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1. 서론
1.1. 허수의 특징과 유래
허수는 실수가 아닌 복소수를 의미한다. 제곱하여 -1이 되는 수를 허수 단위라 하고, 이를 i로 칭한다. 영어로는 imaginary number로 불리며, a+bi의 꼴일 때 b가 0이 아니면 이를 허수라고 부른다. 여기서 a는 real Z라 불리며 실수부분을 나타내고, b는 imaginary Z로 불리며 허수부분을 나타낸다. 허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 카르다노는 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 풀기 위해 노력했고, 결국 √(-1)이라는 근을 구했다. 이로써 카르다노는 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다.
1.2. 허수의 발견
허수는 이탈리아 수학자 카르다노에 의해 처음 발견되었다. 그가 을 저술하던 도중 '두 수의 합이 10, 곱이 40이 되게하라.'라는 문제를 해결하려 노력했고, 이를 수식으로 나타내면 이다. 당시 수학자들은 이 문제에 대해 '근이 없다.', '풀 수 없다.'라고 답했지만, 카르다노는 이 문제를 해결하기 위해 노력했고, 라는 근을 구했다. 결국 그는 음수의 제곱근을 최초로 계산한 수학자가 되었다.
2. 복소평면과 복소수
2.1. 복소수와 복소평면
복소수는 실수축 x와 허수축 y로 이루어진 복소평면에 나타낼 수 있다. 복소수와 평면 위의 점 사이에는 일대일 대응이 이루어지는데, 이와 같이 복소수와의 대응이 정해진 평면을 복소평면, 가우스평면이라 부른다.
실수의 범위에서 오일러는 1에다가 -1을 곱하면 -1이 되므로 180도 회전을 하게 된다고 생각했다. 오일러는 카르다노의 영향을 받아 i에 대해서도 생각했는데, i^2 = -1이라는 것을 알고 있었기 때문에 '1에다가 i를 두 번 곱하면 180도 회전을 하게 된다.'라고 생각했다. 따라서 i를 한 번 곱하면 90도 위치, 두 번 곱하면 (-1) 180도 위치, 세 번 곱하면 (-i) 270도 위치, 네 번 곱...
