본문내용
1. 화학반응과 미적분
1.1. 반응속도와 미적분
우리 주변에서 일어나는 다양한 화학반응은 모두 미적분 개념이 포함된 반응속도를 수반한다. 화학 반응에서의 반응속도는 반응물의 농도에 비례하게 되는데, 반응의 차수에 따라 0차, 1차, 2차 반응으로 구분된다.
0차 반응의 경우 반응속도는 dA/dt = -K로 나타나며, 이를 시간에 대하여 적분하면 A = A0 - Kt가 된다. 이는 초기 농도가 A0일 때 t초가 지난 후의 농도를 나타낸 것이다.
1차 반응의 경우 반응속도는 dA/dt = -k[A]로 나타나며, 이를 적분하면 ln[A] = ln[A0] - Kt가 된다. 이를 정리하면 [A] = [A0]e^(-Kt)가 된다.
2차 반응의 경우 반응속도는 dA/dt = -k[A]^2로 나타나며, 이를 적분하면 1/[A] = Kt + 1/[A0]가 된다.
이처럼 다양한 화학반응의 속도는 미적분학의 개념을 활용하여 나타낼 수 있으며, 반응의 차수에 따라 서로 다른 속도 법칙을 갖는다. 이는 우리 주변의 화학반응뿐만 아니라 우리 몸 속에서 일어나는 화학반응에서도 동일하게 적용된다."
1.2. 개체군의 성장곡선
개체군이란 특정 시기에 주어진 지역에서 서로 상호작용 하는 한 종의 개체들로 구성되고 밀도, 성비, 연령구조, 출생률, 이입률, 사망률, 이출률 등 다양한 고유 특성을 갖는 단체를 의미한다. 이러한 개체군의 개체수의 증가 곡선을 나타낸 것이 개체군의 성장곡선이다.
개체군이 성장하는 곡선인 성장곡선은 지수 성장곡선(J)와 로지스틱 성장곡선(S) 두 가지가 있다. 지수 성장곡선의 경우 특정 개체군에게 알맞은 먹이, 서식 환경 등이 제한이 없고 다른 종과의 상호작용, 환경 수용력 등에 영향을 받지 않는 이상적인 경우 적용된다. 이 곡선의 경우 J자형을 그리며 기하 급수적으로 증가하게 된다.
두 번째 성장곡선인 로지스틱 성장곡선은 서식지의 공간제약과 먹이 양 등의 영향을 받게 된다. 자원이 제한되어 먹이 경쟁, 서식지 경쟁 등에 의해 개체군이 기하급수적으로 계속 증가할 수 없게 된다. 따라서 개체수 증가율은 개체수가 증가함에 따라 감소하는 경향을 띠게 된다. 한정된 환경속에서 개체군이 성장하게 되면 환경수용력 K를 갖게 되고, 이 환경수용력은 개체수가 환경수용력에 도달하게 되면 더 이상 개체수는 증가하지 않는 것을 의미한다. 이 때 개체군의 증가율을 a-bN으로 가정하면 다음 (dN/dt)/N = a-bN을 만족하게 된다. 이 성장곡선에서는 와 = 0 을 만족하게 된다. 이 두식을 정리하게 되면 (dN/dt)/N = r-r * N/K이다. 이 미분방정식을 정리하게 되면 Nt = K/(1+C * e^(-rt))이다. 여기서 C에 대해 정리하게 되면 C = (K – No)/N0 를 로지스틱 성장곡선이라 한다.
이처럼 개체군의 성장은 지수 성장곡선과 로지스틱 성장곡선 두 가지 모델로 나타낼 수 있다. 지수 성장곡선의 경우 서식지, 먹이 등 다양한 제약 조건이 없는 이상적인 조건에서의 성장곡선이고, 일반적으로 적용되는 성장곡선의 경우 로지스틱 성장곡선이다. 이러한 성장곡선은 인구수에도 적용을 할 수 있다."
1.3. 질병 모델링 미분방정식(SIR)
현재 전 세계는 COVID-19라는 감염병에 의해 힘든 나날을 보내고 있다. COVID-19 ...
1
2
3
4
5
6
7