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[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH5.3 Cramer's Rule, Inverse, and Volumnes에 대한 시험대비 완벽정리

Three Rules Defined the Determinant(it applies in n - dimensions)When A = I, the parallelogram becomes the unit square, Its area is Det(I) = 1.When rows are exchanged, the determinant reverses sign. Absolute value is same.

공학/기술| 2016.02.11| 3페이지| 무료| 조회(142)

선형대수, Linear Algebra, Gilbert Strang

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[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH5.1 The Properties of Determinants에 대한 시험대비 완벽정리

CH. 5 Determinants5.1 The properties of determinantsdeterminant의 비밀square matrix의 determinant는 single number를 가지는데 이것은 놀라운 정보를 담고 있다.두구두구 determinant=0이면 그 matrix는 non invertible하다! 만약 A가 invertible하다면 A-1의 determinant는 1/(det A)이다.또한, pivots의 곱이 바로 determinant이다.중요한 성질은 만약 row를 exchange하면 determinant의 sign(+,-)이 바뀐다는 것이다.또 다른 성질은 det 2I=2n이라는 것인데, 이 성질을 linearity라 한다. 책만 봐서는 잘 모르겠고 나중에 더 자세히…위처럼 det.는 sign reversal and linearity라는 성질을 갖고 있다. 뒤에는 아래와 같은 적용이 있을 것이다.(1) Det.는 A-1와 A-1b를 보여준다 ( Cramer’s Rule)(2) When the edges of a box are the rows of A, the volume is . 음…무슨말이지(3) For n special number , called eigenvalues, the determinants of A-I is zero.A-I=0을 만족시키는 가 eigenvalue(고유값)이구만. 왜 그렇게 중요하지? 6장에서 봐야겠다.The Properties of Determinantdet.는 3개의 basic property가 있다. 이것들로서 det.를 계산 할 수 있다.det.는 square matrix에만 있나?궁금해서 matlab에 쳐봤는데 matrix must be square라고 뜨네.det A가 있으려면 정방행렬이어야 한다.det A 혹은 이렇게 쓴다.오우 그리고 신기한 게이제 상기한 3가지 룰을 살펴보면1. The determinant of the n by n identity matrix is 1.어떠한 차원의 I라도 det I = 1이다.2. The determinant changes sign when two rows are exchanged.(앞에서 적은 sign reversal)근데 column을 exchange해도 sign이 바뀐다.3. The determinant is a linear function of each row separately이거 재밌는 성질인데 어떤 row에 t를 곱하면 det.도 t배가 된다.그리고 어떤 한 row의 성분을 나누어서 det.의 add로 나타낼 수 있다. 이건 보여줘야 아는데매트랩으로 한 건데, 처음 A의 det. 값은 190인데1st row에 2를 곱했더니 det A값도 2배가 됐다.2nd row를 1/2배 했더니 det A도 1/2배가 됐다.그리고 이 룰에 따라 det kI = kn이 된다. 생각해보시길이번엔 A의 1st row를 분해하여 A1과 A2로 나눴다. 다른 행들은 그대로 뒀다.그러면 A1과 A2의 det의 합은 det A가 된다. 키보드 바꿨다. 아주 잘써진다. imation 무선 키보드는 쓰레기다ㅋㅋ위의 3가지 룰이 메인이고 기타 룰을 적어보면4. If two rows of A are equal, then det A=0동일한 두개 row를 바꾸면 -1이 붙어야 되는데 row가 같다면 matrix가 바뀌지 않아! 0일 수 밖에..5. subtracting a multiple of one row from another row leaves det A unchanged.한마디로 row를 바꾸지 않는 한 elimination해도 det.는 바뀌지 않는다.즉, det A = det U (row 안 바꾸면)6. A matrix with a row of zeros has det A = 0만약 첫번째 row가 0이라면 t배하면 det A 가 t배 되어야 하는데 A그대로 이므로 det A는 0일 수 밖에..7. If A is triangular then det A = product of diagonal entries.뭐 이렇게 된다.1*2*6=12당연히 diagonal matrix는 모든 entries의 곱이 det.가 된다.8. If A is singular then det A = 0. If A is invertible then det A 0음? 이건 기본 정리인데.그리고 elimination을 하면 det을 더 쉽게 구할 수 있다.그러하다.10. det AT = det A

