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3대작도문제와 문제해결

기하작도문제와 문제해결작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용해 여러 가지 도형을 그리는 고전 기하학의 여러 가지 문제들을 가리킨다. 이 때 자는 직선을 긋는 용도로만 사용되고, 컴퍼스는 원을 그리고, 선분의 길이를 옮기는 데 사용된다. 이처럼 자와 컴퍼스는 직선과 원을 그릴 수 있다는 점에서 도형을 그리는 가장 기초적인 도구이다. 이 두 도구를 이용하여 또 어떤 도형을 그릴 수 있을까 하는 문제는 수천년 전부터 중요하게 여겨져왔다. 가장 기초적인 도형인 삼각형과 원의 성질은 계속 탐구되어왔고, 더 나아가 자와 컴퍼스만을 가지고 그 성질을 유도할 수 있는가를 따져보게 되었다. 그 중 수많은 문제가 자와 컴퍼스만을 가지고도 해결할 수 있었다. 그런데 그 중에는 자와 컴퍼스만을 써서 그릴 수 있는지 없는지 도무지 알 수 없는 문제들도 있었다. 그 대표적인 예가 3대 작도 문제이다.1. 정육면체의 배적: 주어진 정육면체 부피의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 모서리를 작도하는 문제2. 각의 삼등분: 임의의 각을 삼등분하는 문제3. 원적: 주어진 원과 동일한 면적을 갖는 정사각형을 작도하는 문제다음 세 문제는 언뜻 쉽고 명쾌한 것처럼 보이기 때문에 사람들을 더 유혹했지만 가우스조차 이 문제에 답을 내놓지는 못했다. 사실 이 문제들은 모두 자와 컴퍼스만을 써서는 그릴 수 없다. 가능함을 보이는 것은 가능한 어떤 방법 하나를 보이면 충분하지만 불가능을 보인다는 것은 그 모든 가능성 중 어떤 것도 적용될 수 없다는 것을 말하기 때문에 그것을 명확하게 보이는 것은 무척 어렵다. 위의 유명한 세 문제가 왜 수천년을 끌어왔는지 알만하다. 3대 작도 문제를 다루기 전에 먼저 작도가능한 수에 대해서 알아보도록 하겠다.●작도가능한 수란?사칙연산이 작도 가능하다는 점을 이용해 “1”이란 길이(혹은 점)로부터 자연수, 정수 그리고 유리수까지 작도가능함을 알 수 있다. 하지만 작도 가능을 여기서 멈추면 의미가 없다. 더 많은 수를 작도할 수 없는지 알아보자. 작도의 본질로 들어가면 컴퍼스와 눈금 없는 자로 우리가 그릴 수 있는 단 두 가지 을 생각해볼 수 있다. 지금 목적이 ‘작도 가능한 길이(혹은 점)’에 초점을 두고 있으므로 자연스럽게 을 이용하면된다. 그럼 3가지가 나오게 되는데a. 직선과 직선의 교점b. 직선과 원의 교점c. 원과 원의 교점직선의 방정식과 원의 방정식을 이용하여 교점을 구해 보면 a. 직선-직선의 교점이나 c. 원-원의 교점을 구하다 보면 제곱항이 없어진다. 그렇다는 말은 결국 원래 알고 있는 수의 사칙연산만으로 x와 y의 값을 구할 수 있다는 것이다. 하지만 b. 직선-원의 교점은 독특하게 제곱항이 남는다. 제곱항이 남는다는 것은 기호 제곰근()이 나올 수 밖에 없다는 것이다. 다시 말해의 모양은 작도 가능이다. 