본문내용
1. 기하학의 역사
1.1. 공간 개념의 발전
1.1.1. 이집트와 바빌로니아의 실용적 기하학
이집트와 바빌로니아의 실용적 기하학이다.
인류는 이미 역사 이전부터 수를 세고 계산을 하고 세금을 매기고 거스름돈을 주고받았다. 그러나 계산을 위해 어느 정도의 추상 능력이 요구되기 때문에, 수로 연산을 한다는 생각은 훨씬 더 늦게 생겨났다. 추상적인 수는 기원전 6000년에서 5000년 사이 나일 강 주위의 사람들이 유목생활을 버리고 계곡을 경작하면서 발전했다.
이집트인들은 매년 6월 중순에 강물이 솟아올라 강 바닥을 채운 후 비옥한 토양을 계곡 전역에 퍼뜨리는 나일 강의 범람에 의존해 살았다. 이들은 관개 시설과 곡물저장시설을 건설하고, 소형선박 제조나 금속세공 같은 간단한 공업 기술을 터득했다. 또한 문자를 발명했는데, 이집트인들의 삶에서 정착과 부의 축적에 더불어 세금이 생겨났다.
정부는 그 해의 범람 높이와 소유한 토지의 면적을 기준으로 세금을 부과했다. 이에 따라 이집트인들은 정사각형, 직사각형, 사다리꼴 등의 면적을 계산하는 방법을 개발했다. 원의 면적을 계산하기 위해서는 근사적으로 지름의 8/9를 한 변으로 하는 정사각형의 면적을 계산했는데, 실제보다 큰 값이 나오지만 오차는 0.6퍼센트에 불과했다.
기원전 2580년 피라미드를 건설할 때에는 밑면이 정사각형이고 옆면은 삼각형인 건축물을 세워야 했다. 높이가 146미터이며 개당 무게가 2톤 이상인 돌들을 쌓아야 했는데, 이를 위해 이집트인들은 밧줄을 당기는 사람을 이용해 삼각형을 만들어 측정했다. 오늘날 우리는 이 방법이 정확하지 않다는 것을 알고 있지만, 당시 이집트인들에게는 이러한 기하학적 기술이 매우 발전된 분야였다.
한편, 페르시아 만 북부에 살던 사람들이 남쪽의 이웃 부족들을 정복하면서 바빌로니아 문명이 발전했다. 바빌로니아인들의 수학적 지식은 아시리아 지역의 유적에서 발견되었는데, 이들은 이집트인들보다 훨씬 더 정교한 수학 체계를 남겼다.
바빌로니아의 기술자들은 운하를 팔 때 운하의 단면이 사다리꼴임을 생각하여 파내야 할 흙의 양을 계산했고, 하루 동안 한 사람이 파낼 수 있는 양을 고려해 몇 사람이 며칠 동안 일해야 하는지를 알아냈다. 또한 바빌로니아의 금융업자들은 심지어 복리 계산을 했다.
이처럼 이집트와 바빌로니아의 기하학은 실용적인 목적에서 발전했다. 이들은 다양한 기하학적 기술을 개발했지만, 그 이면의 원리를 탐구하는 데에는 관심이 없었다. 반면 그리스인들은 기하학의 체계화와 추상화에 더 많은 관심을 보였다..
1.1.2. 그리스의 기하학 혁명
그리스의 기하학 혁명이다. 그리스인들은 물리적 세계를 수학적으로 표현하는 방법을 개발하면서 기하학의 발전을 주도했다. 그들은 기하학의 대상을 돌멩이나 모래와 같은 물리적 실체에서 점, 선, 면과 같은 추상적인 개념으로 발전시켰다. 또한 기하학 명제들을 엄격한 논리적 체계 안에서 증명하고자 했다.
탈레스는 실용적인 방법으로 기하학 문제를 해결하다가 나아가 수학적 증명을 시도했다. 그는 대표적인 사례인 피라미드 높이 측정을 통해 확실한 수학적 원리를 발견했다. 이는 기하학의 추상화와 체계화를 위한 첫 발걸음이었다.
피타고라스는 기하학을 더욱 발전시켰다. 그는 수에 대한 연구를 통해 기하학의 기본 개념을 정립했다. 피타고라스가 이끈 피타고라스파는 수와 기하학의 관계를 밝혀냈으며, 수의 중요성을 강조했다. 그들은 정수와 기하학적 모양의 연관성을 발견하고, 피타고라스 정리와 같은 핵심 정리를 증명해냈다.
그러나 피타고라스파는 무리수의 발견으로 큰 시련을 겪었다. 정수로는 표현할 수 없는 무리수의 존재로 인해 그들의 수학관이 위협받았기 때문이다. 이들은 무리수의 발견을 비밀로 유지하고자 했지만, 결국 그 비밀이 드러나면서 피타고라스 학파는 몰락하게 된다.
