1. 예시로 살펴보는 전가산기 구조 전가산기란 세 개의 입력 변수를 통해 합과 캐리라는 두 개의 출력 변수를 출력하는 조합회로이다. 이를 이해하기 위해 간단한 의 계산 과정을 살펴볼 수 있다. 가장 먼저 하늘색 상자로 묶인 3과 8을 계산해야 한다. 값은 11이다. 십진법이므로 십의 자리 수 1은 받아 올려 적기를 한다. 이는 의 빨간색 1이다.두 번째로 계산해야 하는 값은 노란색 상자로 묶인 6과 9의 합이다. 값은 15이지만, 이전 과정에서 받아 올려 적기 한 빨간색 1도 고려하여 계산해야 한다.여기서 노란색 상자의 6과 9, 그리고 빨간색 1이 세 개의 입력 변수이다. 세 개의 입력 변수를 계산하면 16이라는 값이 나온다. 이때 보라색 상자의 6과 새롭게 받아 올려 적기 된 파란색 1이 출력 변수이다. 이렇게 세 개의 입력 변수, 두 개의 출력 변수 구조를 이해할 수 있다.세 개의 입력 변수 중, 노란 상자에 묶인 두 수는 현재 더해질 위치의 두 비트이다. 또한 입력 변수 중 빨간색 1은 바로 전 위치로부터의 캐리이다. 반면 두 개의 출력 변수 중 보라색 상자의 6은 3개의 입력 변수의 합(S)이고, 보라색 상자의 파란색 1은 캐리(C), 자리 올림이다. 여기서 캐리란 예시에서 살펴 본 받아 올려 적기 수이고, 사전적 정의로는 연산 수행 시 최상위 자리에서 올림이 발생하였는지 나타내는 비트를 의미한다.2. 전가산기-연산과 진리표전가산기는 과 다르게 이진법의 계산을 따른다. 그러므로 세 개의 입력 변수를 더한 값의 범위는 0~3으로 한정 지을 수 있다. 이때, 더한 값이 2 이상일 경우만 캐리에 1을 올려주면 된다.A는 전가산기의 진리표이다. Ci는 입력 변수 중 바로 전 위치로부터의 캐리이다. X, Y는 Ci를 제외한 두 개의 입력 변수이다. S는 출력 변수 중 합을 뜻하고, Ci+1은 캐리이다.B주황색 칸의 A 구간부터 살펴보면, 세 개의 입력 값이 모두 0이기 때문에 출력값 또한 둘 다 0이다.CD하늘색 구간의 B는 X 또는 Y, 혹은 Ci에 각각 1이 입력되는 세 가지 경우이다. (0,0,1)/ (0,1,0)/(1,0,0) 모두 S(합)은 1이 된다. 합이 2를 넘지 않기 때문에 자리 올림은 발생하지 않고 Ci+1의 값은 모두 0이다.보라색 칸의 C 구간은, 입력값 세 개 중 두 개에 값이 부여되어 총합이 2가 된다. 이때, 이진법에 따라 캐리 Ci+1에 자리 올림을 해주고 S에는 0을 쓴다. 마찬가지로 노란색 칸의 D 구간은 입력값 세 개 모두 값이 부여되어 총합은 3이 되고, 캐리 Ci+1에 자리 올림을 해줘도 1이 남기 때문에 출력값 S와 Ci+1모두 1의 값을 갖는다.3. 전가산기-출력변수 Ci+1와 S에 대한 수식전가산기의 출력변수는 Ci+1와 S, 두 개다. 다음은 Ci+1에 대한 수식이다. 진리표()를 참고하여 Ci+1가 참이 되는 경우를 따진다. 여기서 참이 되는 것은 1의 값을 가진다는 것이다. 여집합은 0의 값을 가지는 경우, 교집합은 AND의 개념, 합집합은 OR의 개념을 따른다. 진리표를 참고하여 S가 참이 되는 경우는 네 가지임을 알 수 있고, 은 이를 식으로 나타낸 것이다. 집합기호로 변형하여 살펴봄에 따라 마지막 줄처럼 복잡한 식을 단순화시킬 수 있다는 장점이 있다.다음은 S에 대한 수식이다. 앞의 과정과 똑같이 실행한다. 진리표를 참고하여 S가 참이 되는 네 가지 경우의 수를 집합 기호로 나타낼 수 있다. 가 그에 대한 수식이다.4. 전가산기-출력변수 Ci+1와 S에 대한 논리게이트 와 은 소주제3 (전가산기-출력 변수 Ci+1와 S에 대한 수식)에서 도출한 식을 논리게이트로 그려낸 것이다. AND 게이트는 교집합을, OR 게이트는 합집합을 의미한다.5-1. 배타적 논리합- exclusive-OR?X, Y가 0 또는 1의 값을 갖는다. 이때 X?Y는, X와 Y의 배타적 논리합을 표시하는 기호이다. X≠Y일 때 X?Y＝1이고, X＝Y일 때 X?Y＝0 로 나타낼 수 있다. 다음 표를 통해 확인할 수 있다.5-2. 배타적 논리합을 이용해 수식 단순화 시키기- exclusive-OR?다음은 5-1에서 언급한 배타적 논리합 개념을 식에 적용시킨 것이다. 식①은, X?Y를 풀어 낸 것이다. 이를 토대로 식②를 이해할 수 있다. 식②는 식①과 다르게 X?Y에 Exclusive-or이 적용되어있다. 식②에 대한 구체적인 풀이로 아래를 참고해볼 수 있다. 에서 이해한 내용을 S의 수식에 적용시켜 (X?Y)?Ci)로 단순화 시킬 수 있다. 마찬가지로 Ci+1의 수식 역시 (X?Y)Ci+XY로 단순화 시킬 수 있다.