실재로 아래 그림은 a란 것이 작도 가능이면도 작도 가능이란 것의 그림이다.그러니 연속적으로 적용하면,,와 같이 루트속 루트까지는 작도가능이다. 즉, √, ?, √, √ ?과 같이 제곱근은 제곱근인데 2의 거듭제곱(2, 4, 8, 16, ?)으로 된 제곱근만이 작도 가능한 점이란 것이다. 예를 들어 보자면 이런 점들이다.1. 각의 3등분의 문제-임의의 각은 3등분 할 수 있을까?모든 각이 3등분되지 않는다는 말은 아니다. 되는 각도 분명히 존재한다. (예를 들어 90도는 삼분할 가능하다.) 그러나 문제는 일반적으로 가능한 3분할이 있냐는 것이다. 결론은 불가능하다인데 보이는 방법은 생각보다 간편하다. 딱 하나라도 불가능한 경우가 있음을 보이면 된다. 특수한 각 60도로 예를 들어보자.위의 그림과 같이가 작도 가능하다는 것은 cos가 작도 가능하다는 것과 동일하다. 따라서 60도의 삼분할이 20도이므로 cos20이 작도 가능해야 한다. 이 때 cos60=1/2임을 이용하면 cos3=4cos-3cos이므로 cos20은 4x의 해다. 다시 쓰면의 근이다. 이 근을 구하면 3중근, 즉?모양의 근이 나올 수 밖에 없다. 이것은 작도 불가능한 수이다. 따라서 60도는 삼분할 불가능하다.2. 배적문제-임의의 정육면체의 부피가 두배 되는 정육면체는 작도불가이다.(델로스의 문제)길이가 1인 정육면체를 생각하자. 부피는이다. 그렇다면 부피가 2배라면 부피 2인 정육면체를 만들어야 하는데, 이 때 부피 2인 정육면체의 한변의 길이를 x라 하면이여야 한다. 따라서 x=?2이다. 그런데 제곱근은 2, 4, 8 등 2의 거듭제곱근만 작도 가능하므로 x=?2는 작도 불가능이다.

교육학| 2012.10.27| 4페이지| 1,000원| 조회(184)

3대작도문제, 각의 삼등분, 3대작도불가능

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홍차 시음 레포트(교양)

1. ENGLISH BREAKFAST①Natural영국인의 아침이라는 이름을 지닌 이 홍차. 왠지 아침이라고 명시되어 있어서 아침에 마셔야 할 것만 같았다. 그래서 아침에 일어나서 하루를 맑고 개운하게 시작해볼까? 하는 생각으로 물을 끓이고 티백을 담갔다. 1학기 때도 시음레포트를 해봤었는데 녹차티백과는 달리 홍차티백이 좀 더 고급스러운 것 같아서 살짝 기대가 되었다. 티백을 물에 담그자마자 은은한 풀향이 코로 전해져오면서 정말 오늘 하루는 상쾌하게 시작할 수 있을 것만 같았다. 색 또한 원두커피를 포트에서 내린 듯한 색으로 붉은 갈색을 띠었다. 이제 맛을 봐야 할 때!! 두근두근 과연 이 홍차는 나의 기대를 저버리지 않겠지? 하면서 한모금 마셔 보았다. 입안에서 텁텁하지도 않고 깔끔한 것이 이것이야 말로 아침에 누리는 ‘차 한잔의 여유’였다. 은은한 풀향기 때문인지 소들이 풀을 뜯어먹고 있는 전원풍경이 떠올랐다. 그런데 이 홍차를 마시다보니 끝맛에서 약간 떫은 맛이 느껴졌다. 홍차 밑쪽의 농도가 짙어서 인지 마시면 마실수록 더 떫은 맛이 강하게 느껴졌다. 