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오일러와 라그랑주

< 목 차 >1. 서 론(문제 제기) ……②(1) 라그랑주 관점이란?(2) 오일러 관점이란?2. 본 론 ……③(1) 라그랑주 관점① 라그랑주 관점의 정의② 라그랑주 관점의 서술 방법③ 라그랑주 관점의 특징(2) 오일러 관점① 오일러 관점의 정의② 오일러 관점의 서술 방법③ 오일러 관점의 특징3. 결 론(느낀점) ……⑦(1) 결론 [라그랑주 관점과 오일러 관점의 차이점](2) 느낀점(3) 참고문헌< 1. 서 론 >- 본 레포트를 통해 라그랑주 관점과 오일러 관점을 각각 비교 ? 파악하고 유동의 거동에관하여 자세히 알아보고자 합니다. 아래의 그림은 라그랑주 관점과 오일러 관점의차이를 그림으로 설명하는 것입니다.(1) 라그랑주 관점이란?- 연속적인 유체의 질점을 따라가면서 시간의 경과에 따라 질점을 해석하는 방법입니다.즉, 질점의 관점으로 서술한 것입니다.- 유체입자를 따라가면서 시간경과에 따른 유동장 변수[위치, 속도, 압력 등]의 변화를기술하는 방법입니다.(2) 오일러 관점이란?- 시간 뿐만이 아닌 공간의 변화에 따라 질점을 해석하는 방법입니다.즉, 고정된 시간과 공간을 지나는 유체의 해석 방법입니다.- 유동변수를 유체가 유/출입하는 검사체적 내에서 위치와 시간의 함수로 정의합니다.< 2. 본 론 >(1) 라그랑주 관점1) 라그랑주 관점의 정의- 역학의 법칙을 유체역학에 적합한 형태로 표현하기 위해서는 고체역학에서이들 법칙을 유도하는 데 사용하는 것과는 다른 관점이 필요합니다.- 어떤 유체입자의 초기 좌표와 시간를 그 입자의 물질변수라 부르며유동장을 물질변수로 나타낼 때 우리는 라그랑주 관점에 의하여 유장을기술한다고 말하고 있습니다.- 고체역학에서는 주어진 유체질량에 대한 기초 방정식을 유도하는 데 있어서라그랑주 관점이 사용되고 있습니다.- 열역학에 있는 시스템해석, 즉 일정한 질량의 집합체에 관한 해석과 유사합니다.2) 라그랑주 관점의 서술 방법- 질점의 관점에서 서술하고 있습니다.- 고체와 관련된 문제 해결에 적합합니다.- 확인할 수 있는 물질의 운동 궤적을 따라가며 관찰합니다.( = 유적선)- 전체적인 움직임을 서술하기 위해서는 각 질점의 모든 시간, 위치, 속도 성분을알아야 합니다.- 하나, 하나의 입자를 추천하는 방식으로 입자를 서술하고 있습니다.- 유체의 해석에서는 잘 쓰이지 않습니다. 주로, 오일러의 관점으로 해석합니다.(책에 있는 사진입니다.)3) 라그랑주 관점의 특징- 질량을 구성하는 여러 입자들의 상대위치는 계속되는 운동 중에도 동일한 위치에머물러 있음을 주의 ? 주목해야 합니다.- 유체에 라그랑주 관점을 적용하는 데 있어서, 예를 들면 임의의 고정 질량체에작용하는 힘을 편리하게 나타내기 위하여 자유 물체도를 사용하는 예를 들자면이것은 계의 하나의 예로 볼 수 있습니다.- 계(system)란 물질의 명확히 고정된 질량을 말하고 그것은 주위(surrounding)라고 말하는 주변의 다른 모든 물질과는 엄격히 구분됩니다.- 계의 경계는 하나의 폐곡면을 형성합니다.(→ 이 곡면은 시간에 따라 변할 수 있지만, 그 안에 들어 있는 물질은 조건이변하더라도 동일한 물질이어야 합니다.)- 예를 들어, 1㎏의 기체를 실린더에 집어넣고 피스톤에 의해 압축할 경우,계의 경계는 피스톤의 끝과 일치해서 피스톤과 함께 움직이지만 그 안에 들어있는 기체는 동일한 물질입니다.- 관찰자의 의도여하에 따라 계는 유체와 고체의 미소질량이 될 수도 있고 아주 큰질량 덩어리가 될 수 있습니다.- 질량보존법칙에 의하여 계내의 질량은 시간에 관계없이 일장하게 됩니다.(상대성 효과는 무시함) 이것을 식의 형태로 표시하면,(여기서 m은 총질량 임) …… [공식. 1]- Newton의 운동 제2법칙을 계에 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수있습니다.