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기계공학전공 4대역학 기구동역학 평행축정리 실험

1. 실험목적2. 기본 이론3. 실험4. 실험 결과(1) 평행축 정리를 유도하라.평행축 정리(平行軸定理, parallel-axis theorem)란 서로 평행한 두 회전축에 대한 관성 모멘트들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트를 구할 수 있다.위의 정의로 다음과 같은 식을 적을 수 있다.I _{p i vot} =`I _{cm} +`mL ^{2}무게중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트 :I _{cm}위의 축에서 거리 'L'만큼 평행 이동된 축에 대한 새로운 관성모멘트 :I _{p i vot}강체의 질량 : m이를 증명해본다. 우선 두 회전축은 모두 Z축에 평행한다고 가정하면 (Z성분을 무시)I _{cm}은 다음과 같이 나타낼 수 있다.I _{cm} `= sum _{} ^{} m _{i} `(x _{i} ^{2} +`y _{i} ^{2} )질량 중심을 직교좌표계의 중심(0,0)으로 놓고 x-y 이차평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를 (a, b)라 놓으면 피타고라스의 정리에 의해 중심에서 좌표까지의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.L ^{2} `=`a ^{2} +b ^{2}이때,I _{p i vot}은 다음과 같다.I _{p i vot} `= sum _{} ^{} m _{i} ` LEFT { (x _{i} -a) ^{2} `+`(y _{i} -b) ^{2} RIGHT }3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량 항과 합에서 이를 고려해야 한다. 계속해서I _{p i vot}을 전개하면 다음과 같다.I _{p i vot} `= sum _{} ^{} m _{i} `(x _{i} ^{2} +`y _{i} ^{2} )`-2a sum _{} ^{} m _{i} x _{i} `-2b sum _{} ^{} m _{i} y _{i} +(a ^{2} +b ^{2} ) sum _{} ^{} m _{i}이 식의10 ^{-4}(kg`m ^{2})1.19 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})7.52 TIMES 10 ^{-5}(kg`m ^{2})I _{cg} +ML ^{2} (kg`m ^{2})2.287 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})1.837 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})1.399 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})alpha _{p i vot}, Average of angular acceleration(rad/s ^{2})`5.043`rad/s ^{2}`6.36`rad/s ^{2}`7.94`rad/s ^{2}tau _{p i vot}, Torque,r m (g-r alpha _{p i vot} ) (Nm)1.3872 TIMES 10 ^{-3} `N`m#````1.3845 TIMES 10 ^{-3} `N`m#````1.3813 TIMES 10 ^{-3} `N`m#````I _{p i vot}, Moment of inertia, pivot point (kg`m ^{2})2.75 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})2.17 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})1.74 TIMES 10 ^{-4}(kg`m ^{2})Percent differenceI _{p i vot} andI _{cg} +ML ^{2}16.8%15.34%19.54%Table1. 평행축 정리 실험 결과 (Pivot 1,2,3)가. 강체의alpha _{cg} (Average of angular acceleration) (rad/s ^{2}) 구하기Figure 1. 무게중심의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(1) (추세선의 기울기인 20.637은 각가속도alpha _{cg} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 2. 무게중심의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(2) (추세선의 기울기인 21.122은 각가속도alpha _{cg} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 3. 무게중심의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그 (추세선의 기울기인 5.0247은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 6. Pivot 1의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(3) (추세선의 기울기인 5.0451은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)강체의alpha _{p i vot} (Average) (rad/s ^{2})은 위의 Pivot 1의 3개의 각 가속도를 산술평균 한 값이다. (3번 실험하여 3개의 데이터를 이용하여 각 가속도를 구하는 과정)alpha _{p i vot} (Average) (rad/s ^{2}) ={5.0451+5.0603+5.0247} over {3} `=`5.043`rad/s ^{2}2) Pivot 2Figure 7. Pivot 2의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(1) (추세선의 기울기인 6.0547은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 8. Pivot 2의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(2) (추세선의 기울기인 6.5397은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 9. Pivot 2의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(3) (추세선의 기울기인 6.4962은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)alpha _{p i vot} (Average) (rad/s ^{2}) ={6.0547+6.5397+6.4962} over {3} `=`6.36`rad/s ^{2}3) Pivot 3Figure 10. Pivot 3의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(1) (추세선의 기울기인 8.1293은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)Figure 11. Pivot 3의 시간(s) vs 각속도(rad/s) 그래프(2) (추세선의 기울기인 7.7068은 각가속도alpha _{p i vot} (rad/s ^{2})를 의미)FigI _{p i vot}} RIGHT | TIMES 1001) Pivot 1LEFT | {(2.287 TIMES 10 ^{-4} )`-`(2.75 TIMES 10 ^{-4} )} over {(2.75 TIMES 10 ^{-4} )} RIGHT | TIMES 100`=`16.8%2) Pivot 2LEFT | {(1.837 TIMES 10 ^{-4} )`-`(2.17 TIMES 10 ^{-4} )} over {(2.17 TIMES 10 ^{-4} )} RIGHT | TIMES 100`=`15.34%3) Pivot 3LEFT | {(1.399 TIMES 10 ^{-4} )`-`(1.74 TIMES 10 ^{-4} )} over {(1.74 TIMES 10 ^{-4} )} RIGHT | TIMES 100`=`19.54%가. 실험 결과가 평행축 정리에 잘 부합하는가? 아니라면 이유가 무엇인가무게중심에 대한 관성모멘트I_{ cg}값과ML ^{ 2}의 합을 평행축에 대한 관성모멘트I _{p ivot}값과 비교해봤는데 정확하게 일치하지는 않고, 대체로 15~20%의 오차가 나왔다. 이러한 오차를 감안한다면 평행축 정리가 대략적으로 부합함을 이해할 수 있다.하지만 우리는 15~20%의 오차로 인해 실험결과가 평행축 정리에 정확하게 부합하지 않음을 엿볼 수 있는데, 그 이유는 바로 여러 가지 오차 요인 때문일 것이다. 그래서 우리는 실험 결과가 평행축 정리에 더욱 정확히 부합하게 하기위해서 오차 분석을 해야 할 것이다.구체적으로 오차가 발생한 이유, 오차를 줄이는 방안에 대해서 뒤의 ‘5. 오차 분석’에서 자세하게 다루어 보면서 어떻게 하면 더 정확하게 실험을 할 수 있는지 탐구해본다.나. 가운데 구멍이 무게중심인 것을 어떻게 알 수 있는가강체의 무게중심은 질량중심으로도 쓰이며 물체 전체의 질량의 중심점으로, 전체 질량이 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다. 이 말을 풀어서 설명하자면, 정확한 강체의 무게중심의 위치에 손가락을 대면 강체는 쓰러지지 않고 평형을 유지한다는도 발생하지 않아야 하는 이상적인 상황이 갖춰줘야 한다.)사실, 우리가 사용한 강체는, 한 평면 내에 세 가지 pivot이 존재하므로, 2가지의 평행축 정리가 만족해도 가운데 구멍이 무게중심임을 이해할 수 있다. 하지만 이는 3차원의 일반적인 강체에 대해서도 생각해본 결과이다.5. 오차 분석가. 오차 요인1) 에너지 손실3가지의 Pivot에 대한 각 속도를 측정할 때와 무게중심에 대한 각 속도를 측정할 때의 실험 장비가 흔들리는 정도는 시각적으로 확연하게 달랐다.무게중심을 회전 중심으로 설치한 뒤 회전체가 돌아갈 때는, 안정적으로 돌아가서 실험 장비가 거의 흔들리지 않았다. (무게중심을 회전의 중심으로 잡고 회전을 시키면 평형을 유지하고, 무게중심이 하나의 축이 되어서 안정적인 원운동을 하기 때문이다.) 그와 반대로 3가지의 Pivot을 회전 중심으로 설치한 뒤 회전체가 돌아갈 때는, 불안정한 운동을 보이며 실험 장비가 흔들리게 했다.실험 장비가 흔들리게 되면 추가 직선으로 자유 낙하 하는 것이 아니라 좌우의 주기운동을 나타낸다. 이 때 낙하에너지가 진동에너지로 일부 에너지가 전환되어 사용되어지므로, 회전체의 회전에너지가 이상적인 환경의 경우보다 줄어들게 된다. 즉 회전에너지의 에너지 손실이 발생하게 된다. 이로 인해, 이상적인 상황(추가 일 직선으로만 자유낙하 하는 상황)보다 각 속도의 변화량이 작아지게 되고 각 가속도가 작게 측정된다. 그로 인해서, 아래의 식에서 각 가속도가 작아지므로 관성모멘트는 크게 측정되는 것이다.I`=` {sum _{} ^{} tau } over {alpha }I`:`회전체의`관성`모멘트#alpha `:`실험으로``측정된`각`가속도#tau ``:`회전체의`토크`실제로,I _{p i vot} =`I _{cm} +`mL ^{2}(평행축 정리) 식에서, 세 가지 pivot 전부다 ‘`I _{cm} +`mL ^{2}’ 값이 ‘I _{p ivot}’ 보다 작았다. 즉 위에서 언급한대로, pivot에 관한 회전은 무게중심보다 장비를 더 흔들리이다.

