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1. 확률과 통계
1.1. 대수의 법칙
대수의 법칙은 "우연히 일어나는 일을 여러 차례 반복하면 그 결과가 점점 본래의 확률에 접근한다"는 것이다. 즉, 동전을 여러 번 던졌을 때 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 점점 {1}/{2}에 가까워진다는 것이다.
이 현상은 다음과 같이 설명할 수 있다. 동전을 한 번 던졌을 때 앞면이 나올 확률은 {1}/{2}이고 뒷면이 나올 확률도 {1}/{2}이다. 이는 각 사건이 서로 독립적이며 동전 던지기가 공정하다는 가정 하에 성립한다.
그런데 동전을 여러 번 던지면 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 점점 {1}/{2}에 가까워진다. 예를 들어, 동전을 100번 던졌을 때는 앞면이 52번, 뒷면이 48번 나올 수 있지만, 1000번 던졌을 때는 앞면과 뒷면이 각각 약 500번씩 나오게 된다. 이는 무한대로 반복하면 앞면과 뒷면이 정확히 {1}/{2}의 비율로 나오게 된다는 것을 의미한다.
이처럼 우연한 사건을 무한대로 반복하면 그 실제 결과가 확률론적 예측에 점점 접근하는 것을 대수의 법칙이라고 한다. 이는 확률론의 가장 기본적이면서도 중요한 개념 중 하나이다.
1.2. 도박과 기댓값
도박은 인간의 오랜 역사와 함께 발전해온 확률 게임의 하나이다. 도박에는 정해진 규칙에 따라 돈이나 재화를 건 상태에서 불확실한 미래의 사건 발생 여부에 따라 손실이나 이득을 보게 되는 구조가 있다. 이러한 도박의 특징은 확률과 통계적 개념을 잘 드러낸다.
도박에서 기댓값은 매우 중요한 개념이다. 기댓값은 특정 상황에서 발생할 수 있는 모든 결과를 각 결과의 확률로 가중 평균한 값을 말한다. 즉, 도박에서 기댓값은 장기적으로 볼 때 한 게임당 평균적으로 얻을 수 있는 예상 수익을 의미한다.
예를 들어, 포커에서 각 카드 숫자에 점수를 부여하고 각 숫자의 확률을 곱하여 더하면 기댓값을 구할 수 있다. 포커의 경우 기댓값은 약 9점 정도로 계산된다. 이는 장기적으로 볼 때 포커를 할 경우 1게임당 평균 9점 정도의 수익을 얻을 수 있다는 의미이다.
또한 룰렛의 경우 0번과 00번을 제외한 나머지 36개 숫자에 동일한 확률이 부여되므로, 각 숫자에 베팅할 경우 기댓값은 약 94.7%정도로 계산된다. 이는 카지노 입장에서 수익을 올리기 위해 0번과 00번을 추가했다는 것을 의미한다.
즉, 도박에서 기댓값은 장기적으로 지속되는 상황에서 예상되는 평균적인 수익을 나타내는 개념이다. 합리적인 관점에서 볼 때 기댓값이 음수라면 장기적으로 손실을 볼 수밖에 없다는 것을 의미한다. 그러나 실제로 도박을 하는 사람들은 항상 이성적이지 않으며, 때로는 순간의 희열이나 환상에 사로잡혀 합리적인 선택을 하지 않는다는 점에서 기댓값은 도박 참여자 개인에게 중요한 고려 요소라고 할 수 있다.
1.3. 스팸 메일 차단
스팸 메일 차단은 해당 사이트의 알고리즘에 의해 이루어진다. 이 알고리즘은 스팸 메일에 가장 많이 출현되는 단어의 위험률을 계산한다. 위험률은 실제 스팸 메일에 있는 경우의 수를 단어의 총 출현 경우의 수로 나누어 구한다. 그리고 메일에 포함된 단어를 각각 분석한 뒤, 모든 위험률을 총합하여 0.7 이상의 값이 나오면 스팸 메일로 분류한다. 이처럼 단어의 위험률을 기반으로 스팸 메일을 차단하는 알고리즘을 사용함으로써, 효과적으로 스팸 메일을 걸러낼 수 있다. 이는 사용자의 편의성 향상과 온라인 환경 개선에 크게 기여할 것으로 보인다.
1.4. 바이러스 검사와 정확성
바이러스 감염 유무를 감염 검사로 알아내곤 한다. 이때, 검사지의 정확도가 99%라면 모두가 의심 없이 결과를 믿겠지만 실제로는 그렇지 않을 수 있다. 감염확률이 0.01%인 바이러스를 검사 정확도가 99%인 검사지로 100만 명이 검사를 했다고 가정해볼 때, 음성 판정이 나왔지만 실제로는 1명이 바이러스의 감염자인 것이다. 이렇기 때문에 2~3차례의 재검사가 필요한 것이다. 또한, DNA검사에서도 마찬가지이다. 아무리 정확도가 100%에 가깝다고 해도 완벽한 검사는 존재할 수 없다.
1.5. 확률 발전의 목적 이해
확률의 발전 목적은 결코 완벽하게 작동하는 시스템을 만드는 것이 아니라, 물질의 본질을 이해하기 위한 것이다. 코넬 대학교의 리처드 듀렛 박사의 인터뷰에 따르면, 우리가 확률에 열광하는 이유는 미래를 예측하고 싶은 욕구 때문이며, 이를 이해하기 위해 확률이라는 학...
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