(여기서 m은 계의 일정한 질량임을 명심해야 함) …… [공식. 2]-는 중력과 같은 체적력을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고는 계의 질량중심에서의 속도입니다.- 하지만 유체역학의 대부분의 경우에 있어서는 문제가 단순하지 않습니다.- 유체덩어리가 운동할 때 그 이후의 운동은 급속히 무질서해집니다.- 덩어리는 서로 부딪쳐 형태가 없어지고 방향과 위치를 바꾸며 주변의 다른 유체덩어리로 급속히 스며들거나 섞여져서 확산(diffusion)이 발생합니다.- 이와 같이 유체역학의 방정식을 유도하는 데 있어서는 고정질량계를 사용하는것이 불가능한 것은 아니지만 특히 많은 어려움이 있습니다.(2) 오일러 관점1) 오일러 관점의 정의- 어떤 위치 좌표와 시간를 공간변수(spatial variables)라 하고 유장을공간변수로 표시할 때 우리는 오일러 관점에 의하여 유장을 기술한다고 말합니다.- 오일러 관점은 먼저 위에서 다루었던 라그랑주 관점의 유체역학적 어려움을해결하기 위한 접근법으로서 대부분의 해석에서 채택되었습니다.2) 오일러 관점의 서술 방법- 유동장의 유동성질들이 공간좌표와 시간의 함수로 서술함.- 고정된 좌표를 설정해서 동일 시간에 각 좌표를 지나는 유체 입자의 속도를측정합니다.- 모든 유동장 변수들을 검사체적 내의 임의의 위치와 임의의 시간로표현합니다. (아래 그림을 참조 바랍니다.)(책에 있는 사진입니다.)3) 오일러 관점의 특징- 여기서는 고정된 검사체적 또는 공간에 고정된 지점을 선정하고 이들을 통하여지나가는 유체의 질량, 운동량 및 에너지를 표현할 수 있는 식을 유도하고있습니다.- 검사체적의 경계를 검사면(control surface)이라 합니다.- 검사체적의 크기와 형태는 임의로 설정할 수 있지만 통상 고체경계면을일부분으로 하고 다른 부분은 유동방향에 직각이 되게 설정함으로써 문제를단순화 할 수 있습니다.- 이러한 오일러 관점은 개방계(open system)의 표현을 이끌어 냅니다.- 라그랑주 관점과 오일러 관점에 대해 앞에서 언급한 바와 같이, 수학적 추론화에는두 가지의 가능한 수준, 즉 거시적 수준(macroscopic level)과장 수준(field level)이 있습니다.- 거시적 수준에서는 유한한 질량계 또는 검사체적에 대한 법칙이 유도되고변수들의 일련의 적분값 또는 평균값이 계산됩니다.- 이 해석수준은 계 또는 검사체적 내에서 국소적 위치변화에 따른 변수들의 정보를줄 수 없습니다.- 그러므로 이러한 추론수준은 공학문제의 초기해석에 유용합니다.- 전체 영역에 걸친 변수들의 변화에 대한 보다 정교한 해석은 문제의 최종해결을 위해 아주 자주 필요합니다.- 그러나 검사체적 해석은 단지 검사면의 입구 A와 출구 B에서의 평균농도값만을제공하고 있습니다.- 더욱이 단지 오염물의 체적평균농도만이 검사체적내에서 계산될 수 있으며위치에 따른 변화는 계산될 수 없습니다.- 전체 영역에 걸쳐 위치에 따른 유체변수의 변화를 계산하기 위해서는장 접근법(field approach)이 사용되고 있습니다.- 이 관점은 전체 영역을 무수히 많은 검사체적 또는 계로 구성하여 이들의크기가 0으로 축소될 때, 비선형 편미분 방정식을 결과로 합니다.- 모든 유체역학과 이에 수반되는 수송현상은 본질적으로 공간적인 위치에 따라그리고 시간적인 주기에 따라 변합니다.- 이러한 변화는 대략 0 . 1 초와 0 . 1 ㎝ 정도의 아주 작은 척도에서 특히심합니다.- 따라서 이러한 변화를 유발하는 가능한 모든 형태의 물리과정을 정확히 기술하는것은 물론, 지배적인 물리과정을 변경함이 없이 수학적 단순화를 이루는신뢰할 수 있는 절차를 확인하는 것이 필요합니다.

