소개글
"총확률정리와 베이즈정리 설명 오류 분석"에 대한 내용입니다.
목차
1. 서론
1.1. 총확률정리
1.2. 베이즈 정리
2. 총확률정리
2.1. 정의
2.2. 계산 예시
3. 베이즈 정리
3.1. 정의
3.2. 사전확률과 사후확률
3.2.1. 사전확률
3.2.2. 사후확률
4. 베이즈 정리의 적용
4.1. 가설 검증
4.2. 의사결정 문제
5. 참고 문헌
본문내용
1. 서론
1.1. 총확률정리
총확률정리(Total Probability Theorem)는 전체 확률의 정리라고도 불리는 개념으로, 조건부 확률과 관련된 개념이다. 조건부 확률로부터 조건이 붙지 않은 확률을 계산할 때 사용할 수 있다.
사상 A가 사상 B의 부분 사상이고, 사상 B가 사상 B1, B2, ..., Bk로 나눌 수 있을 때 총확률 공식이 성립한다. 이는 다음과 같이 도식화할 수 있다:
P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bk)
= Σ P(A|Bi)P(Bi)
즉, 임의의 사상 A의 확률 P(A)는 A와 각 Bi의 교집합 확률을 모두 더한 것과 같다. 여기서 P(A|Bi)는 Bi가 발생했을 때 A가 발생할 조건부 확률이며, P(Bi)는 Bi의 발생 확률이다.
총확률정리는 전체 표본공간을 상호 배타적인 사상들로 분할한 뒤, 각 사상의 조건부 확률과 발생확률을 이용하여 전체 확률을 계산하는 방법이다. 이를 통해 관심 있는 사상의 확률을 보다 정확히 추정할 수 있다.
1.2. 베이즈 정리
베이즈 정리는 베이즈(Thomas Bayes)가 만든 정리로, 가설 선행지식 a에 대한 추가증거 e가 더해짐에 따른 가설 h의 확률을 표현한다. 베이즈 정리에 따르면 e와 a에 의한 확률 h는, a에 대한 h의 확률을 h와 a에 대한 확률 e를 곱하고, a에 대한 확률 e로 나누어서 얻는다는 것이 핵심이다. 이는 확률에 대한 곱의 법칙의 결과이며, 불확실성이 있는 상황에서 의사결정문제를 수학적으로 알아볼 때 매우 중요하게 이용된다.
전통적인 확률이 연역적인 추론에 기반을 두고 있는 것과 달리, 베이즈 정리는 확률임에도 불구하고 귀납적 추론이나 경험적인 추론을 사용한다. 예를 들어, 사건 A와 B가 있을 때, 사건 B가 일어난 것을 전제로 한 사건 A의 조건부 확률을 구하고 싶은데, 현재 시점에서 알고 있는 것이 사건 A가 일어난 것을 전제로 한 사건 B의 조건부 확률, A의 확률, B의 확률뿐이라고 한다면, 이 시점에서 애초에 도출하고자 했던 '사건 B가 일어난 것을 전제로 한 사건 A의 조건부 확률'은 베이즈 정리를 통해 구할 수 있다.
베이즈 정리의 분모에 해당하는 부분은 가능도를 구할 때 조건으로 걸린 사건의 확률이다. 이는 사후 확률이 0 이상 1 이하여야 한다는 확률의 정의를 충족시킬 수 있도록 사전확률과 가능도의 곱을 더 정확...
참고 자료
세상에서 가장 쉬운 베이즈통계학 입문, 고지마 히로유키, 지상사, 2017
확률 및 통계학, 민만식, 한티미디어, 2014
강영식 저, ‘현대 통계학’,동화기술교역,2003.11.25
고지마 히로유키 저, ‘세상에서 가장 쉬운 베이즈통계학 입문’,지상사,2017.03.31
와쿠이 요시유키 저, ‘수학사전’,그린북,2017.09.05