공학/기술| 2016.02.11| 4페이지| 1,000원| 조회(209)

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[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH5.2 Permutations and Cofactors에 대한 시험대비 완벽정리

CH5. Determinants5.2 Permutations and Cofactors여기서는 det.를 구하는 3가지 방법 Pivot formula, big formula, cofactor formula를 자세히 다룬다. 고고씽The Pivot Formulaelimination을 하면 pivots가 남는다. 만약 row exchange가 없었다면 이 pivots의 곱이 바로 det.이다.det A= (det L)(det U) = 1*(d1d2…dn)이라는 말씀만약 row exchange가 있다면 PA=LU가 된다.det P= 이므로 det A = (d1d2…dn)이 된다.만약 pivot이 n개가 없다면 det A = 0이다.이 된다.A가 n square matrix일 때 처음 k번째 pivot에 해당하는 k by k matrix를 corner submatrix Ak라고 한다.the determinant of that corner submatrix Ak is d1d2...*dk이다.no row exchange라고 한다면 A=LU and Ak=LkUkAk는 factorial의 의미를 가져서 dk=det Ak/det Ak-1과 같다.The Big Formula for Determinantspivot formula는 계산하기 좋지만 original aij를 다시 찾아보기 힘들다. big formula 는 aij로부터 바로 determinant를 찾아낼 수 있는 방법이다.이 formula는 n!개의 terms를 갖고 있다. n=2일 경우, term은 2개이다.(ad, bc).term들의 반은 (+)sign, 나머지 반은 (-)sign을 갖는다.3 by 3 matrix의 경우위에서 보면 row와 column이 겹치지 않게 entries를 뽑는다.n=4일 때는 4! = 24개의 term이 생긴다. row와 column이 겹치지 않게 뽑는 24개의 way가 있다. diagonal entries의 곱 term a11a22a33a44는 항상 (+)이며 identity permutation이라 한다.위의 3 by 3 terms가 어떻게 저렇게 나오는지 일단 2 by 2행렬로 유도해보겠다.이다여기서 row나 column이 zero이면 det = 0 이 되므로.가 된다.이렇게 term의 요소가 같은 column이나 row에서 나오면 det가 0이 되므로 제외하고, term을 이루는 entries가 column과 row가 달라야 한다.그래서 3 by 3 matrix는요렇게 된다.보면 permutation matrices가 있는데 I에서 row를 홀수번 바꿨으면 det가 (-) 짝수번 바꿨으면 (+)가 된다.이것을 일반화 하면det A = sum over all n! column permutations P = ()=여기서 는 1~n까지의 수를 배열 한 것이다. P의 개수는 n!개가 될 것이다.Determinant by Cofactors위에서 보인는으로 분해 할 수 있다. 괄호 안에 있는 것들을 cofactor라고 한다.이것들은 2 by 2 matrix의 determinant를 이룬다. 이것들을 이루는 것은 row 2, 3에 있다. a11,a12,a13가 factor이다.2,3 row에 있는 것들이 cofactors C11,C12,C13를 이룬다.그래서 위의 식은 a11C11+a12C12+a13C13로 표현된다.factor의 row와 column을 제외한 entries들은 submatrix Mij를 이룬다. size는 n-1또한 cofactor Cij의 부호는 (-1)i+j가 된다.정리하면cofactor formula마찬가지로 하나의 column을 기준으로 down a column 방법을 사용 할 수도 있다.Cofactor는 matrix에 많은 0 entry가 있을 때 유용하다.이제 예제를 풀어보자problem set 5.21.big formula로 해보니 independent하군3.cofactors of row1C11 = 0, C12=0, C13=0rank of A = 26term :ex.)big formula로는 풀기 힘들다 4!= 24가지의 수를 어떻게…그래서 pivot formula와 cofactorrow 1,4를 exchange -1(5*2*4.4*-0.45)=20det(A)=20challenge problems33.-1C14+4C24-10C34+20C44=1-1C14+4C24-10C34+19C44=1-C44C44=따라서 0가 된다.

