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1. 서론
1.1. 벤포드의 법칙의 발견
벤포드의 법칙의 발견
우리는 통상적으로 1부터 9까지의 수가 모두 동일한 확률로 등장한다고 생각한다. 그러나 실제로는 1로 시작하는 수가 압도적으로 많이 나타나는 기이한 현상이 존재한다. 이러한 현상에 처음으로 주목한 사람은 캐나다 출신의 미국인 천문학자 사이먼 뉴컴이다.
뉴컴은 1881년 『미국 수학 저널』에 발표한 짧은 논문에서 낡은 로그표를 분석하여, 1로 시작하는 수의 로그 값이 9로 시작하는 수의 로그 값보다 더 자주 찾아볼 수 있다는 사실을 발견했다. 이는 사용자들이 로그표를 첫 페이지부터 순서대로 보다가 중도에 포기했기 때문이 아니라, 1로 시작하는 수의 로그 값이 가장 많이 필요했기 때문이다.
뉴컴은 이런 관찰을 토대로 머리 숫자가 1일 확률은 전체의 약 30.1%, 2일 때는 약 17.6%, 3일 때는 약 12.5% 등으로 급격히 감소한다고 추측했다. 그는 이러한 비율이 로그함수에 의해 결정된다고 주장했지만, 그 이유를 엄밀하게 증명하지는 않았다.
반세기 후인 1938년, 뉴욕의 제너럴 일렉트릭 사에서 근무하던 물리학자 프랭크 벤포드가 유사한 현상을 다시 발견했다. 벤포드는 자신이 살펴본 많은 데이터 집합에서 1로 시작하는 숫자가 월등히 많이 나타나는 것을 확인했다. 그는 이를 '이례적인 수들의 법칙'이라고 명명했고, 오늘날 이는 '벤포드의 법칙'으로 알려져 있다.
1.2. 벤포드의 법칙의 적용
벤포드의 법칙에 따르면 어떤 분야의 수치들에서 1부터 9까지의 수 n이 첫 자리 수가 될 확률은 다음과 같다. 첫 자리 수가 1일 확률은 P(1)=log10(1+1/1)=log102≒0.301, 즉 30.1%이고, 첫 자리 수가 2일 확률은 P(2)=log10(1+1/2)=log101.5≒0.1761, 약 17.6%가 된다. 이런 방식으로 1부터 9까지의 수가 첫 자리 수가 될 확률을 계산하면 다음과 같다. P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) P(8) P(9) 0.301 0.176 0.125 0.097 0.079 0.067 0.058 0.051 0.046 벤포드는 수많은 종류의 데이터들을 바탕으로 1부터 9까지 중에서 어떤수 n이 첫 자리가 될 확률이 log10(1+1/n)이라고 단정했다. 피보나치 수열도 벤포드의 법칙과 관련이 있다. 피보나치 수열이 벤포드의 법칙을 따르는지 분석해 보았다. 피보나치 수열은 첫째 항과 둘째 항을 1로 놓고 세 번째 항부터는 앞의 두 항을 더해서 만드는 것이다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 로 계속된다. 400항까지 구한 뒤 각 항의 첫 자리 수 분포를 조사하면 ...
