초기의 온도가 20도인 금속 막대를 물이 끓고 있는 용기에 떨어뜨린다. 금속막대는 끓는 물의 온다가 보다 낮은 상태이므로 점차 온도가 올라갈 것이다. 다음 물음에 답하라. 1) 뉴턴의 냉각법칙을 적용하여 미분방정식을 세우고 왜 그렇게 모델링 했는지 이유를 기술하라. 2) 금속막대가 90도에 도달하는 데 얼마의 시간이 걸리겠는지 적당한 해법을 통하여 해를 구

소개

공업수학1
초기의 온도가 20도인 금속 막대를 물이 끓고 있는 용기에 떨어뜨린다. 금속막대는 끓는 물의 온다가 보다 낮은 상태이므로 점차 온도가 올라갈 것이다. 다음 물음에 답하라.

1) 뉴턴의 냉각법칙을 적용하여 미분방정식을 세우고 왜 그렇게 모델링 했는지 이유를 기술하라.
2) 금속막대가 90도에 도달하는 데 얼마의 시간이 걸리겠는지 적당한 해법을 통하여 해를 구하라.(단, 1초 만에 온도가 2도 상승한다고 알려져 있다.)

목차

Ⅰ. 서론

Ⅱ. 본론
1. 뉴턴의 냉각법칙
2. 온도 변화 모델
3. 미분방정식의 해
4. 90℃ 도달 시간

Ⅲ. 결론

Ⅳ. 참고문헌

본문내용

Ⅰ. 서론

끓는 물에 상대적으로 차가운 금속 막대를 넣으면 금속 막대의 온도는 시간에 따라 상승하여 결국에는 주변의 물 온도와 같아지게 된다. 이러한 온도 변화 현상을 수학적으로 표현하기 위해 공업수학에서는 미분방정식을 활용한 모델링을 사용한다. 특히 뉴턴의 냉각법칙은 물체의 온도 변화율이 물체와 주변 환경 간의 온도 차이에 비례한다는 경험 법칙으로서, 온도가 균형을 이룰 때까지의 냉각 또는 가열 과정을 기술하는 데 적합하다. 이러한 법칙을 적용하면 금속 막대의 온도 변화 과정을 1계 미분방정식으로 표현할 수 있으며, 초기 조건을 통해 해를 구하면 시간 경과에 따른 온도 함수를 얻을 수 있다. 이를 토대로 금속 막대가 특정 온도에 도달하는 데 걸리는 시간을 계산할 수 있다. 본 과제에서는 뉴턴의 냉각법칙에 근거한 미분방정식을 유도하고 그 모델링 근거를 설명한 후, 해석 해를 통해 금속 막대가 90℃에 도달하는 데 소요되는 시간을 계산해 보고자 한다.

Ⅱ. 본론

1. 뉴턴의 냉각법칙

뉴턴의 냉각법칙(Newton’s law of cooling)은 물체의 온도 변화율이 물체와 환경 간의 온도 차이에 비례한다고 설명한다.
이 식은 물체 온도가 환경보다 낮으면 변화율이 양수가 되어 가열되고, 높으면 음수가 되어 냉각됨을 의미한다.

참고자료

· 공업수학1 강의교안.
· 안희대, 윤현도, 박완신, 장영일, & 김선우. (2018). 뉴튼의 냉각법칙을 활용한 간이단열시험의 손실온도 보정. 콘크리트학회 논문집, 30(2), 189-196.
· 공돌이의 수학정리노트. (2021). 변수분리법. 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes). https://angeloyeo.github.io/2021/05/06/separable_differential_equations.html
· 공돌이의 수학정리노트. (2021). 변수분리법. [Video]. Youtube.
· https://youtu.be/W_Uycu2l4qU?si=iWirUOWjLpEPvBhY