키르히호프의 법칙1. 목적 : 한 정점에서 들어오는 전류의 양과 나가는 전류의 양을 확인하여 키르히호프의 법칙을 확인한다.2. 장치 및 기구 : 키르히호프의 법칙 측정 장치, 건전지, 전압계3. 이론(1) 키르히호프의 법칙1) 한 분기점에 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합은 같다. 즉SMALLSUM I _{n} =0 (식1)2) 어느 폐회로 내에서 모든 기전력의 합 E와 저항 등에 의한 전압강하의 합은 0이다. 즉SMALLSUM E- SMALLSUM I _{n} R _{n} =0 (식2)(2) 이론적 해석그림의 분기점 M에서 첫 번째 조건에 의한 식은I _{1} +I _{3} =I _{2} (식3)그림의 2개의 폐회로에서 두 번째 조건에 의한 식은 각각R _{2} I _{2} +R _{1} I _{1} =E _{1}#R _{2} I _{2} +R _{3} I _{3} =E _{2} (식 4,5)이다. (식3)에서I _{3} =I _{2} -I _{1}을 (식 5)에 대입하면R _{2} I _{2} +R _{3} (I _{2} -I _{1} )=E _{2}이고 이를 정리하면(R _{2} +R _{3} )I _{2} -R _{3} I _{1} =E _{2} (식 6)이다. (식4) 와 (식 6)을 연립하여 풀면I _{1} = {(R _{2} +R _{3} )E _{1} -R _{2} E _{2}} over {R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1}} ,``````I _{2} = {R _{3} E _{1} +R _{1} E _{2}} over {R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1}} (식 7)위의 결과를 (식3)에 대입하면I _{3} = {-R _{2} E _{1} +(R _{1} +R _{2} )E _{2}} over {R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1}} (식8) 이 된다.(3) 행렬에 의한 표현위의 식을 행렬을 이용하여 풀면M= {pmatrix{1&-1&1#0&R _{2}&R _{3}#R _{1}&R _{2}&0}} ,`I= LEFT ( pile{pile{I _{1}#I _{2}}#I _{3}} RIGHT ) ,``E= LEFT ( pile{pile{0#E _{2}}#E _{1}} RIGHT )#이라면 위의 (식3) (식4) (식5)는 MI=E의 행렬식으로 표현이 가능하다. 즉{pmatrix{1&-1&1#0&R _{2}&R _{3}#R _{1}&R _{2}&0}} LEFT ( pile{pile{I _{1}#I _{2}}#I _{3}} RIGHT ) = LEFT ( pile{pile{0#E _{2}}#E _{1}} RIGHT ) (식9)이다. 여기서 행렬 M이 역행렬은M ^{-1} = {1} over {-(R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1} )} {pmatrix{-R _{2} R _{3}&R _{2}&-(R _{2} +R _{3} )#R _{1} R _{3}&-R _{1}&-R _{3}#-R _{1} R _{2}&-(R _{1} +R _{2} )&R _{2}}}이 식을 MI=E 의 양변에 곱해주면M ^{-1} MI=M ^{-1} E =M ^{-1} = {1} over {-(R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1} )} {pmatrix{-R _{2} R _{3}&R _{2}&-(R _{2} +R _{3} )#R _{1} R _{3}&-R _{1}&-R _{3}#-R _{1} R _{2}&-(R _{1} +R _{2} )&R _{2}}}LEFT ( pile{pile{0#E _{2}}#E _{1}} RIGHT )이다 따라서M ^{-1} MI=I이므로I= LEFT ( pile{pile{I _{1}#I _{2}}#I _{3}} RIGHT ) = {-1} over {(R _{1} R _{2} +R _{2} R _{3} +R _{3} R _{1} )} LEFT ( pile{pile{R _{2} E _{2} -(R _{2} +R _{3} )E _{1}#-R _{1} E _{2} -R _{3} E _{1}}#-(R _{1} +R _{2} )E _{2} +R _{2} E _{1}} RIGHT ) (식10) 위 두가지 방식에 의하여 계산된 결과는 일치한다.4. 실험방법(1) 주어진 저항R _{1`} ,`R _{2} ,`R _{3} 3개의 저항에 새겨진 칼라 코드를 읽고, 위의 표를 이용하여 저항 값을 파악하여 실험 데이터1에 기록한다. 또한 주어진 건전지의 전압을 전압계를 이용하여 측정하고 실험 데이터 2에 기록한다.(2) 데이터 1과 데이터 2를 식 7과 8에 대입하여 이론값을 구해 데이터 3에 기록한다.(3) 건전지와 저항을 실험판에 장착한 후에I _{1} ,`I _{2} ,`I _{3}를 정점 N과 M에서 각각 5회 측정하여 데이터 4를 작성한다. 여기서N _{1} 과``M _{1}의 값을 평균하여I _{1}을 구하고, 같은 방법으로I _{2} 와`I _{3}를 구한다. 측정된 전류 값을 데이터 5에 기록한다.(4) 데이터 3과 5를 비교하여 이론값과 측정값을 비교하여 결론을 구한다.1. 실험값전압E1(V)E2(V)값1.51.5저항R1(Ω)R2(Ω)R3(Ω)저항값20K30K30K데이터1 데이터2데이터3전류I1(A)I2(A)I3(A)이론값21.435.714.2데이터4N1(A)M1(A)평균N2(A)M2(A)평균N3(A)M3(A)평균122-2322.5-37373714-1514.5222-2322.5-38383814-1514.5322-2322.5-383737.514-1514.5422-2322.5-383737.514-1514.5평균22-2322.5-37.7537.2537.514-1514.5데이터5전류I1(A)I2(A)I3(A)측정값22.537.514.52. 계산 및 결과전류I1(A)I2(A)I3(A)이론값21.435.714.2전류I1(A)I2(A)I3(A)측정값22.537.514.5각 전류의 이론치는 21.4 35.7 14.2인데 실험한 결과 22.5 37.5 14.5 가 나왔다. 이 값을 토대로 오차율을 계산하면(오차=�� {이론값-측정값} over {이론값} �� TIMES 100(%)) 5.07%, 5.04% 2.14%이 나왔다. 결과가 만족스럽게 나온거 같다.3. 결론 및 토의키르히호프의 법칙이란 한 분기점에 들어오는 전류 합과 나가는 전류의 합이 같고, 어느 폐회로 내에서 모든 기전력의 합은 E와 저항등에 의한 전압강하의 합은 0을 뜻한다. 먼저 저항값을 알기 위해 저항 색띠를 책을 참조하여 구하여 이론식에 대입하여 각 전류를 구했으며 그의 평균값 그에 따른 오차율도 계산했다. 오차율이 나온 것에 대해 조원과 토의하여 도출해보았다. 1) 잔류전류 2) 사람마다 색띠를 읽는 기준이 다르기때문 3) 2
