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유클리드의 원론

유클리드의 원론1. 유클리드 원론의 중요성과 형식적인 특성☆ 유클리드 원론공리적 방법을 사용해서 최초로 광범위하게 수학을 전개한 보기로 현재 우리에게 전해지고 있는 훌륭하고 역사적으로 중요한 책이다. 이 책의 출현은 수학 사상사와 수학의 체계화에 있어서 최초의 거대한 획기적인 사건이고, 그 이후 과학적 사고에 끼친 영향은 아무리 과장해도 지나치지 않는다.☆ 유클리드에 관한 사실유클리드 본인에 관해 알려진 사실이 거의 없다. 유클리드에 관한 가장 만족스러운 정보는 프로클로스의 유클리드 주석서 제Ⅰ권에서 얻을 수 있다.원론을 편집한 유클리드는 에우독소스의 많은 정리를 수집했다. 그는 테아이테토스의 많은 정리를 개선했으며, 또한 그의 선조들이 약간 허술하게 증명했던 것들을 반박의 여지가 없도록 증명했다....(중략)...유클리드가 플라톤 이후에 태어났지만, 에라토스테네서와 아르키메데스보다 먼저 태어났다는 것은 확실하다.이 글은 유클리드가 기원전 300년경에 살았다는 사실을 내포하고 있다. 유클리드는 그 유명한 알렉산드리아 대학교의 최초의 수학 교수 였으며, 오랫동안 존속했던 유명한 알렉산드리아 수학 학파의 창시자 였다.유클리드가 수학에 관해 적어도 열 가지 책을 썼지만, 후세의 사람들은 열 세권으로 이루어진 그의 기념지적인 책 원론을 통해 주로 그를 알게 되었다. 이 책은 그 이전의 이런 부류의 모든 책을 매우 빠르고 매우 완벽하게 대체했다.2000년 이상 동안, 이 책은 모든 기하학 교육을 좌우했고, 1482년에 처음으로 인쇄된 이래, 1,000번 이상 재판이 되었다. 그리고 공리적 또는 공준적 방법의 원형으로서 수학 발달에 끼친 영향력은 막대했다.☆ 원론(elements)프로클로스는 원론의 의미를 그 학문에서 일반적으로 널리 사용되는 주요한 또는 기본적인 정리들로 간주되는 것이라고 했다.....서로 다른 많은 방법이 다양한 원론 작가들에 의해 고안되었다.이런 책은 불필요한 모든 것을 제거하는 것이 필수적이다(왜냐하면 그것은 지식의 습득에 방해가 되기 때문이다).제Ⅲ권은 원, 제Ⅳ권은 정다각형의 작도, 제Ⅴ권과 제Ⅵ권은 에우독소시의 비율 이론과 그것의 기하학에의 응용, 제Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ권은 모두 합쳐서 102개의 정리를 포함한 초등 수론, 제Ⅹ권은 무리수, 나머지 세권은 입체 기하학을 고려하고 있다.2. 공리적 방법에 대한 아리스토텔레스와 프로클로스☆ 유클리드의 원론에 대한 이해불행하게도, 유클리드가 살았던 시대의 유클리드의 원론이 존재하지 않는다. 19세기 초까지 테온의 개정판은 현대까지 보존된 가장 오래된 원론의 개정판이었다. 그러나 페이라르는 바티칸 도서관에서 테온의 개정판보다 앞서 나왔던 10세기에 만들어진 유클리드의 원론의 개정판을 발견했다. 책의 서론 부분이 그 이후의 개정판에서 일부 교정되었다는 사실이 밝혀졌지만, 정리와 증명은 대수롭지 않는 추가와 삭제 이외에 유클리드가 쓴 것과 근본적으로 같음이 밝혀졌다.유클리드가 직접 썼던 책이 존재하지 않고 그 뒤에 편집자에 의한 변경과 추가 때문에, 유클리드가 그 책의 서도에서 무슨 명제를 가정했고 그런 명제를 얼마나 많이 가정했는지를 정확하게 알 수 없다.그러므로 유클리드를 부분적으로나마 이해하기 위해서도, 유클리드와 같은 시대의 사람들이 견지했던 생각을 조사해야만 할 것이다.특히, 아리스토텔레스는 중요한 정보원이다. 