자연과학| 2011.10.04| 7페이지| 1,500원| 조회(730)

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베르누이 방정식의 유도및 이해

- 목차 -1. 베르누이 방정식 유도2. 베르누이 방정식의 이해1. 베르누이 방정식 유도* 베르누이 방정식 = 에너지 방정식중력장에서 정상상태로 흐르고 있는 완전한 유체로 생각한 공식입니다.여기서 완전유체란 유체의 흐름에서 상대속도가 있을 때 점성이 없기 때문에 마찰력이 없 고 압축이 되지 않는 가상적인 유체를 말하는 것이며 이것은 이상유체, 비점성유체, 비압 축성유체와 같은 말입니다.어떤 물체가 에너지를 소유할 수 있는 방식은 위치에너지, 운동에너지와 압력에너지(특히, 유체의 경우)가 있다. 이 세가지를 합친 것을 전에너지라 한다.위치에너지=?????????? ??????(1. 1)운동에너지=?????????? ??????(1. 2)압력에너지=?????????? ??????(1. 3)그림1-1기 준 면에너지 보존법칙에 의해 Ⅰ 단면으로 유입할 때 갖고있는 에너지는 Ⅱ단면을 유출할 때 갖 는 에너지와 동일하다.전에너지를 액체(liquids)에 사용하기 위해 좀더 편리한 형태의 방정식으로 만들기 위해 먼저 식(1.1)과 식(1.2)의 질량 m을 밀도 ρ로 바꾸면,에서 V는 체적, m은 질량이고 질량으로 정리하면이다. 여기서는 체적 V대신에 미소시간 dt사이에 Ⅰ단면에 유입하는 유체의 질량 m은 다음과 같이 나타낼 수 있다.유입유출위치에너지운동에너지압력에너지에너지 보존법칙에서E = 운동에너지 + 위치에너지 + 압력에너지=++=++?????????(1. 4)dt=1이면연속방정식에 의해이 성립되므로 정리하면 다음과 같다.=++=++????????(1. 5)정압력동압력위치압력양변을로 나누면= const ?????????????????(1. 6)?????????????????(1. 7): 속도수두,: 압력수두,: 위치수두정류로 흐르는 하나의 유선에 위치수두, 압력수두, 속도수두의 합은 언제나 일정하다.식(1.7)이 에너지 또는 베르누이 방정식이다.-베르누이 방정식의 이해베르누이 방정식을 말로 표현하면, “동일한 또는 하나의 유선에서 정류일 때 유체 단위중량당 에너지는 일정하다” 라고 할 수 있다.베르누이 방정식은 같은 유선의 두점에서 적용해야 한다. 실제로 유선을 볼 수가 없으므로 관의 중심선의 두 점에서 베르누이 방정식을 적용한다. 이것은 표고와 압력이 다른 단면에서 유선이 달라서 생기는 영향을 최소화 시킨다.베르누이 방정식을 적용하는 데 있어서는 많은 가정과 어려움이 있다. 예를 들어, V는 평균유속(=Q/A)을 사용하고 흐름은 균일하다고 가정한다.비록 에너지의 형태는 변할지라도 (각각의 수두의 수치는 다를지라도) 전에너지가 같다고 가정하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.?????????????????(1. 8)식(1.8)은 이상유체(완전유체)에서의 베르누이 방정식이다. 이상유체에서의 베르누이 방정식의 각 항은 속도수두, 위치수두, 압력수두의 셋으로 구성되며, 이들의 합계인 전수두 H는 관 또는 수로 내의 어느 단면에서도 일정하다. 그러나 실제로 물은 점성이 있기 때문에 흐름에 마찰이 생기고 열에너지가 발생하여 에너지 손실이 생긴다.물의 흐름에서 에너지 손실은 다음과 같다.