떫은 맛을 덜어줄 비스킷이나 쿠키와 곁들여서 먹었으면 더 좋았겠다는 생각이 들었다. 하지만 홍차맛의 본연을 지키기 위해서는 그냥 먹어야 하리라.②With 설탕English Breakfast에서 나는 떫은 맛을 조금 덜어볼까? 라는 생각으로 설탕을 넣어서 마셔보았다. 일단 향과 색은 Natural로 마셨을 때와 거의 유사했다. 하지만 설탕을 넣었으니 무언가 색다른 맛이 날것이라 생각을 하고 천천히 음미해 보았다. 역시 예상대로 설탕의 단맛이 이 홍차와 어우러져서 떫은 맛을 없애주고 있었다. 또 향만 달랐지 색과 맛이 원두커피와 비슷하여 풀내음이 나는 원두커피를 마시고 있는 기분이 들었다. 마치 풀내음이 나는 쑥사우나에서 차가운 원두커피를 마시고 있는 듯한 이미지가 연상되었다. 단맛 때문에 떫은 맛이 없어져서 마시기에는 좋았지만 설탕을 가미함으로 인해 홍차 고유의 맛을 잃은 것 같아서 조금 이상한 기분이 들기도시음을 해야하기에 느끼할 것만 같은 이 홍차를 한모금 마셔보았다. 생각보다 유지방의 맛은 많이 느껴지진 않았지만 홍차와 바닐라 아이스크림은 왠지 궁합이 별로 안맞는 것 같다는 생각이 들었다. 유지방과 섞인 홍차는 홍차만의 매력을 잃어버리는 것 같다. 홍차 본연의 맛을 즐기기 위해서는 아무래도 Natural하게 홍차만을 마시는 것이 가장 좋지 않을까? 생각해본다.2. EARL GREY①NaturalEarl Grey는 베르가못 향을 첨가하여 제조되는 flavory tea로 영국의 백작이었던 Earl Grey 백작에 의해서 영국에 소개되었다고 한다. 베르가못 향이 첨가되어서인지 티백을 뜯자마자 코에 진한 꽃향기가 전해져 왔다. 너무 강한 향 때문인지 왠지 거북스러울 것 같은 느낌도 들었다. 그러나 예상했던 것과는 달리 물에 티백을 담그자 언제 그랬냐는 듯 은은한 꽃향기가 전해져 왔다. 그리고 약간 간장의 색과 유사하게 붉은 갈색을 띠었다.(약간의 검은색도 있는 것 같다.)코끝으로 향을 느끼면서 천천히 한모금 목을 축였다. 왠지 풀밭에서 꽃반지를 만들며 노는 예쁜 소녀들이 떠오를 것 같았는데 엄마 화장품을 모르고 먹어버린 어린아이의 모습이 떠올랐다. 이것은 홍차라기보다는 화차에 가까운 것 같다. 내가 마치 꽃을 따서 씹어먹고 있는 느낌이랄까? 그래도 내가 언제 이런 홍차를 또 마셔볼 기회가 있겠냐 싶어서 ‘경험’에 의의를 두고 이 홍차를 음미했다. 물론 마시기엔 조금 힘든감이 있었지만 마시고 난 후 입안에서 맴도는 꽃향기만은 맘에 들었다.②With 딸기잼홍차의 맛을 강하지 않고 은은하게 즐길 수 없을까? 하는 생각에 이번엔 티백을 물에 오랫동안 우려내지 않고 살짝만 우려내었다. 덜 우려내서인지 연한 갈색 빛을 띠었고 향도 더욱 옅은 꽃내음이 났다. 일단 색과 향은 마음에 들었다. 그럼 이제 맛도 은은하게 풍겨져 오겠지? 내가 이 홍차에 어울릴 것 같다고 생각했던 딸기잼을 입안에 넣고 홍차를 맛보았다. 처음에 홍차를 한모금 마셨을 때는 말로 표현할 수 없는 오묘한 맛이 잣 하나만 띄워주면 이것은 거의 ‘수정과’라고 해도 과언이 아닐정도로 홍차의 모습이 수정과로 변해있었다. 