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7. Numerical Integration

Numerical Analysis Method Numerical IntegrationContents Trapezoidal rule Simpson's rule Gaussian quadratureNumerical Integration Numerical Method ’12. 11. 12( 월 ) 개 요 1 - 16 구간 [a, b] 에서의 f(x) 곡선 아래의 면적 ▶ 특정 구간에서 주어진 물리적 변수의 총량 또는 총합 강물과 길로 둘러싸인 들판의 면적 강물의 단면적 고층 건물 측면에 부는 풍력의 계산Trapezoidal rule Numerical Method 개 요 2 - 16 임의의 함수 f(x) 가 있을 때 , O y x Actual function f ( x ) linear function g ( x ) ’12. 11. 12( 월 )Trapezoidal rule Numerical Method 개 요 3 - 16 임의의 함수 f(x) 가 있을 때 , O y x Actual function f ( x ) linear function g ( x ) Newton 보간 공식에서 1 차 항 ’12. 11. 12( 월 )Trapezoidal rule Numerical Method 개 요 4 - 16 임의의 함수 f(x) 가 있을 때 , O y x Actual function f ( x ) linear function g ( x ) ’12. 11. 12( 월 )Trapezoidal rule Numerical Method Example 5 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) [0, 0.8] 구간에서 다음을 수치 적분하라 . n = 2 일 때 , 사다리꼴 적분법을 이용하여라 . i x i f ( x ) 0 0 0.2 1 0.4 2.456 2 0.8 0.232 Sol)Simpson’s rule Numerical Method 6 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) 조밀한 구간에 대한 사다리꼴 법보다 정확한 적분값을 구하는 방법 개 요 Data 점들을 연결하는 고차 다항식을 사용 Simpson 1/3 공식 : 세 점을 연결하여 포물선 아래 면적 계산 Simpson 3/8 공식 : 네 점을 연결하는 3 차 곡선을 이용Simpson’s rule Numerical Method 7 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) 2 차 다항식의 사용 - Lagrange 보간법을 이용 Simpson 1/3 y x o 전 구간에 대한 Simpson 공식Simpson’s rule Numerical Method 8 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Simpson 3/8 3 차 다항식 이용 – 3 차 Lagrange 보간법을 이용하여 유도 Ex) [0, 0.8] 구간에서 다음을 수치 적분하라 . n = 2 일 때 , Simpson 법을 이용하여라 .( 정해 : 1.640533 ) i x i f ( x ) 0 0 0.2 1 0.4 2.456 2 0.8 0.232 Sol)Gaussian quadrature Numerical Method 9 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) 개 요 y x oNumerical Method 10 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature 개 요 y x o Gauss pointNumerical Method 11 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Two points y x 적분구간 -1 x 1Numerical Method 12 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Three points 추정함수 g(x)Numerical Method 13 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Three points Legendre 직교 다항식Numerical Method 14 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Three points Li : Lagrange polynomialNumerical Method 15 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Four points[Assignment] 추정함수 g(x)Numerical Method 16 - 16 ’12. 11. 12( 월 ) Gaussian quadrature Four points[Assignment]Thank you{nameOfApplication=Show}

공학/기술| 2013.11.28| 19페이지| 3,000원| 조회(117)

MatLab, 수치해석, 수치적분, Curve Fitting, eigen val..

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4 Simultaneous Linear Equation(II)

Numerical Method Simultaneous Linear Equation(II)Contents Crout's Method Square root method ( Cholesky's Method) Jacobi's iterative method Matlab Programming Gauss – Seidel MethodCrout’s Method Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 직접 계산에 의한 방정식의 해법 개 요 1 - 12 라고 한다면 1. 로 두고 를 계산 2. [L] : 중앙 대각원소가 1 인 matrix [ U] : upper triangular matrix 를 구한 뒤 , 를 계산하여 구함 3.Crout’s Method Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) Example 2 - 12 1 ) i =k+1, k+2,. . . . n j=k , k+1, . . . nCrout’s Method Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) Example 3 - 12 2) 3)Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 직접 계산에 의한 방정식의 해법 개 요 4 - 12 Square root method ( Cholesky's Method) LU 분해에서 걸리는 시간의 단축 수치상으로 안정적이기에 다른 알고리즘과 비교했을 때 누적 오차가 적음 대칭행렬 (Symmetric Matrix) 와 정칙행렬 (Nonsingular Matrix) 대칭행렬 어떤 행렬의 전치행렬이 원래 행렬고 같은 행렬 정칙행렬 행렬식의 값이 영이 아닌 행렬 = 역행렬을 가지는 행렬Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 행렬 [A] 를 두 개의 삼각행렬로 분해 개 요 5 - 12 Square root method ( Cholesky's Method)Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) Indirect Iterative Method 개 요 6 - 12 Jacobi's iterative method 임의의 초기값 x 를 선정하여 수렴할때 까지 , 또는 지정한 횟수만큼 반복 Jacobi’s method 의 조건 필수조건 : 각 대각 행의 계수는 각 행의 다른 계수들보다 커야함 만족조건 : 대각항 들의 값은 각 행의 다른 계수들의 합보다 클 때 초기값 설정 초기값 대입 → 새로운 방정식 과정의 반복 일정한 값 수렴 수렴값 = 해Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 개 요 7 - 12 Jacobi's iterative method - 초기값 x (0) 를 선정 , 우측 식에 대입하여 x (1) 를 구함 - 반복계산을 하여 수렴하여 해를 구함Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 개 요 8 - 12 Gauss – Seidel Method Iterative Method + Approximate Method( 반복 + 근사 ) 초기값 설정 초기값 대입 → 새로운 방정식 과정의 반복 일정한 값 수렴 수렴값 = 해 기본적인 개념과 방법은 Jacobi’s Method 와 동일하지만 수렴 속도가 빠름 계산 과정에서 빠른 계산을 위해 중간 계산 결과를 다음단계에서 바로 사용Numerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 개 요 9 - 12 Gauss – Seidel MethodNumerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 10 - 12 Matlab Programming Square Root MethodNumerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 11 - 12 Matlab Programming Gauss-Seidel MethodNumerical Method ’12. 10. 8( 월 ) 12 - 12 Matlab Programming Gauss-Seidel MethodThank you{nameOfApplication=Show}