① 물입자 사이에 생기는 점성에 의한 마찰② 물과 관 또는 수로벽 사이의 접촉에 의해 생기는 마찰③ 관 또는 수로의 확장, 수축, 만곡에 의한 손실④ 기타 소손실따라서 실제유체에서 에너지 손실을 고려한 베르누이 방정식은 다음과 같다.?????????????????(1. 10)여기서,: 에너지 손실수두전수두 H를 연결한 선을 에너지선 (energy line ; E.L), 위치수두(z)와 압력수두()를 연결한 선을 동수경사선(hydraulic grade line ; H.G.I)이라 한다.- 1차원 베르누이 방정식의 응용베르누이방정식으로 설명될 수 있는 몇가지 흐름과 유계계기에 대해서 살펴보기로 한다.Torricelli의 정리- 1643년 토리첼리는 정수두 하에 있는 작은 오리피스를 통한 이상유체의 흐름의 평균유속는 정수두 h의 평방근에 비례함을 밝힌 바 있다. 즉,?????????????????(1. 11)식(1.11)은 토리첼리의 정리로 알려져 있으며 이는 베르누이 방정식의 한 특수한 경우로 풀이될 수 있다.그림 1-2그림 1-2의 큰 저수지 측면에 위치한 한 개의 작은 오리피스를 통한 흐름을 생각해 보자. 저수지가 오리피스에 비하여 대단히 크다고 가정하면 저수지내 물의 흐름속도는 오리피스 말단부를 제외하고는 거의 무시할 수 있다. 오리피스 중심을 지나는 수평선을 기준면으로 취하면 저수지내 임이 점에 있어서의는 h로 일정하다. 저수지의 임의 단면 1과 오리피스 단면 2 사이에 베르누이 방정식을 적용하면?????????????????(1. 12)여기서이고= 일정이며,이므로이면 식 (1.12)는 식 (1.11)과 같아지며 토리첼리의 정리가 베르누이 방정식의 한 경우임이 증명된 다. 이를해석적으로 증명하기 위해 그림 1-2의 오리피스 말단부 (단면2-2)를 통한 유선이 모두 직선적이고 서로 평행하다고 가정하자. 오리피스 주변은 대기와 접하고 있으므로 계 기 압력은 영이며 미소 유체요소에 작용하는 연직방향의 가속도는 중력가속도 g이 다. 이 가속도를 유발시키는 힘은 유체요소의 상하단의 압력차와 미소 유체요소 자체의 무 게이므로 Newton의 제 2법칙을 적용하면?????????????????(1. 13)식 (1.13)을 정리하면이 된다. 따라서 오리피스 출구단면에 있어서의 압력변화는 없으며 오리피스 주변에서의 압력이 영이므로 오리피스 단면 전체에 걸친 압력은 영임을 알 수 있다. 뿐만 아니라 관습적으로 오리피스 말단하류의 자유수맥(free jet)내의 모든 점 에 있어서의 압력도 영으로 가정하여 실제문제를 풀이하는 것이 보통이다.- 벤츄리메타벤츄리메타도 관내 유속 혹은 유량을 결정하기 위해 베르누이 방정식을 응용하는 유체계기 이다.그림1-3벤츄리메타는 그림1-3과 같이 계측코자 하는 관의 직경과 hd일한 상류측 단면으로 관에 연결되고 미소원추부로 목(throat)를 형성하며 다시 광대원추부로서 단면적을 회복하여 상 류측 관에 연결된다. 입구부와 목부분에는 그림 1-3에서와 같은 시차액주계(differential manometer)를 연결하여 두 단면간의 압력차를 측정토록 되어 있다. 보다 정확한 계측을 위하여 벤츄리메타는 관직경의 약 30배가 되는 직선관을 상류부에 가져야 하며 목 부분의 직경은 보통 입구부 직경의 약

공학/기술| 2011.09.28| 6페이지| 1,500원| 조회(5,601)

