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1. 시그모이드 함수(로지스틱 방정식)를 활용한 생명현상 분석
1.1. 로지스틱 방정식 활용1: 개체군의 생장곡선
개체군이란 특정 시기에 주어진 지역에서 서로 상호작용하는 한 종의 개체들로 구성되고 밀도, 성비, 연령구조, 출생률, 이입률, 사망률, 이출률 등 다양한 고유 특성을 갖는 단체를 의미한다. 이러한 개체군의 개체수의 증가 곡선을 나타낸 것이 개체군의 생장곡선이다.
자연 상태에서 개체군의 크기는 출산과 사망, 종 내 상호작용 등에 의해 변화한다. 출산율이 사망률보다 크면 개체군의 크기가 증가하고, 반대인 경우 개체군의 크기가 감소하게 된다. 개체군의 성장은 군집구조의 변화를 초래하기 때문에 개체군의 변화는 생태연구에 매우 중요한 요소이다.
개체군이 성장하는 곡선인 성장곡선은 지수 성장곡선(J)와 로지스틱 성장곡선(S) 두 가지가 있다. 지수 성장곡선의 경우 특정 개체군에게 알맞은 먹이, 서식 환경 등이 제한이 없고 다른 종과의 상호작용, 환경 수용력 등에 영향을 받지 않는 이상적인 경우 적용된다. 이 곡선의 경우 J자형을 그리며 기하급수적으로 증가하게 된다.
반면, 로지스틱 성장곡선은 서식지의 공간제약과 먹이 양 등의 영향을 받게 된다. 자원이 제한되어 먹이 경쟁, 서식지 경쟁 등에 의해 개체군이 기하급수적으로 계속 증가할 수 없게 된다. 따라서 개체수 증가율은 개체수가 증가함에 따라 감소하는 경향을 띠게 된다. 한정된 환경속에서 개체군이 성장하게 되면 환경수용력 K를 갖게 되고, 이 환경수용력은 개체수가 환경수용력에 도달하게 되면 더 이상 개체수는 증가하지 않는 것을 의미한다.
이 때 개체군의 증가율을 a-bN으로 가정하면 다음 (dN/dt)/N = a-bN을 만족하게 된다. 이 성장곡선에서는 dN/dt = 0 과 N = K를 만족하게 된다. 이 두 식을 정리하게 되면 (dN/dt)/N = r-r * N/K이다. 이 미분방정식을 정리하게 되면 Nt = K/(1+C * e^(-rt))이다. 여기서 C에 대해 정리하게 되면 C = (K – No)/N0 를 로지스틱 성장곡선이라 한다.
결과적으로 개체군의 성장은 지수 성장곡선과 로지스틱 성장곡선 두 가지 모델로 나타낼 수 있음을 알 수 있다. 지수 성장곡선의 경우 서식지, 먹이 등 다양한 제약 조건이 없는 이상적인 조건에서의 성장곡선이고, 일반적으로 적용되는 성장곡선의 경우 로지스틱 성장곡선이다.
1.2. 로지스틱 방정식 활용2: 효소의 반응속도 그래프
로지스틱 방정식의 K가 생장곡선에서는 한계 수용력이었다면, 기질의 농도-반응속도 그래프 에서의 K는 효소가 기질과 모두 결합했을 때의 반응속도라고 할 수 있다. 기질과 결합할 수 있는 효소의 수가 한정되어 있기 때문에 기질의 농도를 계속 높여도 특정 한계치에서는 반응속도가 일정한 값을 가진다.
생명과학2 시간에 배운 그래프는 일반효소 그래프이다. 하지만 로지스틱 곡선과 비슷한 아로스테릭 효소 그래프의 효소는 일반 효소와 달리 결합 부위가 2개라고 한다. 하나는 기질과의 결합부위지만 나머지 하나는 리간드(ligand)라고 하는 물질인데, 리간드가 효소에 결합하면 효소의 구조가 바뀌어 기질과 결합하지 못하는 저해효과(아로스테릭 효과)가 나타난다. 생명과학2 내용을 토대로 보면 위의 리간드는 비경쟁적 저해제임을 알 수 있다. 결론적으로 일반 효소는 저해효과를 고려하지 않은 곡선인 것 같고, 아로스테릭 효소는 리간드라는 저해 요인까지 고려했을 때의 곡선인 것으로 예상된다.
1.3. 로지스틱 방정식 활용3: 전염병 예측
전염병은 전염력이 강하여 쉽게 감염되는 질병으로, 많은 사람의 생명을 위협하기도 한다. 이는 바이러스가 번식하는 과정으로 간주할 수 있다. 전염병의 전파 양상은 적절한 생태학 모델인 로지스틱 방정식으로 나타낼 수 있다.
인간의 개체 수는 한정되어 있고 방역이나 마스크 등 바이러스 입장에서는 번...
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