공학/기술| 2018.03.20| 19페이지| 3,500원| 조회(292)

평행축, 4대역학, 기구동역학, 기계공학전공

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기계공학전공 4대역학 기구동역학 자이로스코프 실험

1. 실험목적2. 기본 이론Figure 1. 수평 자이로스코프에 가해지는 토크Figure 2. 회전원판과 자유물체도3. 장비 설치Figure 3. 자이로스코프 기본조립도Figure 4. 자이로스코프 수평 맞추기Figure 5. 회전원판 도르래Figure 6. 추가 원판 조립4. 실험 절차Figure 7. 세차운동 셋업Figure 8. 자이로스코프를 놓는 위치(Release Position)Figure 9. 끄덕임 운동(Nutation)의 패턴5. 실험 결과1) 관성 모멘트 및 세차 운동Table 1. 관성모멘트 데이터매달린 질량0.035kg낙하 높이0.765m도르래의 반지름0.02925m낙하시간1회7.87s2회7.73s3회8.07s평균7.89s(1) 표 1의 “평균 낙하 시간”및 “낙하 거리”를 이용하여, 가속도 a를 계산하여 표 3에 기록한다.a`=` {2y} over {t ^{2}} `= {2(0.765m)} over {(7.89s) ^{2}} `=`0.02458`m/s ^{2}y : 낙하 거리t : 평균 낙하 시간(2) 관성모멘트 I를 계산한다.가. 원판이 회전할 때 실에 작용하는 장력(F)을 구한다.F`=`m(g-a)`=`(0.035kg)(9.80665m/s ^{2} -0.02458m/s ^{2} )`=`0.342`Ng(중력가속도)는 지오이드를 기준으로 한 표준 중력가속도 값인 9.80665m/s ^{ 2}을 사용하려고 한다. m은 Hanging mass(추와 추 걸이 모두를 고려한 질량)를 사용한다. a는 Hanging mass의 선 가속도(a)이다.나. 각가속도와 토크를 구한 다음, 관성모멘트 실험값을 계산하여 표 3에 기록한다.tau `=`rF`=`(0.02925m)(0.342N)`=`0.01`N`malpha `=` {a} over {r} `=` {0.02458`m/s ^{2}} over {0.02925m} `=0.84rad/s ^{2} `I`=` {tau } over {alpha } `=` {0.01N`m} over {0.84rad/s ^{2}}e 2. 각속력 데이터추가 질량0.149kg거리 (d)0.212m10회전에 걸린 시간(처음)2.61s세차운동 2회전에 걸린 시간9.9s(4) 표 2에 있는 세차운동 2회전 하는데 걸린 시간을 2로 나누어 세차운동 각속력OMEGA = {2 pi } over {T} 을 계산하여 표 3에 기록한다.Figure 10. 자이로스코프 세차운동에 대한 그래프 [x 축 : Time (s), y 축 : Precession angle (rad)](Precession angle : 0 (rad)일 때 Time : 2s, Precession angle : 4pi (rad) 일 때, Time : 11.9s.세차운동이 (4pi rad) = (2회전)하는데 걸리는 시간은 (11.9 -2) = 9.9 초임을 알 수 있다.세차운동`주기(T)`=` {2회전에`걸린`시간} over {2} `=` {(11.9-2)s} over {2} `=4.95s세차운동``각속력`( OMEGA )`실험값`=` {2 pi } over {T} `=` {2 pi (rad)} over {4.95`(s)} `=1.26`rad/s`(5) 세차운동 각속력에 대한 이론값을 계산하여 표 3에 기록한다.세차운동``각속력`( OMEGA )`이론값`=` {mgd} over {Iw} `=` {(0.149kg)(9.80665m/s ^{2} )(0.212m)} over {(0.0119kg`m ^{2} )(24.074rad/s)} `=1.08`rad/sm : 추가 질량g : 중력가속도d : 질량 m인 추가 회전축으로부터 떨어져 있는 거리I : 원판의 회전 관성w : 원판의 각속력(6) 세차운동 각속력의 이론값과 실험값 사이의 퍼센트 오차를 계산한다.퍼센트`오차`=` LEFT | {Experimental`-`Theoretical} over {Theoretical} RIGHT | TIMES 100`=` {(1.26`-`1.08)`} over {(1.08)} ` TIMES 100`=`16.6`%#``````````````````````````` 방향을 변화시키려고 하는 현상이다.이러한 원리를 이용한 것이 자이로스코프이고 우리는 그러한 세차현상을 확인할 수 있었다. 또한, 회전운동센서를 통해 Precession angle과 각 angle의 시간을 그래프 화할 수 있었고 이를 통해서, Precession rate(세차율 또는 세차운동 각속력) 실험값을 구할 수 있었다. 이는 다음과 같이 세차운동 각속력 이론값과 비교할 수 있었다. 