공학/기술| 2016.02.11| 7페이지| 1,000원| 조회(174)

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[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH5. Determinants 5장 전체에 대한 시험대비 완벽정리

CH. 5 Determinants5.1 The properties of determinantsdeterminant의 비밀square matrix의 determinant는 single number를 가지는데 이것은 놀라운 정보를 담고 있다.두구두구 determinant=0이면 그 matrix는 non invertible하다! 만약 A가 invertible하다면 A-1의 determinant는 1/(det A)이다.또한, pivots의 곱이 바로 determinant이다.중요한 성질은 만약 row를 exchange하면 determinant의 sign(+,-)이 바뀐다는 것이다.또 다른 성질은 det 2I=2n이라는 것인데, 이 성질을 linearity라 한다. 책만 봐서는 잘 모르겠고 나중에 더 자세히…위처럼 det.는 sign reversal and linearity라는 성질을 갖고 있다. 뒤에는 아래와 같은 적용이 있을 것이다.(1) Det.는 A-1와 A-1b를 보여준다 ( Cramer’s Rule)(2) When the edges of a box are the rows of A, the volume is . 음…무슨말이지(3) For n special number , called eigenvalues, the determinants of A-I is zero.A-I=0을 만족시키는 가 eigenvalue(고유값)이구만. 왜 그렇게 중요하지? 6장에서 봐야겠다.The Properties of Determinantdet.는 3개의 basic property가 있다. 이것들로서 det.를 계산 할 수 있다.det.는 square matrix에만 있나?궁금해서 matlab에 쳐봤는데 matrix must be square라고 뜨네.det A가 있으려면 정방행렬이어야 한다.det A 혹은 이렇게 쓴다.오우 그리고 신기한 게이제 상기한 3가지 룰을 살펴보면1. The determinant of the n by n identity matrix is 1.어떠한 차원의 I라도 det I = 1이다.2. The determinant changes sign when two rows are exchanged.(앞에서 적은 sign reversal)근데 column을 exchange해도 sign이 바뀐다.3. The determinant is a linear function of each row separately이거 재밌는 성질인데 어떤 row에 t를 곱하면 det.도 t배가 된다.그리고 어떤 한 row의 성분을 나누어서 det.의 add로 나타낼 수 있다. 이건 보여줘야 아는데매트랩으로 한 건데, 처음 A의 det. 값은 190인데1st row에 2를 곱했더니 det A값도 2배가 됐다.2nd row를 1/2배 했더니 det A도 1/2배가 됐다.그리고 이 룰에 따라 det kI = kn이 된다. 생각해보시길이번엔 A의 1st row를 분해하여 A1과 A2로 나눴다. 다른 행들은 그대로 뒀다.그러면 A1과 A2의 det의 합은 det A가 된다. 키보드 바꿨다. 아주 잘써진다. imation 무선 키보드는 쓰레기다ㅋㅋ위의 3가지 룰이 메인이고 기타 룰을 적어보면4. If two rows of A are equal, then det A=0동일한 두개 row를 바꾸면 -1이 붙어야 되는데 row가 같다면 matrix가 바뀌지 않아! 0일 수 밖에..5. subtracting a multiple of one row from another row leaves det A unchanged.한마디로 row를 바꾸지 않는 한 elimination해도 det.는 바뀌지 않는다.즉, det A = det U (row 안 바꾸면)6. A matrix with a row of zeros has det A = 0만약 첫번째 row가 0이라면 t배하면 det A 가 t배 되어야 하는데 A그대로 이므로 det A는 0일 수 밖에..7. If A is triangular then det A = product of diagonal entries.뭐 이렇게 된다.1*2*6=12당연히 diagonal matrix는 모든 entries의 곱이 det.가 된다.8. If A is singular then det A = 0. If A is invertible then det A 0음? 이건 기본 정리인데.그리고 elimination을 하면 det을 더 쉽게 구할 수 있다.그러하다.10. det AT = det ACH5. Determinants5.2 Permutations and Cofactors여기서는 det.를 구하는 3가지 방법 Pivot formula, big formula, cofactor formula를 자세히 다룬다. 고고씽The Pivot Formulaelimination을 하면 pivots가 남는다. 만약 row exchange가 없었다면 이 pivots의 곱이 바로 det.이다.det A= (det L)(det U) = 1*(d1d2…dn)이라는 말씀만약 row exchange가 있다면 PA=LU가 된다.det P= 이므로 det A = (d1d2…dn)이 된다.