해피캠퍼스, 베르누이 방정식, 에너지방정식, 벤츄리메타

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나비에 스턱스 방정식

1. 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식으로 클로드 루이나비에와 가브리엘 스토크스가 처음 소개하여 N-S방정식이라 불린다. 비정상적인 유체역학의 정점으로 대류항과 확산항이 모두 포함된 방정식이며 날씨, 해류의 유체흐름, 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수도 있다. 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관내의 혈류, 오염물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있다. 이방정식은 광범위하게 사용되고 있지만 수학자들은 아직도 이방정식의 3차원 해가 항상 존재한다고는 것을 증명하지 못했다. 그래서 수학적인 관점에서 매우 흥미로운 방정식으로 남아 있다.2. 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes Equations)의 유도Newton 유체에 대한 점성응력은 유체요소의 변형률과 점성계수에 비례한다. 비압축성유동에 대하여 식을 3차원의 점성유동으로 일반화한 것이 다음과 같다.여기서는 점성계수이며, 위식을에 대입이면 일정한 밀도와 일정한 점성계수를 갖는 Newton 유체에 대한 미분형 운동량식이 얻어 진다.

공학/기술| 2011.09.28| 2페이지| 1,000원| 조회(1,414)

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8원 선형연립 선형방정식 (c++)코딩및 결과도출

<8원 선형 연립 선형방정식>#include <stdio.h>#include <math.h>#include <conio.h>FILE *savefile;/*Matrix 선언*/float b[8][9] = {{4,5,2,17,7,8,21,54,13}, {1,7,-1,11,-2,-6,4,3,7}, {3,-4,12,19,11,3,20,-20,9}, {2,0,3,-3,-13,13,7,-7,6}, {-5,-17,20,22,-31,14,4,-8,10}, {10,4,15,21,-2,16,6,-9,13}, {5,-2,33,-30,0,14,2,10,26},{-7,5,0,5,20,-19,2,-7,4}};float a[8][9];float m[8][9];float sol[3];int x=8;int y=9;int num[8] = {0,1,2,3,4,5,6,7};/*Matrix initialization*/void Matrix_init(){int i,j;for(i=0;i<x;i++){for(j=0;j<y;j++){a[i][j]=b[i][j];}}}/*Matrix Print*/void Matrix_print(){int i,j;for( i=0 ; i<x ; i++){for( j=0 ; j<y ; j++){printf("t%f",a[i][j]);fprintf(savefile, "t%f",a[i][j]);}printf("n");fprintf(savefile, "n");}printf("nn");fprintf(savefile,"nn");}

공학/기술| 2011.09.27| 11페이지| 1,000원| 조회(446)

C++, 코딩, 선형연립방정식(c++)

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c++ 수치해석_피보팅_가우스소거법

◈ 피보팅을 사용한 가우스소거법을 이용하여 x를 구하라.(input.txt)(풀이)☞ c언어로 구현한 소스/*------------------------------------------------------------------------------* 분 류 : 수치해석* 프로그램 : 피보팅을 사용한 가우스소거법을 이용하여 방정식의 해를 구하는 프로그램* 파 일 명 : pivoting.c* 알고리즘 : 피보팅을 사용한 가우스소거법 이용* 일차연립방정식 Ax=b의 해 x를 구한다.A: n x n (이 행렬의 행렬식은 0이 아니며,모든 대각원소의 값도 0이아니다.)b: n차원 열벡터 (방정식의 우변)x: n차원 열벡터 (방정식의 해)입력:n: 자연수a: n x (n+1) 행렬 (A에 b가 첨가된 첨가행렬)출력:CPU timex: n차원 열벡터 (방정식의 해)*----------------------------------------------------------------------------*/#include#include#include#includemain(){double **a,eps=1.e-10,*x,sum,t;int i,j,k,n,np,ip,irow;clock_t t1,t2;FILE *input,*output;input=fopen("input.txt","r");output=fopen("output.txt","w");fscanf(input,"%d",&n);np=n+1;x=malloc(n*sizeof(double));x--;a=malloc(n*sizeof(double*));a--;for(i=1;i

공학/기술| 2011.09.27| 3페이지| 1,500원| 조회(960)

수치해석

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