세차운동 각속력 이론값은 다음과 같다.OMEGA (세차운동``각속력``이론값)`=` {d PHI (각의`미소변화량)} over {dt(미소`시간)}#이 때, 위의 ‘Figure 1’을 보면 다음과 같은 식이 존재함을 알 수 있다.tau `=`mgd`=` {dL} over {dt} `=`L {d PHI } over {dt}#tau `````:`원판의`도르래`주위에`실로`감겨져`매달려`있는`추에`의한`토크#m`:`매달려`있는`물체의`질량#L```:`원판의`각운동량#PHI ```:`각의`미소`변화량#g````:`중력가속도#d```:`추가`회전축으로부터`떨어진`거리`결론적으로, 위의 식을 조합해보면 세차운동 각속력 이론값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.OMEGA (세차운동``각속력``이론값)`=` {mgd} over {Iw}#m:추가질량#g:중력가속도#d:질량m인추가회전축으로부터떨어져있는거리#I:원판의회전관성#w:원판의각속도이 식을 통해 구한 세차율(이론값)과 실험데이터를 통해 구한 세차율(실험값)을 마지막에 비교해봤다. 오차는 16.6%의 20%의 이내였다. 뒤에서 다룰 여러 가지 오차요인을 보완한 이상적인 상황이라면 각속력의 이론값과 실험값이 같아야 함을 이해할 수 있다. 또한 이를 바탕으로 세차율을 구하는 실험, 이론적인 방법과 더불어 그 현상을 관찰하고 이해할 수 있었다.2) 장동(Nutation, 끄덕임 운동)(1) 초기 위치 및 초기 속도에 따라 아래와 같이 세 가지 패턴의 데이터를 얻을 수 있다.각각의 경우를 정성적으로 설명할 수 있는가?왜 이렇게 세 가지 패턴의 데이터 토크가 더해서 Precession과 Nutation이 동시에 진행되고 유형 1, 2, 3과 같은 궤적이 완성되는 것이다. (세차운동(Precession)은 회전체의 회전축이 움직이지 않는 어떤 축의 둘레를 도는 현상으로 약한 외력의 모멘트가 수직으로 작용하여 생기게 된다. 장동운동(Nutation)은 회전축이 일정 축의 방향으로 움직이는 것을 의미한다.)이 때, 사람의 토크에 의한 힘과 중력의 의한 힘의 벡터 합은 시간에 따라 계속해서 변하며 3가지 다른 경우를 관찰할 수 있었다. 세 가지 경우 공통적으로는, 시간이 지날수록 중력에 의해 y축의 값이 점점 감소하고 또한 마찰에 의해서 에너지를 잃고 점점 진폭이 감소하는 것을 볼 수 있었다. 차이점으로는 사람의 외력에 의한 토크의 영향으로 precession 각속력, 즉OMEGA가 다르다는 것을 알 수 있었고, 이는 ‘Precession되는 방향으로 돌아가는 초속도’ 의 존재유무와 방향이 각각의 세 가지 장동운동을 만들게 되는 것이라고 생각했다. 다음 세 가지를 살펴보자.Figure 11. 자이로스코프 장동 운동에 대한 그래프 유형 1. (원판이 회전할 때 사람의 외력이 작용하지 않음) [x 축 : Precession Angle (rad), y 축 : Nutation Angle (rad)]Figure 11의 경우는 사람의 외력에 의한 토크가 작용하지 않았다. 이 경우는 축을 움직이지 않고 원판만 회전시켰을 때의 예이다. 일반적인 세차운동에서는 이러한 모습을 얻을 수 있다. 즉 원판만 회전시키고 가만히 두었을 때 이러한 모습이 생긴다.다시 말해서, 만약 precession되는 방향으로 돌아가는 초속도가 0인 상태에서, 자이로스코프의 평형상태를 깨뜨렸다면 유형1의 궤적을 보인다.Figure 12. 자이로스코프 장동 운동에 대한 그래프 유형 2. (원판이 회전할 때 사람의 외력이 ‘세차운동 방향’으로 작용 함) [x 축 : Precession Angle (rad), y 축 : Nutation Angle (rad)]F경우다. 이 모습은 세차운동과 다른 방향으로 힘을 주었을 때 얻어지며, 위의 경우들과는 다르게 그래프가 Backward하는 모습을 보이며 주기적인 고리형태를 띰을 알 수 있다.다시 말해서, Precession되는 방향과 반대 방향으로 돌아가는 초속도가 있는 상태에서 평형상태를 깨뜨렸다면 유형3의 궤적을 보인다.(2) 수식을 사용하여 각각의 경우를 설명할 수 있는가? (유효 퍼텐셜 함수와 관련)위의 수식은 세차와 장동운동을 설명해주는 유효퍼텐셜 함수식이다. 각theta 는 자이로스코프에서 두 번째 오일러 각으로 Nutation angle이라고 한다. 위의 수식에서P _{PHI } 는 단위 Precession rate(dot{PHI })에 대한 (자이로스코프의 각 운동량)의 변화율을 의미하고P _{psi }는 단위 Axial rotation rate에 대한 (자이로스코프의 각 운동량)의 변화율을 의미한다.우리는 세 가지 다른 장동운동의 모습을 볼 수 있었는데, 위의 퍼텐셜 함수의P _{PHI }와P _{psi }의 상대적인 차이가 다른 운동을 보여준다. 그렇다면 어떠한 상황일 때 각각의 상황이 적용되는지 알아보자.Figure 14. 장동운동의 패턴위의 그림에서,theta _{1} ,` theta _{2} 사이에서만 장동운동이 관찰됨을 알 수 있는데 이는 장동운동이 위와 아래의 Boundary condition을 만족하는 구간에만 일어남을 알 수 있다.유효 퍼텐셜 함수에서 각theta _{1} ,` theta _{2}을 넣었을 때, 유효 퍼텐셜 함수의 값이 어느 특정한 값을 가리키면 (U _{eff} ( theta _{1} )`=`U _{eff} ( theta _{2} )`=`E) 각theta _{1} ,` theta _{2}사이에서 Boundary condition을 만족하면서 그 사이에서만 장동운동을 하는 것을 알 수 있는데, 이 때P _{PHI }와P _{psi }의 상대적인 차이가 시각적인 장동운동의 차이를 보여준다.Figure 11(Released from

