관성모멘트 실험02. 실험 목적 : 관성모멘트와 토크에 대하여 이해하고, 모양과 질량이 다른 물체들의 회전운동을 통하여 물체의 관성모멘트를 측정한다.03. 결과 분석에 필요한 간략한 이론정지해 있는 물체가 계속해서 정지하려 하고, 운동하는 물체는 운동을 계속하려는 것처럼, 어떤 축 주위를 회전하는 물체는 외력이 없다면 회전축 주위를 계속해서 회전하려고 한다.(여기서 외력은 토크) 이처럼 회전상태에 있는 물체의 운동을 변화시키는데 저항하는 회전 물체의 성질을 회전관성 또는 관성모멘트라고 한다. 축에서 거리가r_{ n}만큼 떨어진 질점m_{ n}들의 그룹으로 이루어진 강체의 관성모멘트,I는 다음과 같이 정의된다.I= sum _{ n} ^{ }m _{ n}r _{ n} ^{ 2}질점들의 그룹이 아닌, 질량이 연속적으로 분포해 있는 강체의 경우 위의 식은 다음과 같이 적분식으로 바뀐다.I= int _{ } ^{ } { r ^{ 2}dm } 위의 식들에서 알 수 있듯이 관성모멘트는 회전축에 대한 물체의 질량분포, 즉 물체의 생김새에 따라 달라진다. 일반적으로 질량이 축에서 멀리 떨어질수록 관성모멘트는 커진다.[그림 1]위의 3가지 모형의 관성모멘트를 한번 유도해 보자. 대부분의 회전 관성은I= int _{ } ^{ } { r ^{ 2}dm }을 통해 구하며 미소질량dm을 구하는 것이 관건이다. 첫 번째로 막대의 관성모멘트를 유도해보면 질량이 M, 길이가 L이라고 하자. 이때 단위 길이 당 질량, 즉 선밀도를mu _{m}이라 하면mu _{m} = {M} over {L} =일정이다. 중심에서x만큼 떨어져있고 길이가dx인 미소길이요소의 질량dm= mu _{m} dx이므로 미소길이요소의 회전관성은dI=x ^{2} dm= mu _{m} x ^{2} dx이 된다. 따라서 막대의 회전관성은I= int _{} ^{} {dI} = int _{- {L} over {2}} ^{````` {L} over {2}} {mu _{m} x ^{2} dx} =2 mu _{m} int _{0} ^{{ _{} ^{} {drd PHIdz rho( vec { r})r ^{ 2}= rhoh(2 pi) { R _{ 2} ^{ 4}-R _{ 1} ^{ 4} } over { 4}= { M} over { 2}(R _{ 4} ^{ 2}+R _{ 1} ^{ 2})가 나온다.(삼중적분의 이용)또한 관성모멘트를 유도하는 과정에서 중요하게 쓰이는 개념2가지가 있다. 바로 평행축 정리와 수직축정리이다. 먼저 평행축 정리에 대해 알아보자. 평행축 정리의 결론을 먼저 보인다면I=I _{ cm}+md ^{ 2}이다.(com은 질량 중심이다.) 이를 증명하면 두 회전축이 모두 z축에 평행이 있다고 생각한다. 그러면I_{ cm}= sum _{ i} ^{ }m _{ i}(x _{ i} ^{ 2}+y _{ i} ^{ 2} _{})로 나타 날수 있다. 질량 중심이 직교좌표계 중심에 있다고 생각하면 xy평면상에서 새로운 회전축 좌표(a,b)에 대해 피타고라스 정리에 의해d^{ 2}=a ^{ 2}+b ^{ 2}이다. 즉 관성모멘트는I= sum _{ i} ^{ }m _{ i} LEFT [ (x _{ i}-a) ^{ 2}+(y _{ i}-b) ^{ 2} RIGHT ]이다, 이를 전개해 보면I= sum _{ i} ^{ }m _{ i} LEFT [ x _{ i} ^{ 2} +y _{ i} ^{ 2} RIGHT ]-(2a+2b) sum _{ i} ^{ }m _{ i}x _{ i}+(a ^{ 2}+b ^{ 2}) sum _{i } ^{ }m _{ i}이 되고 이 식의 첫 번째 항은 질량중심의 관성모멘트를 뜻한다. 