공학/기술| 2013.11.28| 15페이지| 3,000원| 조회(103)

MatLab, 수치해석, 수치적분, Curve Fitting, eigen val..

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3. Simultaneous Linear Equation

Numerical Method Simultaneous Linear EquationContents Crammer’s rule Gauss Elimination Method Gauss – Jordan Method Matlab ProgrammingCrammer’s rule Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 선형연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 선형대수학의 정리 (theorem) 개 요 방정식이 많은 경우의 실제 해의 계산에 있어서는 그리 유용하지 않지만 , 크래머 공식은 연립방정식의 해를 외재적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다 . 작은 크기의 행렬에서 가우스 소거법보다 효율적 역행렬을 가짐 열벡터 i 번째 열을 열벡터 C 로 대체한 행렬 1 - 13Crammer’s rule Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 2 X 2 행렬에서의 적용 예 제 2 - 13Gauss Elimination Method Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 연립방정식의 계수를 같게 만들어서 연립된 방정식의 미지수들을 하나씩 제거하는 ' 소거 ’ 개 요 마지막에 하나만 남은 미지수의 값을 구한 뒤 이 값을 바탕으로 미지수 값들을 구하는 ' 대입 ’ 3 - 13Gauss Elimination Method Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 개 요 4 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) Gauss – Jordan Method 는 Gauss Elimination Method 의 변형 개 요 Gauss – Jordan Method 가우스 소거법과 동일한 특성을 가지면서 , 계산시간은 더 오래 걸리기 때문에 , 연립방정식을 푸는데 사용되기 보다는 , 역행렬을 구하는 알고리즘으로 사용 5 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 개 요 Gauss – Jordan Method 6 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 역행렬 Gauss – Jordan Method Gauss-Jordan 법의 적용 A C 7 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) Gauss Elimination Method Matlab Programming 8 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) Gauss Elimination Method Matlab Programming 9 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) Gauss – Jordan Method Matlab Programming 10 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) Matlab Programming Gauss – Jordan Method 11 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 역행렬 구하기 Matlab Programming 12 - 13Numerical Method ’12. 9. 24( 월 ) 역행렬 구하기 Matlab Programming 13 - 13Thank you{nameOfApplication=Show}

공학/기술| 2013.11.28| 16페이지| 3,000원| 조회(157)

MatLab, 수치해석, 수치적분, Curve Fitting, eigen val..

