본문내용
1. 서론
1.1. 동수역학 물의 흐름
동수역학 물의 흐름은 시간과 위치 그리고 방향에 따라 변하며 연속하여 운동하는 물의 상태를 말한다. 이를 흐름(flow) 또는 수류(水流, flow of water)라고 한다. 흐름의 속도를 유속(流速, velocity of flow)이라 하며, 유속은 수심 등 경계조건에 따라 변화한다.
흐름에 직각방향의 횡단면적을 유수면적 또는 유적(流積, cross sectional area of flow)이라 하고, 단위시간에 그 단면을 통과하는 물의 용적을 유량(discharge)이라 한다. 유속은 단면의 위치에 따라 다르나 일반적으로 단면 전체에 대한 평균값을 사용하며, 이를 평균유속(mean velocity)이라 부른다.
유량 Q는 평균유속 V와 유수단면적 A의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉, Q=V*A로 Q는 [L^3/T]의 차원을 가지며 단위시간 동안 단면을 통과한 부피유량을 나타낸다.
수심(水深,depth of flow)은 자유수면에서 수로 바닥까지의 연직거리를 말하며, 자유수면과 수직인 수심 d와 연직인 수심 h는 h = d / cos θ의 관계를 갖는다. 수위(水位, stage)는 어떤 수평 기준면으로부터 측정한 자유수면의 높이를 말한다.
이와 같은 동수역학 물의 흐름에 대한 이해는 유체 운동을 기술하고 분석하는데 기초가 된다.
1.2. 연속방정식과 운동방정식
유체의 흐름에서 속도와 압력 등 유체의 운동은 수학적으로 표현될 수 있는데, 이를 위해 연속방정식과 운동방정식이 사용된다.
연속방정식은 질량보존의 법칙을 반영한 것으로, 어떤 유체의 단면을 통과하는 단위시간당 질량유량은 항상 일정하다는 것을 나타낸다. 즉, 유체의 유입량과 유출량이 같다는 것이다. 수학적으로는 아래와 같이 표현된다.
Q = A1 * V1 = A2 * V2
여기서 Q는 유량, A는 단면적, V는 평균유속을 나타낸다. 이를 통해 유속은 단면적에 반비례하고 일정 유량이 유지된다는 것을 알 수 있다.
한편 운동방정식은 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 도출된 것으로, 유체에 작용하는 힘과 가속도의 관계를 나타낸다. 유체의 흐름 중 중력, 압력 및 관성력 등이 작용하게 되며, 이를 수학적으로 표현한 것이 오일러의 운동방정식이다.
∂p/∂s + ρg dz/ds + ρ(v ∂v/∂s + ∂v/∂t) = 0
여기서 p는 압력, ρ는 밀도, g는 중력가속도, z는 높이, v는 유속을 나타낸다. 이 방정식을 통해 압력, 중력, 관성력 등이 유체의 운동에 미치는 영향을 파악할 수 있다.
이와 같이 연속방정식과 운동방정식은 유체 흐름의 수학적 모델링에 있어 기본이 되는 방정식들이다. 이를 통해 유체의 속도, 압력, 유량 등 다양한 물리량을 계산하고 예측할 수 있으며, 실제 유체공학 분야에서 널리 활용되고 있다.
2. 베르누이 방정식
2.1. 속도수두, 압력수두, 위치수두
유체가 흐르는 과정에서 속도, 압력, 위치 등이 변화하며, 베르누이 방정식에 따르면 이러한 변화의 합은 항상 일정하다. 이때 각 항목을 수두로 표현하여 설명할 수 있다.
속도수두는 유체의 속도 v에 의해 발생하는 수두로, {v^2 over 2g}의 값을 가진다. 여기서 g는 중력가속도이다. 즉, 유체의 운동에너지가 수두의 형태로 나타난 것이다.
압력수두는 유체의 정압력 p에 의해 발생하는 수두로, {p over gamma}의 값을 가진다. 여기서 gamma는 유체의 단위중량을 의미한다. 유체의 압력에너지가 수두의 형태로 나타난 것이다.
위치수두는 유체의 높이 z에 의해 발생하는 수두로, z의 값을 가진다. 유체의 위치에너지가 수두의 형태로 나타난 것이다.
베르누이 방정식에 따르면 이러한 세 가지 수두의 합은 일정하게 유지된다. 즉, {v^2 over 2g} + {p over gamma} + z = constant이다. 이를 통해 유체의 속도, 압력, 위치가 상호 관련되어 있음을 알 수 있다.
따라서 속도수두, 압력수두, 위치수두는 유체의 역학적 에너지 상태를 나타내는 개념이며, 베르누이 방정식을 통해 유체 흐름 현상을 이해할 수 있게 해준다.
2.2. 베르누이 정리의 응용
2.2.1. 토리첼리 정리
물 탱크의 측벽에서 작은 구멍을 뚫어 물을 유출시키는 경우를 오리피스(orifice)라 부른다. 물탱크의 수면을 일정하게 하기 위하여 물을 계속 공급하면 유량은 0에서 일정히 유지된다. 수면상의 임의 점 s와 o사이에 베르누이의 정리를 적용하면, 다음과 같은 토리첼리 정리를 도출할 수 있다.
수면상의 임의 점 s와 오리피스 출구 o사이에서 베르누이 방정식을 적용하면 {z_s + p_s/γ + v_s^2/2g = z_o + p_o/γ + v_o^2/2g}가 성립한다. 여기서 수면 s는 대기압 p_atm에 노출되어 있고, 오리피스 출구 o에서의 압력 p_o는 대기압 p_atm과 같으므로, p_s = p_o = p_atm이 된다....
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11