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1. 서론
1.1. 미적분학의 정의와 발전
미적분학(微積分學, Calculus)은 함수의 미분과 적분을 연구하는 수학 분야이다. 이는 1600년대 뉴턴과 라이프니츠에 의해 체계적으로 정립되었지만, 그 이전부터 인간은 변화하는 세계를 이해하고자 노력해왔다.
고대 그리스 수학자 아르키메데스는 BC 3세기에 이미 평면의 넓이를 구하는 구분구적법을 사용하여 적분의 개념을 발전시켰다. 이집트 문명에서도 자주 범람하는 나일강 유역의 토지 측량을 위해 구분구적법을 활용했다. 이처럼 적분의 개념은 미분보다 먼저 태동했다.
반면 미분의 개념은 16세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 체계화되었다. 이들은 극한 개념을 도입하여 미분과 적분 사이의 밀접한 관계를 밝혀냈다. 미분은 "잘게 나누는 일"이고, 적분은 "모으는 일"로 서로 반대되는 연산이지만 이들은 상호 보완적인 관계에 있다.
이후 18세기와 19세기에 걸쳐 미적분학은 고등 수학의 핵심 분야로 발전하였다. 다양한 수학자들에 의해 미적분학의 체계가 더욱 정교화되었고, 응용 범위도 크게 확장되었다. 오늘날 미적분학은 과학, 공학, 경제학, 의학 등 매우 다양한 분야에서 필수적인 수학 도구로 활용되고 있다.
요컨대, 미적분학은 역사적으로 아르키메데스와 고대 문명에서부터 시작하였지만, 뉴턴과 라이프니츠에 의해 근대적으로 정립되었다. 이후 수학자들에 의해 이론이 발전되었고, 다양한 분야에 폭넓게 활용되는 핵심 수학 분야로 자리 잡았다고 할 수 있다.
1.2. 미적분학의 활용도
미적분학의 활용도는 매우 광범위하며, 현대 문명의 여러 부문에서 근간을 이루고 있다. ""미적분은 도대체 어디에 쓸모가 있는 것일까?"" 라는 의문에 대해, 현대 문명은 미적분으로 이룩된 것이라고 해도 과언이 아니다.
우선, 미분과 적분은 전염병 예측에 필수적이다. SIR 모델을 통해 감염자수, 회복자수, 취약자수의 변화를 나타내는 미분방정식을 세우고, 이를 적분하여 전염병의 확산 추이를 분석할 수 있다. 특히 코로나19 확진자 추이 분석에서도 로지스틱 함수의 개념을 활용하여 변곡점과 한계치를 파악할 수 있었다.
자율주행 자동차의 작동 원리에서도 미적분이 핵심적인 역할을 한다. 자율주행 자동차는 차량의 위치와 속도를 실시간으로 파악하고, 이를 바탕으로 조향, 제동, 가속을 자동으로 제어한다. 이 과정에는 거리와 시간의 관계를 나타내는 적분 개념이 활용되며, 차량의 위치와 속도 변화를 분석하는 데 극한 개념이 사용된다.
인공지능 분야에서도 미적분이 핵심적인 역할을 한다. 기계학습에서는 학습 데이터와 실제 결과 간의 오차를 최소화하는 최적화 과정이 필요한데, 이를 위해 미분법이 사용된다. 또한 딥러닝에서는 다층의 복잡한 신경망 구조를 통해 미래를 예측하는데, 이 과정에서 미적분 방정식이 활용된다.
나아가 미적분은 금융 및 투자 분야에서도 활용된다. 단기간 내 주가 변동을 예측하기 위해 미분을 활용하는 '단타' 투자 전략이 있으며, 장기간에 걸친 평균 주가 변화를 분석하기 위해 적분 개념이 사용된다. 또한 최적 포트폴리오를 찾기 위해 최적화 기법이 활용된다.
이처럼 미적분은 전염병 예측, 자율주행 자동차, 인공지능, 금융 및 투자 등 현대 사회 전반에 걸쳐 핵심적인 역할을 하고 있다. 미적분 없이는 현대 문명이 존재할 수 없다고 해도 과언이 아니다. 따라서 미적분학의 중요성과 활용도는 매우 높다고 볼 수 있다.
2. 미적분학의 활용
2.1. 전염병 예측
2.1.1. SIR 모델과 로지스틱 방정식
SIR 모델은 전염병을 예측하는 역학 모형 중 하나로, S(susceptible), I(infected), R(recovered)의 세 집단의 변화를 수학적으로 표현하는 미분 방정식 모델이다. SIR 모델은 시간에 따른 취약자(S)의 변화, 감염자(I)의 변화, 회복자(R)의 변화를 다음과 같은 미분 방정식으로 나타낸다.
{dS} over {dt} = - beta SI
{dI} over {dt} = beta SI - gamma I
{dR} over {dt} = ...
