주신 자료를 잘 챙긴다.- 다음 시간에 배울 내용을 확인한다.- 다음 시간 과제를 정확하게 전달한다.▶ 인사끝- 인사- 예의 바르게 인사를 한다.2. 정적분오른쪽 지도는 나일 강 유역에 퇴적 활동으로 생긴 삼각주이다. 지도에서 정사각형 하나의 넓이를1이라고 할 때, 이 삼각주의 넓이를 구하여 보자.탐구 과제교과서세계4대 문명의 하나인 이집트 문명이 발생한 나일 강 유역은 해마다 홍수가 일어나 상류 지역의 비옥한 흙이 쓸려 내려와 하류 지역에 쌓였다. 이것은 농사에 도움이 되기도 하였지만 동시에 각 농토의 구분선을 지워 버려 혼란을 빚기도 하였다. 이것으로 인하여 없어진 농토의 구분선을 다시 정하여 토지를 재분배하는 일이 중요하였는데 이때, 곡선으로 둘러 싸인 농토의 넓이를 정확하게 구하는 방법이 절실하게 필요하였다.삼각주의 넓이정적분Ⅰ. 적분법구분구적법생각 열기에서 구한 모든 값들은 실제 땅의 넓이와는 차이가 있다. 하지만 [그림1]에서 구한 값보다는 [그림2]에서 구한 값들이 실제 땅의 넓이와의 차이가 더 작다. 따라서 정사각형들의 크기를 작게 하면 할수록 그 차이는 더욱 줄어들어 극한의 개념을 이용하면 실제 땅의 넓이를 구할 수 있다.예를 들어, 극한의 개념을 이용하여 곡선y=x^2과x축 및 직선x=1로 둘러싸인 부분의 넓이S를 구하여 보자.구간[0,~1]을n등분하여 양 끝점을 포함한 각 분점의x좌표를 차례로 나타내면0,~ {1} over {n} ,~ {2} over {n} ,~ {3} over {n} ,~ CDOTS ,~ {n-1r {6} LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT )이다. 따라서 구하는 넓이S는S= lim _{n -> INF } {B _{n}} = lim _{n -> INF } {} {1} over {6} LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT ) = {1} over {3} 오른쪽 그림과 같이 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 직사각형들로 이루어진 도형의 넓이를{A}_n이라고 하자.{A}_n은 밑변의 길이가{ 1} over { n}이고, 높이가 차례로LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} ,~ LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{2} ,~ LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{2} ,~ CDOTS ,~ LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{2}인 직사각형들의 넓이의 합과 같으므로{A}_n= {1} over {n} LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) ^{2} + {1} over {n} ` LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) ^{2} + {1} over {n} LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) ^{2} +` CDOTS `+ {1} over {n} LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) ^{2}= {1} over {n ^{3}} (1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS +n ^{2} )= {1} over {n ^{3}} `·` {n(n+1)(2n+1)} over {6} ={1} over {6} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT )이다. 따라서 구하는 넓이S는S= lim _{n -> INF } {A _{n}} = lim _{n -> INF } {} {1} over {6} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIover {6} LEFT ( 1- {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT )= bold{ {1} over {3} pi r^2 h밑면의 반지름의 길이가r이고, 높이가h인 원뿔의 부피를 구분구적법으로 구하여라.곡선y=x^3과x축 및 직선x=1로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구하여라.밑면이 한 변의 길이가a인 정사각형이고, 높이가h인 사각뿔의 부피를 구분구적법으로 구하여라.정적분의 정의함수y=f(x)가 구간[a,``b]에서 연속이고f(x) ge0일 때, 곡선y=f(x)와x축 및 두 직선x=a,~x=b로 둘러싸인 도형의 넓이S를 구분구적법을 이용하여 구하여 보자.구간[a,``b]를n등분하여 양 끝점과 각 분점의x좌표를 차례로x _{0} (=a),~x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~ CDOTS ,~x _{n-1} ,~x _{n} (=b)라 하고, 각 소구간의 길이를DELTA` x라고 하면DELTA` x={ b-a} over { n}이다. 이때, 오른쪽 그림과 같이 밑변의 길이가DELTA` x이고 높이를 각 소구간의 오른쪽 끝점에서의 함숫값으로 하는n개의 직사각형들로 이루어진 도형의 넓이를S_n이라고 하면S_n=f(x _{1} ) DELTA `x+f(x _{2} ) DELTA `x+` CDOTS +f(x _{n} ) DELTA `x= sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) DELTA `x이다. 여기서n이 한없이 커지면S_n은 구하는 도형의 넓이S에 한없이 가까워진다.∴S= lim _{n -> INF } {S _{n}} = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} f(x _{k} ) DELTA x 일반적으로 함수y=f(x)가 구간[a,``b]에서 연속이면f(x)의 부호에 관계없이 극한값lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} f(x _{k} ) DELTA x~ left(단,~DELTA x= {b-a} over {n} ,~x _{k} =a+k DELT1}함수

교육학| 2014.01.28| 12페이지| 2,000원| 조회(1,328)

수학, 적분, 구분구적법, 정적분, 적분과 통계

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