공학/기술| 2018.03.20| 26페이지| 3,500원| 조회(226)

자이로스코프, 4대역학, 기구동역학, 기계공학전공

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기계공학전공 4대역학 기구동역학 바퀴자이로스코프 실험

1. 실험목적2. 기본 이론3. 실험4. 실험 결과1) 바퀴에 가해지는 토크와 각운동량의 방향을 고려하여 이 현상을 정성적으로 설명한다.휠이 회전하지 않는 상태에서 반대편 손잡이를 놓으면 바퀴가 그냥 아래로 처진다. 하지만 휠을 회전시킨 다음에 반대편 손잡이를 놓으면 바퀴가 아래로 처지지 않고 회전축이 로프와 수직(또는 일정한 각도)을 유지하면서 세차운동을 하는 것을 관찰했다.세차 운동을 하는 동안에, 바퀴는 회전축을 중심으로 축의 중심을 계속 돌고 회전축은 일정한 경사를 유지하며 고리 주위를 회전한다. 이러한 세차 운동이 일어나는 이유는 바퀴를 회전시키는 각운동량이 외력의 모멘트에 의해서 회전축에 수직인 방향으로 회전력을 만들기 때문이다. 이 때, 바퀴의 각운동량이 존재하지 않는다면 회전축은 수직인 방향으로 회전력을 만들 수 없고, 바퀴의 각 운동량이 존재하고, 외력의 모멘트가 회전축에 수직으로 작용하면 회전축이 일정한 각속도로 세차운동을 하게 되는 것이다. 이러한 세차운동은 자이로스코프, 자전거 바퀴자이로스코프뿐만 아니라 우리가 흔히 알고 있는 팽이에서도 볼 수 있다.또한, 다음과 같은 세차율 공식을 써서 세차운동 각속력(Precession rate)을 직접 구해볼 수 있었다.OMEGA `=` {mgd} over {Iw}m : 강체의 질량g : 중력 가속도d: 회전의 지지점으로부터 강체의 질량중심까지의 거리I : 강체의 관성 모멘트w : 자전 각 속력OMEGA : 세차운동의 각 속력그러면 이제 바퀴에 가해지는 토크와 각운동량의 방향을 고려하며 더 자세하게 세차운동 현상에 대해서 자세히 알아보자.Figure 2. 휠이 회전할 때 세차 운동하는 모습Figure 2를 보면 String에서 회전중심까지의vec{r}(거리 벡터)와 아래로 작용하는vec{F}(중력 벡터)를 볼 수 있다. 이 둘을 이와 같이 외적을 하게 되면토크(N`m)`=` vec{r} ` TIMES ` vec{F} `` 토크의 방향을 알 수 있다. 토크의 방향은 종이를 뚫고 나오는 방향이다.그런 다음에, 바퀴를 위의 그림과 같이 회전시켰을 때 각 운동량 (vec{L})의 방향도 알 수 있다. 오른손을 이용해서, 바퀴가 회전하는 방향을 엄지손가락을 제외한 나머지손가락으로 감았을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 각 운동량 (vec{L})의 방향이다.그렇다면 이제 우리는 각운동량의 방향과 토크의 방향을 구해봤다. 이 때, 토크는tau `=` {dL} over {dt} 단위시간에 각 운동량의 변화로 이해할 수 있다. 그렇다면 토크는 각 운동량의 변화를 일으킬 것이고, 각 운동량은 토크의 영향을 받아 회전축이 움직이게 될 것이다. Figure 2에서 토크의 방향은 종이를 뚫고 나오는 방향이므로 각운동량의 방향에 수직이고, 회전축에 수직이다. 그래서 각운동량을 가지는 바퀴의 회전축은 수직의 힘인 토크의 영향을 받아 움직이게 된다. 토크는 계속적으로 회전축에 영향을 주므로, 회전축은 String에 수직(또는 일정한 각)을 유지하며 반시계방향의 원운동을 하는 세차운동을 할 것이다.결론적으로 각 운동량을 가지는 바퀴의 회전축이, 중력에 의한 힘으로 발생된 토크의 영향을 받아 그 회전축이 String과 일정한 각도를 유지하며 원운동의 세차운동을 할 수 있는 것이다.하지만, 바퀴의 각 운동량이 없다면 외부의 힘(중력)이 존재하더라도 회전축이 회전축에 수직인 방향으로 원운동하게 할 수 없다. 즉, 각 운동량이 없으면 토크의 영향으로 회전축이 돌아가게 할 수 없다는 것이다. 위의 Figure 2를 보면 그 원리를 이해할 수 있다. 그래서 회전하지 않는(각 운동량이 없는) 바퀴는 중력의 힘을 받아 아래로 쳐지게 되는 것이다.우리는 바퀴에 가해지는 토크와 각운동량의 방향을 고려하며 바퀴가 각 운동량이 없을 때 왜 아래로 쳐지는지 또, 각 운동량이 있을 때는 회전축이 세차운동을 왜 하는지에 대해서 분석해봤다. 이를 통해서 세차운동을 하는 다른 물체의 팽이운동 또한 이와 유사함을 이해할 수 있었다. 팽이는 자체적으로 회전하기에 각 운동량을 지니고 있고 또한 중력이라는 힘에 의한 토크가 발생할 것이다. 그래서 각운동량을 가지고, 아래로 작용하는 같은 힘의 근원(중력)이기 때문에 자전거 바퀴 자이로스코프와 유사한 형태로 세차운동이 일어날 것이다.

공학/기술| 2018.03.20| 5페이지| 2,000원| 조회(209)

