수치해석 c++,matlab 프로그래밍

목차

ⅰ) 문제의 정의 및 정리

ⅱ) 이론

ⅲ) 수행계획 및 알고리즘

ⅳ) 프로그램 및 출력화면

ⅴ) 결과분석

ⅵ) 자료출처

본문내용

1) 문제의 정의 및 정리

Question. 다음 초기값 상미분방정식의 해를 Runge-Kutta 방법을 이용하여 구하라.

여기서 해는 의 구간에서 구한다. 또한 알고리즘의 정확도와 차분화 간격 등의 변화에 따라 해에 미치는 영향을 분석하라.



Runge-Kutta 방법을 이용한 경우가 얼마나 정확한지, 그리고 각종 변인들에 의한 영향이 어떠한지 비교하기 위해 우선 해석적 방법을 통해 exact solution을 구한다. 1차 선형 미분방정식의 해는 다음의 과정을 통해 구할 수 있다.
① 주어진 미분방정식 을 형태의 표준형으로 바꿔준다.
② (2)식의 P(x)를 이용하여, integrating factor(이하 I.F)를 구해준다. 이때, I.F=이다.
③ I.F를 (2)식에 곱해준 뒤, 식을 정리하면 다음과 같다.

④ (3)식을 양변 적분하여 y값을 구한다.

위의 과정을 거쳐서 문제에 주어진 미분방정식을 풀면 다음과 같다.

<중 략>

[고찰]
이번 프로젝트의 프로그래밍은 다른 프로젝트에서의 프로그래밍보다 전체적으로 코딩하는데 많은 시간이 걸리지 않았는데, 그 이유는 프로그램의 알고리즘이 쉬워서 라기 보다는 하나의 프로그램, 예를 들어 2차 기법의 프로그램의 코딩 하나만 끝내면 3차와 4차 기법은 핵심이 되는 지배방정식만 for문 내 에서 바꿔주면 되기 때문이다. 각각의 지배방정식도 그리 길지 않아서 바꿔주는데 어려움이 없었다. 다만 코딩하면서 조금 막혔던 부분은 exact solution과 각 기법들을 통해 구한 해의 비교를 위해 한 그래프 상에 그리는 것이었는데, for문 내 에서 기법의 해와의 오차를 구하기 위해 구한 exact solution 값들을 그래프를 그리는 데도 이용하려고 하니 N이 적은 경우(N=2 또는 5인 경우), 그 데이터 값이 충분치 않아 그래프가 곡선이 아니라 직선으로 나타났고 정확한 함수 형을 그리지 못했다. 따라서 이 문제를 해결하기 위해 for문 밖에 충분한 데이터 수를 가지는 exact solution에 대한 값들을 계산하여 그래프를 그리는데 활용하였다.

참고자료

· MATLAB을 이용한 수치해석(용호택 저, 다성출판사, 2000)
· 수치해석과 MATLAB(양원영 저, 교우사, 2000)
· MATLAB을 이용한 수치해석 및 그래프(김민찬, 윤도영 공역, 도서출판 아진, 2001)