아리스토텔레스가 플라톤의 학교에서 배웠기 때문에, 그의 학문적 배경은 유클리드의 그것과 매우 유사할 것이다.☆ 아리스토텔레스의 분석론 후서내가 의미하는 어떤 주제에 대한 제1의 원리는 그것의 진실성을 증명할 수 없는 것이다. 초기의 용어들과 그것들로부터 유도된 것이 의미하는 바는 가정으로 받아들인다. 그러나 그것들의 존재에 관한 한 그 원리들에 대해서는 반드시 가정으로 받아들이지만 나머지는 증명되어야 한다. 그러므로 단위, 직선, 삼각형 등은 반드시 가정으로 받아들인다. 그리고 단위와 크기의 존재도 또한 가정으로 받아들이지만, 나머지의 존재는 증명해야만 한다....(중략)....모든 논증적인 학문은 다음 세 가지와 관련을 맺고 있다. (1) 존재하는 것이 받아들이면, 그 정리는 전제로 선택되어 그것으로부터 그 이후의 정리를 유도할 수 있다.아리스토텔레스는 공리를 대단히 자명하기 때문에 분별있는 사람은 결코 의심하지 않을 보편적인 가정으로 간주하고 있는 사실을 발견할 수 있다. 또, 그는 공리를 대단히 기본적이기 때문에 증명의 대상으로 간주할 수 없다고 생각했다.☆ 아리스토텔레스에 의한 공리와 공준의 차이점공 리공 준모든 학문에 공통적이다특별한 학문과 관련이 있다자명하다자명하지 않다증명의 대상으로 간주될 수 없다증명의 대상이다학생의 즉각적인 동의와 함께 가정된다학생의 동의가 없어도 가정된다☆ 프로클로스가 기록한 정의, 공리, 공준기하학에서 원론의 편집자는 원리에 대한 어떠한 설명도 하지 말고 단지 그것의 결론에 대해 설명함으로써, 기하학의 원리와 그 원리에 따른 결론을 반드시 구별해야 한다. 어떠한 학문도 자신의 원리와 그것에 관한 논의마저도 증명할 수 없다. 원리는 자명한 것으로 다룬다.... 유클리드는 공통적인 원리 자체도 정의, 공준, 공리로 나누었다. 이것들은 모두 서로 구별된다. 이런 견해를 반영한 아리스토텔레스가 어디에선가 지적했듯이, 공리, 공준, 정의는 똑같지 않다. 보기를 들어 같은 것과 같은 것은 또한 서로 같다라는 명제와 같이, 가정되고 원리로 평가된 것이 학생에게 이해되고 그 자체로 수긍이 가면 그런 것은 공리이다. 반면에 학생에게 제시된 것이 그 자체로 수긍이 간다고 이해되지 못하지만 그럼에도 불구하고 그것을 가정으로 선택하는 데 동의할 때, 그런 가정을 정의라 한다.... 주장된 내용이 밝혀지지 않았고 학생의 동의가 없어도 가정될 때, 그것을 공준이라 부른다. 보기를 들면 모든 직각은 서로 같다는 공준이다....(중략)프로클로스는 여러 부류에 의해 옹호된 다음과 같은 세 가지 차이점을 지적하고 있다.(1) 공리는 어떤 것에 관해 자명하게 가정된 명제이고, 공준은 어떤 것에 관해 자명하게 가정된 해석이다. 따라서 공리와 공준 사이의 관계는 정리와 작도 문제 사이의 관계와 매우 유사하다. 각들을 직각이라 부르며, 직선 위에 세워진 직선이 그것이 세워진 직선에 대한 수선이라 한다.11. 둔각은 직각보다 큰 각이다.12. 예각은 직각보다 작은 각이다.13. 경계는 어떤 것의 끝이다.14. 도형은 하나 또는 여러 개의 경계로 둘러싸인 것이다.15. 원은 평면 도형으로, 그 도형 내부에 놓인 하나의 특별한 점으로부터 한 선에 이르는 모든 직선이 서로 같은 그런 선으로 둘러싸인 것이다.16. (정의 15의) 특별한 점을 그 원의 중심이라 부른다.17. 원의 지름은 그 원의 중심을 지나고 양끝이 그 원의 둘레에서 끝나는 임의의 직선이다. 이와 같은 직선은 또한 그 원을 이등분한다.18. 반원은 하나의 지름과 그것에 의해 잘린 원둘레로 둘러싸인 도형이다. 반원의 중심은 그 원의 중심과 같다.19. 