바퀴, 4대역학, 기구동역학, 기계공학전공

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기계공학전공 4대역학 기구동역학 관성모멘트 실험

1. 실험목적디스크와 링 모양 등의 강체에 대한 관성모멘트를 측정하여 관성 모멘트 개념을 이해.2. 기본 이론(1) 관성모멘트Figure 1. 링(a), 디스크(b), 막대(c)의 관성모멘트가. 링의 관성모멘트질량이M이고 내부반지름이R_{ 1}, 외부반지름이R _{2}인 링의 관성모멘트:I`=` {1} over {2} M(R _{1} ^{2} +R _{2} ^{2} ) ^{}나. 디스크의 관성모멘트질량이M이고, 반지름이R인 디스크의 관성모멘트:I`=` {1} over {2} MR ^{2}다. 막대의 관성 모멘트질량이M이고 길이가 L인 막대기의 중앙을 관통하는 회전축에 대한 관성모멘트:I`=` {1} over {12} ML ^{2}(2) 관성모멘트의 실험값 측정 방법 : Appendix, 첨부 자료 참고*관성모멘트 실험값 측정에 쓰이는 방정식가. 질량체에 관한 운동방정식:sum _{} ^{} F`=`mg`-`F`=`ma나. 디스크를 포함한 회전체에 관한 운동방정식:sum _{} ^{} tau `=`rF`=`I alpha 다. 실이 미끄러지지 않는다면 질량체의 가속도(a)와 회전체의각가속도(α) 사이 관계식:a=`r alpha 라. 위의 식들을 조합한 회전체의 관성 모멘트:I`=` {r m (g-r alpha ) it} over {alpha } ---------------------- 식 (1)* r: 회전 운동센서 도르래의 반지름* m: 낙하하는 질량체의 질량* g: 중력가속도* α: 실험으로 측정해야 하는 각가속도3. 실험(1) 이론값 계산하기 : 참고 자료(2) 실험값 측정하기 : 참고 자료4. 실험 결과(1) Figure 1의 디스크, 링, 막대의 관성모멘트를 유도한다.Figure 1의 세 가지 관성모멘트를 유도하려고 한다. 이를 유도하기 전, 우리는 관성모멘트란 무엇인지부터 알아야 할 것이다.관성모멘트란 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량으로서, 직선 운동에서의 질량에 대응되는 양을 의미한다. 기호는 통상적으로 라틴 대문자I이며, `2 pi rho {1} over {4} R ^{4} `=` {1} over {2} pi rho R ^{2} R ^{2} `=` {1} over {2} MR ^{2} --------------------------------- 식 (6)즉, 질량이M이고, 반지름이R인 디스크의 관성모멘트는I`=` {1} over {2} MR ^{2} 이다.나. 링의 관성모멘트질량이M이고 내부반지름이R_{ 1}, 외부반지름이R _{2}인 링의 관성모멘트에 대해서 생각해보자.Figure 3. 링의 관성 모멘트관성모멘트를 유도하는 원리와 방법은 ‘위의 디스크의 관성모멘트 유도방식’과 유사하다.링은 중앙 부분에 비어있기 때문에, 전체질량을 R1과 R2의 식으로 표현하는데 이는 다음과 같다. 