Itos Lemma

소개

Introduction
- 확률적인 환경에서 논의된 바에 따르면 미분의 공식적인 개념은 존재하지 않는다.
- 자산가격에서 shock는 예측불가능 하고, 연속적인 시간에서 자산가격은 불규칙적이다.
- 자산가격들의 결과값은 연속적일지 모르나, smooth하지는 않다. 따라서 확률적 미분이 필요
- Ito의 법칙은 단순한 확률적 미분을 쉽게 다루고, 명백한 산정 수치를 이끌어내는 분석적 인 공식이다.

목차

1. Introduction
2. Types of Derivatives
3 Itos Lemma
4. The Ito Formula
5 Uses of Itos Lemma
6 Integral From of Ito Lemma
7 Itos Formula in More Complex Setting
8 Conclusions

본문내용

1. Introduction
- 확률적인 환경에서 논의된 바에 따르면 미분의 공식적인 개념은 존재하지 않는다.
- 자산가격에서 shock는 예측불가능 하고, 연속적인 시간에서 자산가격은 불규칙적이다.
- 자산가격들의 결과값은 연속적일지 모르나, smooth하지는 않다. 따라서 확률적 미분이 필요
- Ito의 법칙은 단순한 확률적 미분을 쉽게 다루고, 명백한 산정 수치를 이끌어내는 분석적 인 공식이다.

2. Types of Derivatives
- 두 변수 와 에 의존하는 함수가 있고, 는 확률과정이라고 가정한다.
- 모든 변수들이 결정론적인 표준미적분에서는 미분의 3가지 종류가 있다.
① 의 편미분
(1)
② 전미분
(2)
는 를 축약한 기호
③ chain rule
(3)
- 편미분은 실생활에서 직접적으로 쓰이지는 않지만, 위험 요소들의 변화를 관찰하여 자 산가격을 평가하는데 필요한 “multipliers"를 준다.
- 예를들어 는 함수에서 의 작은 변화를 말한다.
- 연속적인 확률변수 가 변할 수 있는 것은 시간이 연속적일 때 뿐이다. 따라서 실질적으로 또한 변한다.
- 시장참여자가 기초적인 부분만을 안다고 가정하자. 그러면 이 수학적인 공식은 편미분 를 찾기 위해서 에 관해서만 오직 미분될 것이다. 는 가 얼마나 많이 변화했는가에 대한 수치이다. 이런 점에서 Wiener Process와 별반 차이가 없다.
- 는 연속적인 시간에서의 변화가 아니라, 일정시점에서 의 변화를 나타낸다.

- 전미분은 훨씬 더 현실적인 개념이다. 전미분은 시간 와 기초 증권 가격 가 변한다고 가정하였을때 의 전체 반응을 계산하는 것이다.
그 결과값은 (확률적) 미분 이고, 구간에서 파생자산의 가격 변화율을 나타낸다.

참고자료

· 없음