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1. 서론
1.1. 주제 선정의 배경
대학생활을 하면서 수학과 생물학 과목에서 배운 개념들 간의 연관성에 대해 관심이 생겼다. 특히 미적분 시간에 배운 그래프 그리기와 생명과학 수업에서 배운 생장곡선의 유사점을 발견하게 되었다. 이에 따라 수학적 모델인 로지스틱 함수가 실제 생명현상에 어떻게 적용되는지 궁금해졌다.
또한 코로나19 발병 초기에 다양한 전문가들이 제시한 예측 결과를 접하면서, 전염병 확산을 수학적으로 표현하는 방식에 대해 알고 싶게 되었다. 이러한 호기심을 바탕으로 '로지스틱 함수'를 주제로 심도 있게 탐구하고자 한다. 로지스틱 함수의 개념과 특징, 수학적 이해, 다양한 생명현상에의 활용 등을 살펴봄으로써 수학과 생물학의 융합을 깊이 있게 탐구할 수 있을 것이다. 아울러 실제 코로나19 확산 추이를 로지스틱 함수로 분석해봄으로써 전염병 예측 모델에 대해서도 이해도를 높일 수 있을 것이다.
1.2. 로지스틱 함수의 개념과 특징
로지스틱 함수는 생물학, 경제학, 사회학 등 다양한 분야에서 활용되는 함수이다. 이 함수는 자연 생장 과정을 수학적으로 표현한 것으로, 개체 수가 점점 빠르게 증가하다가 어느 시점 이후에는 증가 속도가 줄어들며 특정 값에 수렴하는 S자 형태의 그래프를 나타낸다.
이러한 로지스틱 함수의 특징은 실제 생물학적 개체군 성장 과정을 잘 반영한다. 초기에는 개체 수가 느리게 증가하지만 점차 증가 속도가 높아지다가 일정 수준에 도달하면 증가 속도가 감소하게 된다. 이는 환경 요인에 의한 제한 때문인데, 생물이 성장함에 따라 식량, 거주 공간 등의 자원이 한정되어 증가 속도가 감소하게 되는 것이다.
로지스틱 함수를 수학적으로 표현하면 다음과 같다. 개체 수를 y, 시간을 t라 할 때, y(t) = L / (1 + Ce^(-rt))로 나타낼 수 있다. 여기서 L은 환경 수용력으로 개체 수가 수렴하는 최대값이며, r은 내재 증가율, C는 초기 조건에 따른 상수이다. 이 식을 통해 개체 수가 시간에 따라 어떻게 변화하는지 예측할 수 있다.
로지스틱 함수의 이러한 특성은 개체군 변화, 전염병 확산, 신약 개발 등 다양한 분야에서 활용될 수 있다. 특히 생물학 및 공학 분야에서 널리 사용되며, 최근에는 코로나19와 같은 전염병 예측에도 적용되고 있다. 따라서 로지스틱 함수는 생명현상을 수학적으로 모델링하고 예측하는 데 유용한 도구라고 할 수 있다.
1.3. 연구의 필요성 및 목적
연구의 필요성 및 목적이다. 코로나 19 발병 초기에 전문가들이 각자 다른 코로나 종식시기를 예상하는 것을 보며 코로나19 바이러스의 확장을 어떻게 예측하는지 궁금하였다. 이에 전염병을 예측하는 모델인 SIR 모델에 적용된 수학적 원리(미분과 적분)와 SIR 분석에 사용되는 로지스틱 방정식에 대해 알아보고자 한다. 더 나아가 변곡점을 지난 후 완만하게 증가하며 특정 값에 수렴하게 되는 로지스틱 함수의 특징을 중심으로 직접 코로나19 누적 확진자 추이 그래프를 분석해보고자 한다. 이를 통해 수학적 모델링이 현실 세계의 문제 해결에 어떻게 활용될 수 있는지 탐구하고자 한다.
2. 로지스틱 함수의 수학적 이해
2.1. 지수 성장 모형
지수 성장 모형은 개체군의 크기가 계속해서 증가하는 J자 형태의 그래프로 나타난다. 맬서스가 제안한 지수 성장 모형에 따르면, 현재 인구를 P0, 인구 증가율을 r, 어느 한 시점 t에서의 인구를 P(t)라 할 때, P(t)=P0{e}^{rt}의 지수 함수로 나타낼 수 있다. 이는 개체군의 크기가 시간에 따라 일정한 비율로 증가한다는 것을 의미한다. 그러나 이러한 지수 성장 모형은 현실 세계에서 관찰되는 대부분의 개체군 성장 곡선과는 차이가 있다. 실제 생장 곡선은 S자 형태의 로지스틱 모형을 띠는데, 이는 환경 저항 요인으로 인해 개체군의 크기가 특정 한계점에 수렴하기 때문이다. 따라서 지수 성장 모형은 실제 생물학적 상황을 완전히 반영하지 못하며, 이를 보완하기 위해 로지스틱 모형이 제안되었다고 할 수 있다.
2.2. 로지스틱 방정식
로지스틱 방정식은 생태학에서 개체군 성장의 단순한 모델로 고안된 미분 방정식이다. 한계가 없다면 ...