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2. 방정식의 풀이

Numerical Method 방정식의 풀이Contents Half interval Method Method of false position Newton- Raphson methodMethod of Successive Substitution Numerical Method 2 - 8 ’12. 9. 17( 월 ) f(x)=0 을 만족하는 x 값을 구하는 단일 변수 방정식의 수치적 해법 중 하나 개 요Numerical Method 1 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) 이분법은 f(x)=0 을 만족하는 단일 변수 방정식의 근을 구하는 수치해석 기법 개 요 Half interval Method 고차 대수 방정식이나 초월 함수 방정식 ( 삼각함수 ) 의 근을 구하는 문제에 적용 가능 중간값의 정리에 의해 구간 [ a,b ] 에서 연속함수 f(x) 가 f(a)f(b) 0 이면 이분법은 속도는 느리지만 , 반드시 수렴 이 구간안에 적어도 하나 이상의 근이 존재한다는 원리를 이용Numerical Method 2 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) 1. f(a)f(b) 0 이 되는 구간 a, b 를 정한다 . 2. m=( a+b )/2 로 a 와 b 의 중점을 구한다 . 3. m 과 a( 또는 b) 의 값 차이가 허용 오차 이내에 들어오면 수렴한 것으로 받아들인다 . 또는 f(m)=0 이면 수렴한 것이다 . 4. 수렴하지 않았다면 , f(m)f(a) 와 f(m)f(b) 의 결과를 구해 0 보다 작은지 확인한다 . 만약 f(m)f(a) 0 이라면 해는 m 과 a 사이에 있는 것이므로 , m 과 a 에 대해서 위의 과정을 수렴할 때까지 반복한다 . 알고리즘 Half interval MethodNumerical Method 3 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Half interval Method Matlab CodeNumerical Method 4 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Half interval Method Flow ChartMethods of False position Numerical Method 5 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) 이분법 , 할선법 , 뉴턴 랩슨법 , 뮐러법 등과 함께 , 가중분할 f(x)=0 을 만족하는 단일 변수 방정식의 해를 구하는 기법중 하나 연속 함수 f(x) 가 [ a,b ] 구간에서 단 한 개의 근을 가질 때 , 근은 (a, f(a)), (b, f(b)) 를 잇는 직선과 x 축의 교점에 가까이 있다는 특징을 이용 이분법과 마찬가지로 조건을 만족하는 한 항상 수렴 f(x) 의 모양에 따라서 이분법보다 속도가 느릴 수도 있고 빠를 수도 있음Methods of False position Numerical Method 6 - 12 ’12. 9. 17 월 ) 가중분할 1. f(a)f(b) 0 인 구간 a, b 를 구한다 . 2. a1=a, b1=b 로 두고 , f(a1), f(b1) 을 구한다 . 3. (a1, f(a1)), (b1, f(b1)) 을 연결하는 직선과 x 축의 교점인 x1 을 구한다 . 4. f(a1)f(x1) 0 이면 , a2=a1, b2=x1 으로 두고 , f(x1)f(b1) 0 이면 , a2=x1, b2=b1 으로 둔다 . 5. 위의 2~4 를 지정한 오차 이내에 들어오거나 지정한 반복횟수를 만족할 때까지 반복한다 .Methods of False position Numerical Method 7 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Matlab CodeNumerical Method 8 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Flow Chart Methods of False positionNewton- Raphson Method Numerical Method 9 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) f(x)=0 을 만족하는 x 값을 구하는 단일 변수 방정식의 수치적 해법 중 하나 개 요 뉴턴법은 어떤 지점이 주어졌을 때 , 이 점을 지나는 f(x) 의 접선과 x 축과의 교점을 수렴 속도가 단일 변수 방정식의 해법 중 가장 빠르지만 , 해에 수렴하지 않거나 , 엉뚱한 해에 수렴할 가능성이 있다 . 또 , f(x) 의 도함수를 구하기 곤란한 경우 적용하기 어려움 (x n +1, 0) 이라고 하면 , x n +1 이 x n 에 비해 근에 더 가까워 지는 기하학적 특성을 이용하는 방법Newton- Raphson Method Numerical Method 10 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) 1. 초기값 x0 를 가정하고 점 (x0, f(x0)) 에 대한 접선식을 구한다 . 알고리즘 접선식은 y=f'(x0)(x-x0)+f(x0) 로 구할 수 있다 . 2. 접선식과 x 축과의 교점 x1 을 구한다 . xn+1=xn-(f(xn)/f'(xn)) 으로 구할 수 있다 . 3. 지정한 조건을 만족할 때까지 1, 2 를 반복한다 .Newton- Raphson Method Numerical Method 11 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Matlab CodeNumerical Method 12 - 12 ’12. 9. 17( 월 ) Flow Chart Newton- Raphson MethodThank you{nameOfApplication=Show}

공학/기술| 2013.11.28| 16페이지| 3,000원| 조회(162)

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1. Matlab Input & Output

Numerical Method Input OutputContents Matlab 의 개요 Input OutputMatlab 의 개요 Numerical Method 1 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) MatlabMatlab 의 개요 Numerical Method 2 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) 선형대수 ( 벡터 , 행렬 ) 등을 다루는데 매우 특화 Matlab 그래프 (2 차원 , 3 차원 ) 을 매우 효과적 거의 모든 수식이 표현가능 실험 결과 분석이나 선형 방정식을 푸는 데에 매우 유용 단순한 프로그램이라기 보다는 프로그래밍적인 요소가 가미되어있음Matlab 의 Input Numerical Method 3 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) Command Command WindowMatlab 의 Input Numerical Method 4 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) CommandMatlab 의 Input Numerical Method 5 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) M-file[ 스크립트 파일 ] 명령어들의 목록이 기록된 파일을 생성하고 저장 , 파일을 실행 파일이 결과를 출력하는 명령어를 포함하고 있다면 , 출력은 명령어 창에 표시됨 편집 ( 수정 , 변경 ) 이 가능하며 여러 번 실행시킬 수 있음 편집기 / 디버기 창 (Editor/Debugger Window) 에서 만들고 편집 편집기 창의 Run 아이콘을 통해 편집기 창에서 바로 실행 명령어 창에서 파일이름을 입력하여 실행Matlab 의 Input Numerical Method 6 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) M-file[ 스크립트 파일 ]Matlab 의 Output Numerical Method 7 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) 계산의 결과와 GraphMatlab 의 Output Numerical Method 8 - 8 ’12. 9. 9( 월 ) Report 의 생성Thank you{nameOfApplication=Show}

공학/기술| 2013.11.28| 11페이지| 3,000원| 조회(314)

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