소개글
"미적분 생명과학"에 대한 내용입니다.
목차
1. 반응 속도와 미적분
1.1. 화학반응과 미적분
1.2. 효소반응 속도와 미적분
1.3. 개체군 성장 곡선과 미적분
2. 질병 모델링과 미분방정식
2.1. SIR 모델을 통한 감염병 예측
2.2. SEIR, MSEIR, MSEIRS 모델
3. 생명현상 분석을 위한 수학적 도구
3.1. 삼차 스플라인 보간법
3.2. 시그모이드 함수와 로지스틱 방정식
3.3. 생물학적 현상 모델링에의 활용
4. 참고 문헌
본문내용
1. 반응 속도와 미적분
1.1. 화학반응과 미적분
화학반응과 미적분은 우리 일상생활에서 주변에서 일어나는 반응 중 대부분을 차지하고 있다. 연소반응, 계란과 고기 등을 익혀 먹을 때, 빵을 구울 때 등 우리 주변에서 많은 화학반응을 볼 수 있다. 이런 반응들은 평소에 우리에게 익숙해진 반응이라 화학반응임을 인지하지 못하고 지나치게 된다.
하지만 우리 몸속에도 화학반응이 끊임없이 일어나고 있다. 우리 몸속에는 태어나서부터, 심지어 태어나기 전인 수정이 되는 과정에서부터 화학반응이 일어나기 시작한다. 정자와 난자가 만나 다른 정자가 들어오지 못하게 방어벽을 만드는 것조차 화학반응이다. 이렇게 사람은 생명이 탄생하는 순간부터 화학반응들 속에서 살아가게 된다.
이 글을 쓰는 지금도 우리 몸속에서는 많은 화학반응이 일어나고 있는데, 이런 화학반응에서 미적분의 개념이 쓰인다는 사실을 알게 되었다. 바로 반응속도(rate)이다. 반응속도는 일정한 시간동안 일어난 농도 변화량을 시간으로 나눈 값이다.
예를 들어 포도당의 분해 반응은 C6H12O6 + 2NAD+ + 2ADP + 2P -> 2피부르산 + 2NADH + 2H+ +2ATP + 2H2O의 화학식을 갖는다. 이 때 반응속도는 k * [C6H12O6]^m * [NAD]^n * [NAD]^l * [ADP]^p * [P]^q 이다. 즉, 반응속도는 반응물의 농도에 비례하게 된다.
또한 화학반응들은 반응물의 농도에 따라 0차, 1차, 2차 반응으로 구분된다. 0차 반응의 경우 반응속도는 Rate = dA/dt = -K 이고, 1차 반응의 경우 Rate = dA/dt= -k[A] 이며, 2차 반응의 경우 rate = dA/dt = -k[A]^2 이다. 이러한 반응속도 식들을 시간에 대하여 적분하면 각 반응의 농도-시간 관계식을 얻을 수 있다.
따라서 화학반응의 속도를 미적분학 관점에서 살펴보면, 주변에서 흔히 일어나는 다양한 화학반응들은 모두 미적분학 개념이 포함된 반응속도를 수반한다는 것을 알 수 있다. 또한 반응속도에는 0차, 1차, 2차 등 여러 종류의 속도가 있다는 것도 알 수 있다."
1.2. 효소반응 속도와 미적분
효소반응 속도와 미적분은 생명현상에서 중요한 역할을 한다. 효소는 기질과 결합하여 반응을 촉진시키는 단백질로, 기질의 농도에 따라 반응속도가 달라진다. 반응속도는 일정 시간 동안 반응물의 농도 변화량을 시간으로 나눈 값으로 나타낼 수 있는데, 이때 미적분의 개념이 적용된다.
효소반응 속도를 나타내는 가장 대표적인 식은 미클라엘리스-멘텐 방정식이다. 이 방정식은 기질의 농도[S]와 반응속도 v의 관계를 나타내는데, v = Vmax[S] / (Km + [S])의 형태를 가진다. 여기서 Vmax는 최대 반응 속도를, Km은 기질의 농도가 Vmax의 절반일 때의 농도를 나타낸다. 이 방정식은 기질 농도가 증가할수록 반응 속도가 증가하지만, 어느 수준 이상이 되면 더 이상 증가하지 않는 효소반응의 특성을 잘 보여준다.
미클라엘리스-멘텐 방정식은 미분을 통해 분석할 수 있다. 우선 v에 대해 미분하면 dv/d[S] =...
참고 자료
비상 미적분 교과서 p73 / p113
이와사 요, 김윤진 외 옮김, “수리 생물학 입문”
강혜정, 생명과학을 위한 수학
미생물학 입문 / Benjamin. S. Weeks / 월드사이언스 / 2013 / p.172~173
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function
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