본문내용
1. 서론
1.1. 주제 선정 이유
미적분을 배우기 이전에는 미분이 실생활에서 어떻게 활용되는지 전혀 알지 못했다. 그러나 고등학교 2학년 때 미적분 교과목을 학습하면서 미분의 중요성과 다양한 활용 사례를 알게 되었다. 특히 미분은 수학 교과목의 핵심 단원으로 여겨지고 있어 미분의 실생활 적용에 대한 호기심이 생겼다. 이에 미분이 실제 삶 속에서 어떻게 활용되고 있는지 자세히 살펴보고자 이 주제를 선정하게 되었다.
1.2. 미분의 필요성
수학은 연산을 비롯해 제작 공정이나 통계, 사회 및 자연과학 등 다양한 분야의 기본이 된다. 그중에서도 미분과 적분은 직관적인 이해가 어려우나 다른 학문은 물론 실생활에서도 밀접한 관련이 있어 무척 중요한 개념이다. 미분은 순간적인 변화율을 보는 것으로, 함수의 특정 지점에서 접선의 기울기와도 같다. 전체 변화율을 함수로 나타내면 도함수가 된다. 적분은 반대로 나눈 것을 쌓는 개념으로, 넓이나 부피를 측량할 때 작은 조각들을 합쳐 구하는 원리다. 따라서 미분과 적분은 변화와 변량을 이해하는 데 필수적이며, 여러 학문과 실생활에 폭넓게 활용된다. 수학을 포기하거나 수학의 필요성을 느끼지 못하는 사람도 있지만, 미분과 적분은 변화하는 세상을 이해하고 대처하는 데 없어서는 안 될 개념이다. 실제로 물리학, 자연과학 및 각종 공학에서 미적분학이 필수적으로 이용되고 있으며, 이는 변화를 이해하는 데 필요한 개념이기 때문이다. 결국 미분과 적분은 단순한 수학 개념이 아닌 실생활과 밀접한 관련이 있는 필수불가결한 요소인 것이다.
2. 본론
2.1. 미분의 개념
미분의 개념은 다음과 같다.
미분은 어떤 운동이나 함수의 순간적인 움직임을 서술하는 방법이다. 어떤 함수 f(x)가 미분가능한 경우, 함수 y=f(x)에 대해 x와 y의 증분을 각각 Δx, Δy라고 하면 {Δy} over {Δx}를 구할 수 있다. 이 식은 Δy=f'(x)Δx+εΔx로 고쳐 쓸 수 있는데, 여기서 εΔx는 Δx보다 고위의 무한소이므로 Δy의 주부분은 f'(x)Δx로 생각할 수 있다. 이것을 함수 y=f(x)의 미분이라 하고, dy로 나타낸다. 즉, dy=f'(x)dx이며, f'(x)를 미분의 계수 또는 미분계수라 한다. 또한 {dy} over {dx}=f'(x)로 표현할 수 있다. 미분계수의 기하학적 의미는 함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수 f'(a)가 곡선 y=f(x) 위의 점 (a,f(a))에서의 접선의 기울기와 같다는 것이다. 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다.
2.2. 미분의 역사
미분은 고대 그리스 시절부터 논의되어 왔다. 그리스의 철학자 제논은 아킬레스와 거북의 달리기 시합에 대한 이야기에서 공간과 시간에 관한 역설을 제시하였다. 하지만 본격적인 미적분학은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었다.
뉴턴이 미적분에 접근한 방법은 갈릴레이와 케플리의 전통에 따른 동적인 것이었다. 이러한 운동은 시간이 흐르는 가운데 실현된다. 운동을 하는 것은 독립변수인 시간에 따라서 변한다고 생각할 수 있다. 이 때문에 먼저 시간을 수학적으로 정확하게 추상화하여 균등하게 흐르는 독립된 양으로 삼는다. 그러므로 현대적으로 말해서 순간 속도를 찾기 위해서는 경로 증분의 시간 증분에 대한 비의 극한을 구해야 한다. 곧, 시간이 0으로 될 때의 '마지막 비'를 구해야 한다. 이때 소멸하는 양의 마지막 비는 결코 소멸 직전이나 직후에 생기는 비라고 생각해서는 안 된다. "마지막 비란, 그것으로 이 양들이 소멸하는 비이며, 마찬가지로 처음 비도 그것으로 이 양들이 생기는 비를 말한다." 이렇게 해서 뉴턴은 유율(도함수)의 발견에 다다랐다. 뉴턴은 두 가지 유형의 문제를 고찰하게 되는데 그중 하나가 몇 개의 변량에 관련된 관계식이...
