본문내용
1. Euclid 기하학과 비Euclid 기하학
1.1. Euclid 기하학
1.1.1. 기하학의 기반
기하학은 그리스어의 'geometrie'에서 유래한 것으로, 점, 선, 면 등 기하학의 기본 대상들과 이들 사이의 관계를 연구하는 학문이다. 고대 그리스 시대부터 발전해 온 기하학은 오랜 역사를 가지고 있으며, 인류 문명 발전의 중요한 기반이 되어 왔다.
기하학의 발달사에서 주목할 만한 인물들은 다음과 같다. 먼저 탈레스는 연역적 추론에 의해 기하학적 명제들이 전개되어야 한다는 점을 강조하였다. 피타고라스는 논리적 기하학의 체계화를 시도하였고, 무리수를 발견하였으나 은폐하였다. 히포크라테스는 평면기하학의 체계적 기초를 세웠고, 그의 저서 "원론"은 유클리드의 후대에 큰 영향을 미쳤다.
기하학의 기반을 확립한 가장 대표적인 인물은 유클리드이다. 유클리드는 기원전 300년경에 "원론"이라는 책을 저술하여 기하학의 체계화에 기여하였다. 그는 공리적 방법(axiomatic method)을 사용하였는데, 이는 공리(axiom) 또는 공준(postulate)의 필요성을 강조하는 것이다. 공리 또는 공준이란 더 이상 그 정당성을 보일 필요가 없는 기본적인 명제를 인정하는 것이다.
유클리드의 "원론"에는 다섯 개의 무정의 용어(점, 직선, 합동, 사이, 위에 있다)와 다섯 개의 공준이 등장한다. 특히 유클리드의 첫 네 개의 공준은 기하학의 기본이 되는 중요한 개념들을 정의하고 있다. 이를 통해 유클리드 기하학은 연역적 체계를 갖추게 되었고, 유클리드의 기하학은 2천 년 동안 절대적인 진리로 받아들여졌다.유클리드의 공리와 정의에 대해 좀 더 살펴보면 다음과 같다. 첫 번째 공준은 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재한다는 것이다. 이 공준은 선분의 정의와 연결된다. 선분 AB는 두 점 A, B와 이들을 지나는 직선 dyad{AB} 중 A와 B 사이에 있는 점들의 집합이다. 두 번째 공준은 두 선분이 합동(congruent)일 때 이들 사이에는 유일한 점 E가 존재한다는 것이다. 이는 원의 정의와 관련된다. 원 O는 중심이 O이고 반경이 OA인 모든 점 P의 집합이다. 세 번째 공준은 두 점 사이에 원이 존재한다는 내용이다. 네 번째 공준은 모든 직각은 서로 합동(congruent)이라는 것이다.
이처럼 유클리드는 기하학의 기본이 되는 개념들을 공리와 정의를 통해 체계적으로 제시하였다. 이러한 유클리드 기하학의 공리적 구조는 기하학 발전의 기반이 되었다고 평가받고 있다.
1.1.2. Euclid의 공리와 정의
Euclid의 공리와 정의는 기하학의 기반을 이루는 중요한 개념이다. Euclid는 기하학의 체계화를 위해 공리적 방법(axiomatic method)을 사용했는데, 이는 단계적으로 추론을 통해 기하학적 명제들을 전개해 나가는 방식이다.
Euclid는 총 13권의 "원론"이라는 저서에서 5개의 무정의 용어(point, line, lie on, between, congruent)와 이들에 대한 정의, 그리고 처음 네 개의 공준을 제시했다. 무정의 용어는 정의할 수 없는 기본 개념들로, 순환논리에 빠지지 않기 위해 도입되었다.
Euclid의 처음 네 개 공준은 다음과 같다. 첫째, 임의의 두 점을 지나는 직선이 유일하게 존재한다. 둘째, 임의의 두 선분에 대해 B가 A와 E 사이에 있고 선분 CD와 선분 BE가 합동인 점 E가 유일하게 존재한다. 셋째, 임의의 서로 다른 두 점 O, A에 대해 중심이 O이고 반경이 bar{OA}인 원이 존재한다. 넷째, 모든 직각은 서로 합동이다.
이와 함께 평행선 공리(Parallel Axiom)가 제시되었는데, 이는 한 직선 l과 l 위에 있지 않는 한 점 p가 주어졌을 때 p를 지나서 l과 평행인 직선 m이 유일하게 존재한다는 것이다.
이처럼 Euclid는 기하학의 기본 개념과 공리를 체계적으로 정립함으로써 연역적 추론에 의해 기하학적 명제들을 전개할 수 있는 토대를 마련했다. 이는 기하학 발전의 중요한 이정표가 되었다.
1.2. 비Euclid 기하학
1.2.1. 평행선 공리의 한계
유클리드 기하학은 오랜 세월 동안 절대적인 진리로 여겨졌지만, 그 근간이 되는 평행선 공리에 대한 의문이 지속적으로 제기되었다. 평행선 공리는 다른 공리들에 비해 상대적으로 직관적이지 않고 복잡한 성격을 지니고 있었기 때문이다.
평행선 공리는 "한 직선 l과 l위에 있지 않는 한 점 p가 주어졌을 때 p를 지나서 l과 평행인 직선 m이 유일하게 존재한다"는 내용을 담고 있다. 이는 우리가 일상생활에서 경험하는 바와 일치하는 것처럼 보이지만, 엄밀한 수학적 증명이 쉽지 않았다. 유클리드는 이 공리를 증명하지 않고 그대로 받아들였는데, 이로 인해 수학자들 사이에서 평행선 공리에 대한 의문이 지속적으로 제기되었다.
예를 들어, 사케리(Girolamo Saccheri, 1667-1733)는 평행선 공리를 부정하고 새로운 기하학을 만들고자 했다. 그는 평행선 공리를 대신할 수 있는 대체 공리를 찾고자 했지만, 결국에는 유클리드의 평행선 공리가 옳다는 결론에 도달했다. 당시 수학자들은 평행선 공리를 완전히 배제할 수 없었던 것이다.
이러한 한계에도 불구하고 수학자들은 계속해서 평행선 공리에 대한 연구를 진행했다. 가우스, 로바체프스키, 볼리아이 등의 수학자들은 평행선 공리를 근본적으로 재검토하고 새로운 기하학을 만들어냈다. 이들은 평행선 공리를 거부하고 유클리드 기하학과 모순되는 공리를 도입하여 새로운 비 유클리드 기하학을 정립했다. 이는 유클...