그리고 두 번째 항은 원점을 질량중심으로 잡았기 때문에 0이다. 마지막 항은 그냥 질량들의 합이므로d^{ 2}m이다. 따라서I=I _{ cm}+md ^{ 2}를 유도 할 수 있다.이제 수직축정리에 대해 알아보자 수직축정리의 결론부터 말하면,I_{ z}=I _{ x}+I _{ y}이다. 이를 한번 유도해보자. 회전축이 z축인 xy평면 위에 평면판이 있다고 생각하자. 이때 관성 모멘트는I_{z }= sm= sigma _{ m}(d rho )( rhod vartheta)= sigma _{ m} rho ^{ 3}d rhod vartheta 이므로 미소면적요소의 회전관성은dI= rho ^{ 3}dm= sigma _{ m} rho ^{ 3}d rhod vartheta가 된다. 이를 이용하여 원반의 관성모멘트를 구해보면I= int _{} ^{} {dI} = int _{0} ^{2 pi } {} int _{0} ^{R} {sigma _{m} rho ^{3} d rho d vartheta } = sigma _{m} int _{0} ^{R} {rho ^{3} d rho } int _{0} ^{2 pi } {d vartheta } = sigma _{m} LEFT [ vartheta RIGHT ] _{ 0} ^{ 2 pi } LEFT [ rho ^{ 4}/4 RIGHT ] _{ 0} ^{ R} 즉I= { 1} over {2 }MR ^{ 2}이 된다.이러한 회전운동에 영향을 주고 변화를 일으키는 힘의 요소를 토크라 한다. 토크는 다음과 같이 회전축에서 작용점까지의 거리 r와 작용점에 작용하는 힘 F의 외적으로 얻어진다.vec { tau }= vec { r} TIMES vec { F} 이러한 토크와 관성모멘트를 통하여 회전운동을 기술할 수 있게 된다.{vec{tau }} =I {vec{alpha }} 즉 관성모멘트I를 갖는 물체에 토크{vec{tau }}가 가해질 경우 그 물체는 각가속도{vec{alpha }}를 갖는 회전운동을 하는 것이다. 이는 직선운동의vec { F}=m vec { a}와 비교된다. 여기서 선운동과 회전운동의 요소들을 비교해보자 선운동의 m, a, v, F는 회전운동의I, alpha, omega, tau와 비교된다. 하지만 이들이 같다고 생각해선 안 된다는 것에 주의해야한다. 이번 실험에서는 행거에 질량을 매달아 낙하시킴으로써 발생하는 토크를 통하여 회전하는 물체의 관성모멘트를 얻게 된다.I= sum _{ n} ^{ }m _{ n}r _{ n} ^{ 2}을질량(M)0.1148kg스텝 도르래 반경(r)2.42 TIMES 10 ^{-2}m원반 반경(R)0.0456m가속도 (a)123평균1.82m/s ^{2}1.57m/s ^{2}1.84m/s ^{2}1.74m/s ^{2}관성모멘트 (I)실험값이론값0.000149kgm ^{2}0.000119kgm ^{2}오차25.2%- 원반의 관성 모멘트(실험값) = - 원반의 관성 모멘트(이론값) = - 오차율 = 2) 샘플 링에 대한 실험추+추걸이 질량(m)0.0552kg샘플 링 질량(M)0.4715kg스텝 도르래 반경(r)2.42 TIMES 10 ^{-2}m샘플 링 내경(R _{1})0.0274m샘플 링 내경(R _{2})0.0357m가속도(a)123평균0.449m/s ^{2}0.436m/s ^{2}0.447m/s ^{2}0.444m/s ^{2}관성모멘트(I)실험값이론값전체0.000681kgm ^{2}샘플 링0.000477kgm ^{2}샘플 링0.000502kgm ^{2}오차5.24%- 원반 + 샘플 링의 관성 모멘트(실험값) =0.0552 TIMES 0.0242 ^{2} TIMES ( {9.80} over {0.444} -1)=0.000681kgm ^{2}- 샘플 링의 관성 모멘트(실험값) =0.000681-0.000149=0.000502- 샘플 링의 관성 모멘트(이론값) ={1} over {2} TIMES 0.04715 TIMES (0.0274 ^{2} +0.0357 ^{2} )=0.000477kgm ^{2}- 오차율 =�� {0.000502-0.000477} over {0.000477} �� TIMES 100=5.24%3) 샘플 원반에 대한 실험추+추걸이 질량(m)0.0552kg샘플 링 질량(M)0.4597kg스텝 도르래 질량(r)2.42 TIMES 10 ^{-2}m샘플 링 내경(R)0.0371m가속도(a)123평균0.599m/s ^{2}0.605m/s ^{2}0.602m/s ^{2}0.602m/s ^{2}관성모멘트(I)실험값이론값전체0.000494kgm ^{2}샘플 원반 크고 샘플 원반과 원반을 측정하였을 때가 가장 오차율이 작게 나타났다. 관성모멘트 값을 비교해보면 샘플링에서 가장 큰 값을 가짐을 알 수 있다. 왜냐하면 내경의 제곱 합도 샘플 원반보다 조금 크고 질량이 크기 때문에 이러한 결과가 나왔다. 마찬가지로 원반의 관성모멘트 값이 가장 작게 나온 이유는 원반의 내경은 컸지만 질량이 샘플링과 샘플 원반에 비해 작았기 때문이다.06. 실험목적, 실험예측과의 부합성이번 실험의 목적은 모양과 질량이 다른 물체들의 회전운동을 통해 물체의 관성모멘트를 측정해보는 것이었다. 실험 전 예측은 원반의 관성모멘트는I= { 1} over {2 }MR ^{ 2}, 링의 관성모멘트는I= { M} over { 2}(R _{ 2} ^{ 2}+R _{ 1} ^{ 2})로 물체의 내경의 제곱, 또는 제곱의 합과 물체의 질량에 관성모멘트가 비례할 것이라 예측했다. 이는 실험결과를 보고 비교해보자. 먼저 질량이 가장 많이 차이가 나게 작은 원반이 관성모멘트가 작다. 또한 샘플링의 질량은 샘플원반에 비해 크고 반지름의 제곱의 합도 컸다. 실험값을 보면 샘플링의 관성모멘트가 샘플원반에 비해 크게 나타나므로 실험예측이 부합함을 알 수 있다. 회전상태에 있는 물체의 운동을 변화시키는데 저항하는 회전 물체의 성질을 관성모멘트라고 하였기 때문에 같은 힘을 주었을 때 관성모멘트가 클수록 가속도는 작가 나올 것이라고 예측하였다. 이에 대해 실험결과를 확인해보면 관성모멘트의 값이 클수록 가속도의 값이 작게 나타남을 보고 예측과 부합함을 알 수 있었다.07. 오차, 오차원인1) 추가 낙하하는 과정추가 낙하하는 과정에서 추를 놓을 때 손의 힘이 전달되는 등을 원인으로 직선으로 떨어지지 않았을 수 있다. 즉, 낙하지점이 일치하지 못했다. 따라서 추가 직선으로 떨어지지 않아 정확하게 에너지 보존이 이뤄지지 않았을 것이다. 또한 추가 떨어지는 시간이 길어지고 속력이 감소해 정확한 가속도를 측정하지 못했을 것이다. 또한 추가 낙하할 때 실험 가정과는 달리 마찰력이 발생해 이론있었다.