하지만 맛은 홍차의 맛을 잃지 않고 자리를 우뚝 지키고 있었다. 다만 Earl Grey의 베르가못 향기가 너무 미세해졌다는 점이 아쉽긴 했다. 내가 계피가루를 홍차의 향을 살릴 수 있을 정도로 적당히 넣었어야 했는데 너무 많이 넣어서 베르가못 향이 많이 사라진 것 같았다. 그래도 난 내 사랑 계피의 향을 코끝으로 느끼면서 홍차를 기분좋게 음미했다.3. CEYLON TEA①Natural내가 평소에 ‘실론티’라는 음료를 좋아해서 자주 마시는데 그래서일까? 이 홍차에는 왠지 모를 애착이 갔다. 그래서 아껴두었다가 시음을 위해 한껏 부푼 마음으로 실론티 티백을 뜯었다. 그런데 이것은 내가 평소에 마셨던 실론티가 아닌 것 같았다. 풀냄새가 나는 것이 조금 불안하긴 했지만 의심반 기대반으로 시음을 시작했다. 향은 한약재의 냄새가 느껴졌고 색은 붉은 갈색을 보였다. 맛은 특별한 맛이 나진 않았지만 마치 커피를 마시는 것처럼 깔끔하고 부드러웠다. 그리고 계속 마시다보니 이 홍차 속에서 내가 마시던 실론티 음료의 맛을 찾을 수 있었다. 실론티 음료처럼 달진 않았지만 그윽한 향과 맛이 실론티 음료와 그림조각 맞추듯 겹쳐졌다. 또 언뜻 이 홍차를 마시는데 시골 초가집 앞마당에서 저녁을 준비하는 아낙네들이 떠올랐다. 왜인지는 모르겠지만 이 홍차의 그윽함이 전원 속에서 평화로운 일상을 보내는 아낙네들을 연상시켰나 보다. 이 실론티는 왠지 모르게 나를 평안하게 만들어 주는 힘을 지니고 있는 것 같다.②With 사이다홍차티백을 뜨거운 물에 우려낸 후 사이다를 조금씩 부었더니 컵 수면 위에서 기포가 발생하면서 색이 옅은 레드와인색으로 변했다. 따듯한 홍차와 차가운 사이다가 섞여서 만들어내는 모습은 날 마법을 무리는 마술사가 된 듯한 기분을 자아내 주었다. 또 두가지를 섞었을 때 홍차에서 나는 향은 사이다와 실론티의 향이 섞여 색다른 느낌을 안겨 주었다. 사이다를 섞을 때는 시원하게 있었다. 내가 산 탄산수가 향이 가미되지 않은 플레인 탄산수여서일까? 홍차의 향을 많이 해치진 않은 것 같았다. 그리고 입안에서 떫은맛이 느껴지긴 했지만 탄산이 ‘톡톡’ 튀면서 살아있는 것이 무언가가 헤엄치고 있는 듯한 기분이 들었다. 마치 바닷가에서 서핑을 하는 것처럼 기분이 꽤 상쾌했다. 홍차를 입안에 넣은 그 순간에는 기분 좋은 상상을 할 수 있었지만 목구멍으로 넘어가는 순간부터는 떫은맛이 정신을 바짝 차리게 만들었다. 탄산수를 섞어 마시면서 색다른 맛을 느낄 수 있어서 좋긴 했지만 홍차는 아무래도 향으로 즐기는 Natural홍차가 최고인 것 같다.4. DARJEELING①Natural이 티백은 뜯어서 향을 맡았을 때 바닷가에서 김말리는 냄새가 났다. ‘홍차는 다 비슷비슷하고 똑같은 줄로만 알았는데 제각기 다른 향과 맛을 지니고 있구나’ 하는 생각이 들었다. 홍차는 향으로 즐긴다는 교수님의 말씀이 이제야 이해가 갔다. 티백을 뜨거운 물에 담그고천천히 우려내는데 처음에 내가 맡았던 향과는 다른 향이 느껴졌다. 기분을 좋게 만드는 한약재와 유사한 향이랄까? 색은 붉은 갈색을 띠었다. 홍차를 여러번 시음해보면서 느낀거지만 색은 홍차마다 거의 유사한 것 같다. 