만약 pivot이 n개가 없다면 det A = 0이다.이 된다.A가 n square matrix일 때 처음 k번째 pivot에 해당하는 k by k matrix를 corner submatrix Ak라고 한다.the determinant of that corner submatrix Ak is d1d2...*dk이다.no row exchange라고 한다면 A=LU and Ak=LkUkAk는 factorial의 의미를 가져서 dk=det Ak/det Ak-1과 같다.The Big Formula for Determinantspivot formula는 계산하기 좋지만 original aij를 다시 찾아보기 힘들다. big formula 는 aij로부터 바로 determinant를 찾아낼 수 있는 방법이다.이 formula는 n!개의 terms를 갖고 있다. n=2일 경우, term은 2개이다.(ad, bc).term들의 반은 (+)sign, 나머지 반은 (-)sign을 갖는다.3 by 3 matrix의 경우위에서 보면 row와 column이 겹치지 않게 entries를 뽑는다.n=4일 때는 4! = 24개의 term이 생긴다. row와 column이 겹치지 않게 뽑는 24개의 way가 있다. diagonal entries의 곱 term a11a22a33a44는 항상 (+)이며 identity permutation이라 한다.위의 3 by 3 terms가 어떻게 저렇게 나오는지 일단 2 by 2행렬로 유도해보겠다.이다여기서 row나 column이 zero이면 det = 0 이 되므로.가 된다.이렇게 term의 요소가 같은 column이나 row에서 나오면 det가 0이 되므로 제외하고, term을 이루는 entries가 column과 row가 달라야 한다.그래서 3 by 3 matrix는요렇게 된다.보면 permutation matrices가 있는데 I에서 row를 홀수번 바꿨으면 det가 (-) 짝수번 바꿨으면 (+)가 된다.이것을 일반화 하면det A = sum over all n! column permutations P = ()=여기서 는 1~n까지의 수를 배열 한 것이다. P의 개수는 n!개가 될 것이다.Determinant by Cofactors위에서 보인는으로 분해 할 수 있다. 괄호 안에 있는 것들을 cofactor라고 한다.이것들은 2 by 2 matrix의 determinant를 이룬다. 이것들을 이루는 것은 row 2, 3에 있다. a11,a12,a13가 factor이다.2,3 row에 있는 것들이 cofactors C11,C12,C13를 이룬다.그래서 위의 식은 a11C11+a12C12+a13C13로 표현된다.factor의 row와 column을 제외한 entries들은 submatrix Mij를 이룬다. size는 n-1또한 cofactor Cij의 부호는 (-1)i+j가 된다.정리하면cofactor formula마찬가지로 하나의 column을 기준으로 down a column 방법을 사용 할 수도 있다.Cofactor는 matrix에 많은 0 entry가 있을 때 유용하다.이제 예제를 풀어보자problem set 5.21.big formula로 해보니 independent하군3.cofactors of row1C11 = 0, C12=0, C13=0rank of A = 26term :ex.)big formula로는 풀기 힘들다 4!= 24가지의 수를 어떻게…그래서 pivot formula와 cofactorrow 1,4를 exchange -1(5*2*4.4*-0.45)=20det(A)=20challenge problems33.-1C14+4C24-10C34+20C44=1-1C14+4C24-10C34+19C44=1-C44C44=따라서 0가 된다.CH5. Determinants5.3 Cramer’s Rule, Inverse, and Volumes

공학/기술| 2016.02.11| 14페이지| 1,000원| 조회(225)

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[ Linear Algebra / 선형대수 ] Gilbert Strang 4th E. CH 4.1 Orthogonality of the Four Subspaces에 대한 시험대비 완벽정리

-Vector space and SubspaceVector space: vector addition & scalar multiplication에 닫혀있는 vector의 집합Subspace: 해당 space에 내부의 vector들의 vector addition과 scalar multiplication에 대해 닫혀있는 space-Rank (r)Matrix의 pivot 개수Matrix를 row reduced echelon form 으로 바꾸어 구함Matrix의 dimension을 알 수 있음Four possibilities for linear equation<중 략>Combining bases from subspaces--BasisAny n independent vectors in Rn must span RnAny n vectors that span Rn must be independent

공학/기술| 2016.01.28| 4페이지| 1,000원| 조회(169)

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