소개글
"세상을 바꾸는 아름다운 수학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
1.1.2. 베이즈 정리
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
1.2.2. 베이지안 추론 과정
2. 수학의 아름다움과 삶에의 적용
2.1. 수학과 삶의 연관성
2.2. 수학을 통한 인간의 삶 성찰
2.3. 수학이 인간 문명의 근간이 되는 이유
3. 위대한 수학자 오일러
3.1. 오일러의 생애
3.2. 오일러의 수학적 업적
3.2.1. 한붓그리기 문제와 오일러의 정리
3.2.2. 다양한 수학적 표현의 확립
3.2.3. 다면체에 대한 오일러의 법칙
3.2.4. 오일러의 공식
4. 참고 문헌
본문내용
1. 베이즈의 정리와 베이지안 추론
1.1. 베이즈의 정리
1.1.1. 조건부 확률
일반적인 사회현상을 살펴보면 많은 변수들이 존재한다. 과학실험과 같이 여러 변수들을 통제하고 조사 및 분석을 할 수 없고, 두 가지 이상의 사건에 대해서 하나의 조건이 발생했다는 전제 하에 다른 조건이 발생하는 경우가 많다. 즉 실험에 관련된 두 사건 A와 B에 있어서 일반적으로 사건 A가 일어났는지, 일어나지 않았는지에 따라 사건 B가 일어날 확률이 달라진다"" 이를 조건부확률이라고 한다.
표본공간 S의 부분집합 사건 A와 B에 대하여, 사건 A가 발생한 후에 B가 발생한 경우의 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
P(A｜B) = {COLOR {0,0,0} {P(B?A)} P(A)} over {COLOR {0,0,0} {P(B)}} (P(B)>0)
여기서 P(A｜B)는 사건 A가 발생했다는 조건 하에서 사건 B가 발생할 확률이며, P(B｜A)는 사건 B가 발생했다는 조건 하에서 사건 A가 발생할 확률을 의미한다. P(A)와 P(B)는 각각 사건 A와 사건 B의 확률을 나타낸다.
이처럼 조건부 확률은 특정 사건이 다른 사건의 발생에 따라 그 확률이 달라질 수 있음을 보여주는 개념이다. 이는 현실 세계에서 일어나는 많은 현상들을 이해하고 분석하는 데 중요한 기초가 된다""
1.1.2. 베이즈 정리
베이즈 정리는 조건부 확률의 개념을 통해 사전확률을 사후확률로 업데이트하는 방법을 제공하는데, 이는 새로운 실험 결과에서 나온 정보를 이용하여 어떤 사건의 처음 확률을 개선시킬 수 있다는 것을 의미한다"".
베이즈 정리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. P(A|B) = {P(B|A) * P(A)} / P(B). 여기서 P(A)는 사전확률로 "사건 A가 발생한다"라는 명제에 대한 "믿음의 정도"를 확률값으로 할당한 값이다. P(B)는 증거로 측정을 통해 얻어진 B가 발생할 확률이다. P(B|A)는 가능도로 "사건 A가 발생한다"라는 명제가 성립할 때의 B가 나타날 수 있는 조건부 확률이다. P(B|A)와 P(A), P(B)를 통해 얻어지는 P(A|B)는 사후확률로 B라는 증거가 관찰된 후의 명제에 대한 확률이며, 증거를 보고서 변화된 믿음의 정도를 의미한다"".
따라서 베이즈 정리는 사전에 추정한 확률을 새로운 정보로 업데이트함으로써 확률적 추론을 가능하게 해준다. 이는 불확실성이 높은 상황에서 의사결정을 내리는 데 유용한 방법론이 될 수 있다"".
1.2. 베이지안 추론
1.2.1. 베이지안 추론의 개념
베이지안 추론의 개념은 과거의 경험과 새로운 정보를 바탕으로 어떤 사건이나 대상에 대한 믿음의 정도를 계량화하여 확률로 표현하는 방식이다. 베이지안 추론에서는 참이 되는 가설(H)에 대한 사전 확률(P(H))과 새로운 증거(E)가 관찰될 확률(P(E|H))을 기반으로 가설의 사후 확률(P(H|E))을 계산한다.
즉, 베이지안 추론은 P(H|E) = (P(E|H)P(H))/P(E)의 식에 따라 주어진 증거를 바탕으로 가설의 확률을 업데이트하는 것이다. 이처럼 베이지안 추론은 새로운 정보가 주어질 때마다 확률 분포를 수정해나가면서 가설에 대한 믿음의 정도를 점차 개선해 나가는 지속적인 학습 과정이라고 볼 수 있다.
따라서 베이지안 추론은 사전 정보와 새로운 증거를 융합하여 불확실성을 줄이고 보다 나은 의사 결정을 내리는 데 유용하게 활용될 수 있다. 특히 초기 정보가 부족하거나 복잡한 상황에서 베이지안 접근법은 합리적인 추론을 가능하게 해준다는 점에서 그 의의가 크다고 할 수...
참고 자료
토머스 베이즈 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)
조연우. "조건부확률과 응용에 관한 연구." 국내석사학위논문 단국대학교, 2005. 서울
베이지안 추론 (naver.com)
베이지안 추론(1) · ratsgo's blog
Lee, S.-L., Yoo, B. J., Youn, S., Bang, S.-H., & Jung, J.-W. (2021). A Study on the War Simulation and Prediction Using Bayesian Inference.The Journal of the Korea Contents Association,21(11), 77–86.
맹기완, 야밤의 공대생 만화, 뿌리와 이파리, 2017
E. T bell, 김종철 역, 고독한 천재들, 지앤지, 2006
김화영, 교과서를 만든 수학자들, 글담, 2005
와쿠이 요시유키, 김정환 역, 수학 사전, 그린북, 2017
1
2
3
4
5
6
7
8