[수학사]칸토어의 생애와 수학적 업적

소개

집합론의 창시자인 칸토어의 생애와 업적에 대한 글입니다.

목차

1. 칸토어의 생애
2. 칸토어의 수학적 업적
(1)집합론의 창시
(2)초한수
(3)정수의 가산성
(4)유리수와 대수수의 가산성
(5)실수의 불가산성(칸토어의 대각선법)
(6)연속체가설
(7)칸토어집합
3. 칸토어와 관련된 수학적 에피소드
(1)수학의 본질은 자유에 있다
(2)러셀의 역설

본문내용

(6)연속체가설
칸토르는 실수집합이 자연수집합의 크기를 뛰어넘어 그 수를 셀 수 없다는 정리를 증명한 후 실수집합의 기수로 를 부여했다.는 연속체를 뜻하는 continuum의 첫 글자를 딴 것인데, 수직선을 실수의 집합으로 볼 때에야 비로소 빈틈이 하나도 없는 연속체가 된다는 점을 나타낸다.
어쨌든 칸토르의 이 업적으로 “모든 무한집합은 동등하다”는 종래의 생각이 허물어지고, “무한대에도 본질적으로 다른 무한대가 존재한다”는 점이 밝혀졌다. 그런데 이처럼 실수집합이 자연수집합보다 더 큰 이유는 바로 초월수 때문이다. 대수수집합까지는 자연수집합과 같은 기수를 가지므로 실수집합이 갖는 불가산성의 원인은 초월수일 수밖에 없다. 그렇다면 대수수집합에 이런 초월수들이 더해진 실수집합은 대수수집합보다 얼마나 더 큰 것일까?
원소의 개수가 인 어떤 집합의 부분집합의 수는이며, 부분집합의 수는 언제나 본래 집합의 원소 수보다 많다. 그런데 칸토르는 실수에 대하여 이진법을 적용하는 과정에서 아래와 같은 중요한 결과를 얻어냈다.

위 식을 간략히 이끌어보자. 의 실수를 이진법으로 나타내면 로 쓸 수 있다. 그리고 소수점 이하 각 자리에 들어갈 수는 0과 1의 2가지이다. 그런데 소수점 이하의 자릿수는 첫째 자리, 둘째 자리, …등으로 “셀 수 있다”. 즉 소수점 이하 자릿수의 개수는 개이며, 따라서 의 구간은 수직선 전체와 일대일 대응을 이룰 수 있다. 그러므로 이다. 이로써 지수셈을 통하여의 한계를 벗어날 수 있음을 았았다.
하지만 칸토르는 여기에 만족하지 않고 또 다른 귀결들을 추구하고 나섰다. 칸토르는 보다 큰 초한수인 가 존재한다는 점에 힘입어 초한수에도 마치 자연수처럼 다음과 같은 무한계열이 있을 것이라고 생각했다.

사실 초한수의 무한계열이 존재한다는 점 자체에는 의문의 여지가 없다. 이미 보았듯 초한수의 지수셈은 초한수의 크기를 늘릴 수 있으므로 초한수가 하나만 얻어지면 지수셈을 되풀이해서 이를 계속 부풀려 가면 되기 때문이다. 그리고가 위 계열에서 맨 첫째, 다시 말해서 모든 초한수 가운데 가장 작은 것이란 점은 다음과 같이 생각하면 쉽게 이해된다.

참고자료

· ①고중숙. [수학 바로 보기]. 서울: 여울, 2004년
· ②Michael Guillen. [인간적인, 너무나 인간적인 수학]. 서울: 경문사, 1998년
· ③Philip J. Davis․Reuben Hersh. [수학적 경험․하]. 서울: 경문사, 1997년
· ④Haward Eves. [수학사], 서울: 경문사, 1999년
· ⑤광뢰건․족립항웅. [數學の方法], 일본 도쿄: 공립출판, 1984년
· ⑥피터슨,이바스. [현대수학의 여행자]. 서울: 사이언스북스, 1999년