물론 홍차가 눈으로 즐기는 차가 아니기에 이해해야겠지만 말이다. 홍차의 샴페인이라고 불리는 다즐링 홍차! 천천히 눈을 감고 음미해보았다. 그런데 이미지가 연상되기도 전에 눈이 떠져 버렸다. 이 다즐링 홍차 분명히 교수님께서는 은은하고 순하다고 하셨는데 왜 나는 이렇게 떫게만 느껴지는 걸까? 뜨거운 물을 좀 더 부어서 연하게 만든 후 다시 음미해보았지만 떫은 맛은 어쩔 수가 없나보다. 떫은 맛 때문인지 나에게 이 홍차의 이미지를 떠올리기란 어려운 일이었다. 이 홍차의 맛과 어울릴 만한 것을 찾아 내 취향에 맞게 승화시켜 보리라 다짐했다.②With 우유이 다즐링 홍차를 맛있게 즐기려면 떫은 맛을 없애야 할 것 같았다. 그래서 어떻게 하면 좋을까 고민하던 끝에 일단 엷게 홍차를 우려냈다. 그리고 집에 있던 라 두었더니 잎이 말라서 그런 모양이다. 그래서 처음에 Natural로 홍차를 탔을 때보다 시간을 좀 더 길게하여 홍차를 우려낸 후 설탕을 티스푼으로 1~2스푼 집어넣었다. 장시간 동안 티백을 담가놓았는데도 홍차가 잘 우러나오지 않아서인지 홍차는 보리차처럼 엷은색으로 변해있었다. 그리고 홍차의 향 또한 이게 다즐링 홍차가 맞나 의심이 들정도로 많이 옅어져서 아주 은은하게 풍겨져 나왔다. 홍차 티백을 제대로 보관하지 못한 내 탓이 큰 것 같았다. 맛 또한 홍차의 맛이 많이 약해져 있었다. 다즐링 홍차가 원래 되게 강한 맛이 느껴져야 하는데 다즐링 홍차의 본질을 잃어버린 것 같았다. 비록 강한 맛은 사라졌지만 꿀물같이 변해버린 다즐링을 마시면서 마치 엄마품에 안긴 듯 부드럽고 포근한 느낌이 들었다. 다음번에 기회가 닿게 된다면 다시 살아있는 다즐링 홍차의 잎을 만나보고 싶다.5. PEACH&PASSION(과일홍차)①Natural이 과일홍차는 주황색으로 포장되어 있어서인지 외관상으로만 봐도 새콤달콤한 맛이 느껴졌다. 또 내가 워낙 복숭아를 좋아하기 때문에 무척이나 기대가 되는 홍차 중 하나이기도 했다. 티백을 뜯자마자 내 기대에 부흥이라도 한다는 듯이 달콤한 복숭아의 향이 전해져왔다. 빨리 이 과일홍차를 맛보고 싶은 마음에 황급히 티백을 물에 담갔다. 투명한 물에 티백을 담갔더니 점점 티백이 우러져 나오면서 포트에서 뽑아낸 원두커피의 색으로 변해갔다. 또 동시에 복숭아의 달콤함 또한 나에게 찾아왔다. 이 과일홍차는 맛으로 마신다기보단 코로 마신다고 해도 과언이 아닐 정도로 너무나도 향이 좋았다. 입안에서 느껴지는 달콤한 복숭아 향이 너무 매력적이라고나 할까? 마치 서로 좋아하는 소년과 소녀가 수줍게 손을 잡는 것처럼 달콤하고 순수한 장면이 그려졌다. 홍차를 마시는 내내 내가 그 소녀가 된 마냥 기분 좋은 상상을 해보았다. 다른 홍차들도 다 각기의 매력이 있고 좋았지만 나는 유독 이 과일홍차가 가장 마음에 들었다. 달콤한 향기가 내 마음을 빼앗았나보다.②With 꿀과일다.

인문/어학| 2010.03.07| 10페이지| 1,500원| 조회(307)

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