위에서 중복되게 사용되는 문자는 동일하기에 설명을 생략한다.M`=` pi rho (R _{2} ^{2} -R _{1} ^{2} ) (R2 : 외부 반지름, R1 : 내부 반지름) ------------------------------식 (7)식 (7)의 양변을 미분하여 미소변위에 대한 식을 나타내면 다음과 같다.dm`=` pi rho (2r _{2} dr _{2} -2r _{1} dr _{1} )=2 pi rho (r _{2} dr _{2} -r _{1} dr _{1} )`` --------------------------------------식 (8)미소 질량에 대한 식 (8)을 식 (2)에 대입하면 다음과 같다.I`=` int _{} ^{} {r ^{2} dm`=2`} pi rho int _{} ^{} {r ^{2} (r _{2} dr _{2}} -r _{1} dr _{1} ) _{}#````=2 pi rho ( int _{0} ^{R _{2}} {r _{2} ^{``3} dr _{2}} -` int _{0} ^{R _{1}} {r _{1} ^{``3} dr _{1} )} `#````=2 pi rho ( {1} over {4} R _{2} ^{4} `-` {1} over {4} `R _{1} ^부분의 관성모멘트가 구해진다. 하지만 우리가 구하려는 값은 막대 중심축을 중심으로 회전하는 관성모멘트임으로 2를 곱하여 양 쪽 전부다의 회전하는 막대의 관성모멘트를 구해야 한다. 관련된 식은 다음과 같다.I`=`2 int _{0} ^{{L} over {2}} {r ^{2} dm`=`} 2 rho int _{0} ^{{L} over {2}} {r ^{2} dr} `=` {1} over {12} rho L ^{3} ---------------------------------------- 식 (13)식(13)과 식 (11)을 정리하면 다음과 같다.{1} over {12} rho L ^{3} `=` {1} over {12} ML ^{2}즉, 질량이M이고 길이가 L인 막대기의 중앙을 관통하는 회전축에 대한 관성모멘트는I`=` {1} over {12} ML ^{2} 이다.이렇게 구한 세 가지 형태의 관성모멘트를 유도해봤다. 그렇다면 우리가 실험에 사용한 디스크, 링 각각의 이론적인 관성모멘트를 계산해보자.라. 디스크의 관성모멘트 이론값.질량이M이고, 반지름이R인 디스크의 관성모멘트는I`=` {1} over {2} MR ^{2} 임을 유도해봤다.실험에서 측정한 디스크의 질량은 119.4g 이고 지름은 95mm로 측정했다. 반지름은 지름의 절반이므로, 디스크의 관성모멘트를 구하면 다음과 같다. 이 때 단위는 질량의 경우 kg, 길이의 경우 m로 통일시켜서 계산한다.I`=` {1} over {2} ( {119.4} over {1000} kg)( {95} over {2} TIMES {1} over {1000} m) ^{2} =1.347 TIMES `10 ^{-4} kg`m ^{2} `마. 링의 관성모멘트 이론값.질량이M이고 내부반지름이R_{ 1}, 외부반지름이R _{2}인 링의 관성모멘트는I`=` {1} over {2} M(R _{1} +R _{2} ) ^{ 2}임을 유도해봤다.실험에서 측정한 링의 질량은 466.3g이고 링의 외부지름은 76.5mm, 내부지름은 53mm로 측정g(0.005kg)이므로 총 15g(0.015kg)이다. g(중력가속도)는 지오이드를 기준으로 한 표준 중력가속도 값인 9.80665m/s ^{ 2}을 사용하려고 한다.남은 미지수 ‘α’ (각 가속도)는 실험으로 측정한 각 속도를 미분하여 그 값을 구해야 한다.Figure 6. 시간에 따른 각 속도에 대한 그래프. (링+디스크+회전운동센서)(x축 : Time (s), y축 : Angular Velocity (rad/s), 선형 추세선 : y = 3.00613x - 1.7537, 기울기 : 각 가속도 (rad/s ^{ 2}) 를 의미)위의 그래프는 시간에 따른 각 속도의 변화를 나타낸다. 