이후 유클리드는 기하학을 체계적으로 정립했다. 유클리드는 기하학의 기본 개념을 정의하고, 공리와 공리로부터 연역적으로 도출된 정리들의 논리적 체계를 구축했다. 이를 통해 기하학을 하나의 완결된 학문으로 발전시켰다. 유클리드의 기하학은 수 세기 동안 수학의 표준이 되었다.
그리스의 기하학 발전은 단순한 측정과 계산을 넘어 추상화와 체계화를 이루어냈다는 점에서 혁명적이었다. 그리스인들은 기하학을 물리적 실체를 넘어선 순수한 추상 개념으로 발전시켰고, 이를 엄밀한 논리 체계 안에서 다루고자 했다. 이를 통해 기하학은 하나의 독립적인 학문 분야로 자리잡을 수 있었다.
1.2. 피타고라스와 수의 발견
1.2.1. 피타고라스의 수학과 철학
피타고라스는 이집트에서 기하학을 비롯한 수학 지식을 익혔으며, 이를 토대로 자신만의 독특한 수학과 철학 체계를 확립했다.
피타고라스의 수학과 철학의 핵심은 '수의 신비화'이다. 그는 모든 것이 수로 설명될 수 있다고 믿었으며, 특정한 수와 관념을 결합시켰다. 예를 들어 1은 이성, 2는 의견, 4는 정의와 각각 결합되었다. 또한 피타고라스는 홀수를 남성, 짝수를 여성에 비유하는 등 수에 대한 신비주의적 사고방을 가지고 있었다.
피타고라스 추종자들은 이러한 수학과 철학을 바탕으로 종교적 공동체를 설립했다. 이들은 비밀을 지키는 것을 중시했는데, 이는 피타고라스 자신이 이집트 사제들의 비밀 의식을 경험했기 때문으로 보인다. 또한 반발을 일으킬 만한 혁명적 사상을 드러내지 않기 위한 목적에서였을 수 있다.
피타고라스주의자들은 수를 기하학적으로 표현하는 데에 능했다. 그들은 정수를 조약돌이나 점으로 배열하여 정사각형이나 삼각형과 같은 기하학적 모양을 만들어냈다. 이를 통해 수와 기하학의 관계를 깊이 탐구했다.
그러나 피타고라스와 그의 추종자들은 무리수의 발견에 큰 어려움을 겪었다. 단위 정사각형의 대각선의 길이가 정수나 분수로 표현될 수 없다는 사실은 그들에게 큰 정신적 충격이었다. 이는 수와 기하학의 완벽한 일치라는 그들의 신념에 위배되는 것이었기 때문이다. 피타고라스는 이 문제에 대해 해답을 찾지 못하고, 무리수의 존재를 인정하지 않으려 했다.
결국 피타고라스와 그의 추종자들의 수학과 철학은 당대의 혁명적인 사상이었지만, 무리수의 발견으로 인해 근본적인 딜레마에 봉착하게 되었다. 이는 수학과 철학의 관계에 대한 새로운 인식을 요구하는 계기가 되었다.
1.2.2. 무리수의 발견과 논란
피타고라스주의자들은 정수를 특정한 기하학적 모양을 이루도록 배열한 조약돌이나 점으로 나타냈다. 그들은 어떤 수들의 경우 조약돌을 같은 간격으로 두 개씩 두 줄로, 또는 세 개씩 세 줄 등으로 정사각형 모양을 이루도록 배열함으로써 얻을 수 있다는 것을 발견했다. 그들은 이런 식으로 조약돌을 배열하여 얻는 수를 '제곱수'라고 불렀다.
피타고라스주의자들은 또한 조약돌을 각각의 가로줄에 하나, 둘, 셋 등 하나씩 놓아 전체가 삼각형이 되도록 할 때 얻는 수도 발견했다. 3, 6, 10 등이 그런 '삼각수'들이다. 이러한 성질들은 피타고라스를 매혹시켰는데, 제곱수들이 연속하는 홀수들의 합과 같은 반면에, 삼각수들은 짝수, 홀수에 관계 없이 연속하는 수를 모두 합한 것과 같다는 것을 발견했다. 또한 제곱수와 삼각수 사이에도 일정한 관계가 성립한다. 한 삼각수를 인접한 앞이나 뒤의 삼각수와 합하면 제곱수가 된다.
이처럼 피타고라스와 추종자들은 여러 수학적 발견을 했지만, 그들이 발견한 피타고라스 정리는 모든 직각삼각형에서 성립하는 것임에도 불구하고 그들은 이를 수로 표현하는 문제에 곤란을 겪었다. 왜냐하면 단위 정사각형의 대각선의 길이가 "정수나 분수로 나타낼 수 없는" 무리수라는 사실을 깨달았기 때문이다.
피타고라스주의자들에게 무리수의 발견은 큰 충격이었다. 그들은 모든 것이 수로 설명될 수 있다고 믿었던 터였기 때문이다. 무리수의 존재는 그들의 신념을 위협했다. 그들은 이 사실을 누설하는 것을 금지하고 숨기려 했지만, 결국 이 문제가 밝혀지게 되었다.
무리수에 대한 피타고라스주의자들...
