본문내용
1. 지수함수로 보는 타이레놀의 혈중 농도 차이
1.1. 주제 선정 동기
수학1 자유과제3에서 지수함수의 활용문제를 만들었을 때 나의 진로분야인 약학과 관련된 수학 공식을 찾아보다가 지수함수를 이용한 약물의 혈중 농도 공식을 알게 되었고, 이를 사용해서 타이레놀의 흡수에 관한 문제를 만들고 변형했었다. 당시 내용을 조사할 때보다 좀 더 자세하게 비교하고 싶어서 주제를 선정하게 되었다.
1.2. 연구 내용
1.2.1. 약물의 혈중농도 그래프
약물을 섭취한 후 시간에 따른 약물의 농도를 나타내는 약물의 혈중농도 그래프에서는 약물의 최고 혈중농도를 Cmax로 표현하며, 최고 혈중농도 도달시간을 Tmax로 말한다. 그래프의 아래쪽 면적을 AUC라고 하는데, AUC가 클수록 몸속에서 약이 많이 이용되었다고 판단한다. 의약품이 약효를 발휘하기 위해서는 혈액 속에서 어느 농도 이상, 즉 AUC가 차지하는 면적이 어느정도 이상을 유지해야한다. 약물이 체내에 들어가면 농도가 Cmax이후 서서히 낮아지기 시작하며, 처음 농도에 비해 농도가 절반으로 줄어들기까지 걸리는 시간을 약물의 반감기라고 한다. 약물의 반감기는 고유한 성질로 항상 일정하다.
약물의 혈중농도 공식은 지수함수의 형태로 나타낼 수 있으며, 일반적으로 C=C0*e^(-kt) 와 같이 표현된다. 여기서 C는 당시의 혈중농도, C0는 초기 혈중농도, e는 자연로그의 밑, k는 소실 속도 상수, t는 경과 시간을 나타낸다. 이를 통해 일정 시간 경과에 따른 약물의 혈중농도 변화를 예측할 수 있다.
실제 약물의 경우, 반감기의 차이로 인해 일반형과 서방형의 혈중농도 그래프가 다르게 나타난다. 일반형은 반감기가 4시간 정도로 빨리 농도가 떨어지지만, 서방형은 반감기가 8시간 정도로 더 오래 약효가 지속된다. 따라서 일반형은 신속한 약효에, 서방형은 지속적 약효에 사용된다. 이와 같이 약물의 특성에 따라 적절한 복용 방법을 선택하는 것이 중요하다.
1.2.2. 약물의 혈중 농도 공식의 예시
약물을 섭취한 후 약물의 최고 혈중농도를 Cmax로 표현하며, 최고 혈중농도 도달시간을 Tmax로 말한다. 이때 그래프의 아래쪽 면적을 AUC라고 칭하며, 그것이 클수록 몸속에서 약이 많이 이용되었다고 판단한다. 예를 들어 혈중 농도의 반감기가 6시간인 약을 먹었을 때 초기 혈중 농도가 200(㎍/mL)일 경우, 12시간 후의 혈중농도를 구해보면 다음과 같다. 반감기가 6시간이므로 반감기일 때의 상태를 식에 적용해보면 t는 6, 혈중 농도는 최고 농도의 절반이므로 C=100이다. 이 식을 다시 대입하면 100=200 TIMES e^{-6k}이다. 따라서 12시간 후의 혈중 농도는 C=200 TIMES (1/2)^2=50(㎍/mL)이다. 이 약의 경우, 약을 먹고 12시간이 지나면 혈중 농도가 최초 농도의 1/4이 되는 것이다. 이처럼 약물의 혈중 농도 공식은 지수함수를 활용하여 나타낼 수 있으며, 반감기에 따라 약물의 농도가 감소하는 것을 확인할 수 있다.
1.2.3. 약물의 혈중농도 공식 - 타이레놀 적용
타이레놀 일반형과 타이레놀 이알형의 약물 혈중 농도 차이는 반감기의 차이에 기인한다. 타이레놀 일반형의 반감기는 4시간, 타이레놀 이알형의 반감기는 8시간이다.
초기 혈중 농도 Cmax가 200(㎍/mL)라고 가정하면, 타이레놀 일반형의 경우 4시간 후 혈중 농도가 100(㎍/mL)이 된다. 이는 e^(-4k)=1/2이므로 k=0.173이다.
한편 타이레놀 이알형의 경우 8시간 후 혈중 농도가 100(㎍/mL)이 되므로 e^(-8k)=1/2이고, k=0.0866이다.
따라서 동일한 시간이 경과할 때 타이레놀 이알형의 혈중 농도가 더 높게 유지된다. 이를 통해 타이레놀 이알형은 반감기가 길어 약효가 더 오래 지속된다는 것을 알 수 있다.
1.2.4. 타이레놀 약물 혈중 농도 그래프 비교
초록색 - 타이레놀 일반형, 빨간색 - 타이레놀 이알형의 그래프를 비교해 보면 약을 섭취한 후 같은 시간일 때 타이레놀 이알형이 혈액 속의 약물 농도가 더 높은 것을 알 수 있다. 이를 통해 타이레놀 이알형은 반감기가 길어 더 오래 약효가 지속되는 것을 알 수 있다. 따라서 일반형은 신속한 약효에, 이알형은 지속적 약효로 사용된다고 할 수 있다. 실제로 이알형은 Cmax의 값이 일반형보다 작아 부작용이 적고 안정한 약이다. 이처럼 약물의 혈중 농도 그래프는 약물을 몇 번 투여해야 하고 어느 정도 간격을 두어야 하는지를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 사람들이 약을 먹을 때 하루에 몇 번, 식전 식후 등의 복용 시간을 지켜야 한다고 하는 이유도 이러한 그래프를 통해 수학적으로 최적의 투여 방법을 도출하기 때문이다. 한편 약물의 흡수량 및 농도가 지수함수적으로 감소하는 것에 대해 주목할 만하다. 즉 약물이 200mg에서 100mg이 될 때와 20mg에서 10mg이 될...
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