선형 추세선을 나타내서 시간이 지나감에 따라 평균적인 각 속도의 변화량, 즉 각 가속도를 구할 수 있었다. 선형 추세선의 기울기는 3.00613이므로, 각 가속도의 값은 3.00613rad/s ^{ 2} 이 된다.그래서 링+디스크+회전운동센서의 관성모멘트 실험값은 다음과 같다.I`=` {(0.01425m)(0.015kg)(9.80665-(0.01425m)(3.00613rad/s ^{2} )) it `} over {3.00613rad/s ^{2}} `=6.9425` TIMES 10 ^{-4} `kg`m ^{2} ``나. 디스크+회전운동센서의 관성모멘트 계산Figure 7. 시간에 따른 각 속도에 대한 그래프. (디스크+회전운동센서)(x축 : Time (s), y축 : Angular Velocity (rad/s), 선형 추세선 : y = 13.884x - 13.48, 기울기 : 각 가속도(rad/s ^{ 2})를 의미)위의 그래프는 시간에 따른 각 속도의 변화를 나타낸다. 선형 추세선을 나타내서 시간이 지나감에 따라 평균적인 각 속도의 변화량, 즉 각 가속도를 구할 수 있었다. 선형 추세선의 기울기는 13.884이므로, 각 가속도의 값은 13.884rad/s ^{ 2} 이 된다.그래서 디스크+회전운동센서의 관성모멘트 실험값은 다음과 같다.I`=` {(0.01425m)(0.015kg과 실험값 비교백분율`오차`=` LEFT | {5.4632 TIMES 10 ^{-4} `-`5.0484 TIMES 10 ^{-4}} over {5.0484 TIMES 10 ^{-4}} RIGHT | TIMES 100`=`8.216`%*디스크의 이론값과 실험값 비교백분율`오차`=` LEFT | {1.4793 TIMES 10 ^{-4} `-`1.347 TIMES 10 ^{-4}} over {1.347 TIMES 10 ^{-4}} RIGHT | TIMES 100`=`9.82`%5. Appendix - 오차 분석가. 오차 원인링과 디스크의 이론값과 실험값의 오차가 10%보다 작게 나왔다. 그렇다면 과연 이러한 오차는 왜 발생하는 것일까? 그 원인에 대하여 탐구해보자.(1) 질량체가 낙하할때의 흔들림추와 추걸이(질량체)가 낙하할 때 일직선으로 낙하하는 것이 아니라 사방으로 진동하면서 낙하했다. 이론적으로, 질량체가 진동을 하지 않고, 일직선으로만 낙하해야지만 낙하하는 에너지가 100%로 회전체의 회전에너지로 전환되어서 회전체의 각 속도를 증가시키는 요인이 된다.그러나 실제로 실험을 하면서 질량체가 사방으로 진동을 하면서 떨어졌고, 이는 낙하 에너지가 일부 진동에너지로 전환되어서 이론적인 값보다 더 작은 양의 에너지가 회전에너지로 전환되었을 것이다. 그래서 각 속도가 이론적인 요소보다 더 적게 증가되었고 이는 다시 말해서 각 가속도가 이론값보다 더 작아지게 되는 결과를 야기 시킨다.그 결과I`=` {sum _{} ^{} tau } over {alpha }, 관성모멘트 식에서 분모에 있던 각 가속도가 감소하므로, 관성모멘트 실험값은 이론값보다 더 크게 측정된다. 실제로 디스크와 링 모두 관성모멘트 실험값이 이론값보다 큼을 알 수 있고, 이로 인해서 10%내의 오차가 발생했을 것이다.I`:`회전체의`관성`모멘트#alpha `:`실험으로``측정된`각`가속도#tau ``:`회전체의`토크`(2) 공기의 저항력 무시추가 낙하하면서 받게 되는 공기의 저항력을 무시했다. 이상적인 진공

공학/기술| 2018.03.20| 16페이지| 3,500원| 조회(279)

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