본문내용
1. 복소수 개념의 발달
1.1. 실수의 한계와 새로운 수의 필요성
수학의 발달 과정에서 실수의 적용 범위에는 한계가 존재한다. 이를 극복하기 위해 새로운 수를 도입할 필요성이 제기되었다.
중학교 때까지의 수 체계는 자연수에서 시작하여 정수, 유리수, 무리수, 실수로 점차 확장되어 왔다. 그러나 실수 범위에서는 일부 방정식의 해를 구할 수 없는 문제가 있었다. 예를 들어 x^2 + 1 = 0과 같은 방정식은 실수 해를 가지지 않는다. 이에 따라 새로운 수인 허수를 도입하게 되었고, 이를 활용하여 보다 넓은 범위의 방정식 해를 구할 수 있게 되었다.
허수의 등장으로 인해 수학자들 사이에서 논쟁이 발생하였다. 당시에는 허수가 실제로 존재하는 수인지에 대한 의문이 제기되었기 때문이다. 그러나 이후 수학의 발전과 더불어 허수는 수로서 인정받게 되었고, 이를 포함한 복소수 체계가 정립되었다.
복소수는 실수와 허수의 합으로 정의된다. 즉, 복소수는 실수 영역을 확장한 새로운 수 체계라고 할 수 있다. 복소수 개념의 정립으로 인해 수학은 보다 발전할 수 있게 되었고, 이는 공학 및 과학 분야에서도 활용되어 큰 기여를 하게 되었다.
1.2. 허수의 등장과 수학자들의 논쟁
수학자들은 이탈리아의 수학자 카르다노가 삼차방정식의 해법을 발견했을 시기부터 허수에 대하여 많은 관심을 갖게 되었다. 봄벨리는 1572년 삼차방정식을 푸는 과정에서 복소수를 생각했는데, 그는 복소수의 연산을 실제적으로 현대적인 방법으로 형식화하였지만 복소수를 쓸모없고 궤변적인 것으로 보았다. 데카르트는 그의 저서 '기하학'에서 "참인 근이나 거짓인 근(음수근)이 반드시 실수인 것은 아니다. 때로는 허수일 때도 있다."라고 말함으로써 허수(imaginary number)라는 용어를 처음 사용하긴 하였지만 이들은 수가 아니라고 논하였다.
그 후 1748년 오일러는 를 i로 나타내었으며, 복소변수 함수의 이론을 창시한 코시는 a+b와 같은 식을 수로 다루는 것을 거부하였다. 그의 저서 '해석한 강의'에서 "방정식 a+b= c+d은 a=c,b=d임을 말해준다. 모든 허수 방정식은 단지 실수인 양들 사이에 성립하는 두 방정식의 기호적 표현에 지나지 않는다."라고 했다. 또, 드 모르간은 상상적인 식과 음수적인 식 -a가 비슷한 점이 있는데, 한문제의 해로써 나타날 때, 그들은 모두 어떤 불합리성과 부적합성을 나타낸다고 했다.
그러나 가우스는 대수학의 기본정리를 증명하면서 복소수를 기하학적으로 표현하였다. 당시에는 x+yi를 실제의 점으로 나타내지 않고, 다만 x와 y를 좌표평면 위의 점의 자표로 보았다. 다른 수학자들은 복소수를 받아들이는데 망설였지만, 1831년 그는 논문에서 명백히 a+bi를 복소수 평면에서의 점으로 표현했을 뿐만 아니라 복소수의 기하학적 덧셈과 곱셈을 기술하였다. 또한, 데카르트가 사용한 '허수'라는 용어 대신에 가우스는 복소수(complex number)라는 새로운 용어를 도입하였다.
1.3. 복소수의 정의와 체계화
복소수는 실수와 허수의 합으로 이루어진 수이다. 즉, 복소수는 a+bi의 꼴로 나타내며, 여기서 a는 실수부분이고 b는 허수부분이다. 이때 ...
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