직선 도형은 직선으로 둘러싸인 도형으로, 삼각형은 세 개의 직선으로 둘러싸인 도형이고 사변형은 네 개의 직선으로 둘러싸인 도형이며 다변형은 네 개보다 많은 직선으로 둘러싸인 도형이다.20. 삼각형 중에서, 정삼각형은 세 변이 같은 삼각형이고 이등변삼각형은 두 변이 같은 삼각형이며 부등변 삼각형은 세 변이 서로 같지 않은 삼각형이다.21. 또, 삼각형 중에서, 직각 삼각형은 직각을 갖는 삼각형이고 둔각 삼각형은 둔각을 갖는 삼각형이며 예각 삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.22. 사변형 중에서, 정사각형은 모든 변이 같고 모든 각이 직각인 사변형이고 직사각형은 모든 각이 직각이지만 모든 변이 같지는 않은 사변형이고 마름모는 모든 변이 같지만 모든 각이 직각은 아닌 사변형이다. 그리고 장사방형은 마주 보는 변들이 서로 같고 마주 보는 각들이 서로 같지만 네 변이 모두 같지는 않고 네 각이 모두 같지는 않은 사변형이다. 이것 이외의 사변형을 부등형 사변형이라 부른다.23. 평행선은 같은 평면 위에 있고 양 방향으로 한없이 연장되지만 어느 방향에서도 서로 만나지 않는 직선들이다.공준(Postulate)1. 임의의 점으로부터 임의의 점으로 직선을 그릴 수 있다.2한 유클리드의 개념과 용도모든 연역적 체계는 연역이 진행할 수 있도록 만드는 가정이 필요하다. 따라서 초기의 전제로서, 유클리드는 다섯 가지 공준 또는 그의 주제에 대해 가정된 명제를 설명했다. 다섯가지 공준에 덧붙여, 유클리드는 증명에 또 다시 필요한 다섯가지 공리 또는 일반 개념을 나열했다. 이 공리들은 그의 주제에 특유한 것이 아니라 모든 분야의 연구에서 정당한 일반적인 원리이다. 그런데 공준에는 독자가 명확한 개념을 파악하기가 확실하지 않은 점, 직선, 직각, 원 등과 같은 많은 용어가 나타난다. 그러므로 몇 가지 정의가 또한 주어졌다. 이 정의들은 주제의 본질에 관한 가정이 아니고 용어의 의미에 대한 설명에 불과하다.학생들에게 공준, 공리, 정리를 제시하는 자연스러운 순서는 그 논설의 전문적인 용어들의 의미를 설명하는 정의를 먼저 나열하고, 정의와 밀접하게 관련된 공준을 그 뒤에 나열하며, 마지막으로 공리 또는 일반 개념을 나열하는 것이다.4. 유클리드 원론의 논리적 결함☆ 연역적 체계 전개에서의 주의할 점유클리드의 원론은 공리적 방법의 매우 초기의 광범위한 적용이었기 때문에, 논리적 결함이 많다. 아마도 이런 결함 중에서 가장 중대한 것은 그 뒤의 추론에서는 사용되었지만 이 책의 제1의 원리로 받아들여지지 않은 묵시적인 가정들일 것이다. 이와 같은 위험은 주제가 저자에게 너무 친숙할 때 모든 연역적 연구에 존재한다. 통상 연구하려는 분야의 주제에 대한 철저한 이해는 진지한 연구를 위한 피할 수 없는 선행 조건으로 간주된다.연역적 체계는 체계화된 명제들의 단순 수집과는 다르다. 원래의 가정 이외에 그 체계 내의 모든 명제는 반드시 초기의 가정으로부터 유도할 수 있어야 하고, 임의의 가정이 그 작업에 추가로 끼여들어가야만 한다면 원하는 체계화는 실현될 수 없다는 사실에 그 체계화의 열쇠가 놓여있다. 따라서 연역적 체계를 구성할 때는 언제나 전개하는 내용에 대해 완벽하게 모르는 것처럼 행동하면서 진행해야만 한다.이와 같은 정리의 구체적인 증명과 그와 같은

자연과학| 2011.08.05| 10페이지| 1,500원| 조회(317)

정의, 유클리드, 원론, 공준, 공론

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