본문내용
1. 기하학의 역사 및 활용
1.1. 고대의 기하학
1.1.1. 고대 기하학의 발달
고대의 기하학은 약 기원전 5000~3000년 사이에 고대 동양 일부 지역에서 공학과 농업 및 상업적인 업무와 종교 의식을 보조하기 위한 실용적인 학문으로 등장하였다"이다. 이 당시 수학자들은 기하학의 기초를 닦았는데, 특히 많은 업적을 남긴 대표적인 학자로는 고대 그리스의 유클리드와 아르키메데스를 들 수 있다.
유클리드는 《원론》을 통해 당대에 알려진 기하학과 대수학 문제에 대한 상세한 해법과 증명을 정리하였다. 그는 자명하다고 인정할 수 있는 공준과 공리를 수립하고 이를 토대로 기하학 정리를 체계적으로 증명하여 기하학이 엄정한 논리적 체계를 갖추게 하였다. 이렇게 유클리드가 정리한 기하학은 근대에 이르기까지 수학 교과서로 활용될 만큼 영향력이 컸다.
아르키메데스는 유클리드보다 후대의 학자로, 도형의 넓이와 부피 계산에 탁월한 업적을 남겼다. 그는 원의 넓이와 구의 부피에 대한 공식을 증명하고 원주율의 근사값을 계산하였다.
한편, 중국을 비롯한 동아시아에서도 수학에 대한 서적이 발간되었는데, 특히 《구장산술》에서는 도형의 넓이와 입체도형의 부피 계산법이 소개되었다.
이처럼 고대에는 실용적 필요에 따라 기하학이 발달하였고, 유클리드와 아르키메데스 등의 학자들이 기하학의 기초를 체계화하는 데 기여하였다.
1.1.2. 원뿔곡선의 발달
원뿔곡선의 발달은 기하학의 핵심적인 부분이다. 고대 그리스 수학자 아폴로니오스는 그의 저서 "원뿔곡선론"에서 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘라 이 평면이 원뿔의 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면이 이루는 각보다 작은지, 같은지, 큰지에 따라 '같다'는 어원의 포물선(parabola), '부족하다'는 어원의 타원(ellipse), '초과하다'는 어원의 쌍곡선(hyperbola)으로 분류하였다.
원뿔곡선은 고대부터 수학적, 기하학적으로 중요한 연구 대상이었다. 특히 아폴로니오스의 원뿔곡선 연구는 당시 기하학에 혁신적인 기여를 했다. 그는 원뿔을 수직, 수평, 사선 방향으로 자르면 각각 다른 곡선이 나타난다는 사실을 발견했다. 이렇게 나타나는 곡선들을 포물선, 타원, 쌍곡선이라 명명하고 각 곡선의 기본적인 성질과 방정식을 체계적으로 정리했다.
아폴로니오스는 원뿔곡선 연구를 통해 평면기하에서 발전한 수학이 입체기하로 확장되는 계기를 마련했다. 또한 포물선, 타원, 쌍곡선 각각의 특성을 규명하여 이후 수학, 물리학, 천문학, 공학 등 다양한 분야에서 원뿔곡선이 널리 활용될 수 있는 기반을 마련했다고 볼 수 있다. 이처럼 아폴로니오스의 원뿔곡선 연구는 기하학 발전에 큰 영향을 미쳤으며, 오늘날까지도 중요하게 여겨지고 있다.
1.1.3. 고대 기하학의 활용
고대 기하학의 활용은 다음과 같다.
피라미드 건축에 황금비와 그 수의 제곱근이 발견되었다. 기원전 2575년경에 쿠푸(khufu)왕을 위하여 이집트의 기자에 세워진 피라미드의 측량에 관한 논문들을 보면, 피라미드 건축에 황금비와 그 수의 제곱근이 발견되었다. 이를 통해 인류가 황금분할의 개념과 효용가치를 안 것은 훨씬 그 이전부터 일 것이라고 추측할 수 있다.
고대의 항해술에는 기하학의 원리가 활용되었다. 16세기 들어 항해술이 발달하면서 사람들은 바다에서의 배의 위치나 밀물과 썰물의 시각 등을 정확히 알아야 했다. 이를 위해서는 달을 비롯한 행성들의 운동과 성질을 알아야 했는데, 이를 위해 행성의 운동 곡선 방향에서의 접선(tangent line)을 긋고 이들 간의 합성에 의한 새로운 방향을 예측하는 벡터의 합성에 관한 법칙이 탄생하게 되었다.
우리나라 전통 가옥의 기와에도 기하학의 원리가 활용되었다. 우리나라의 전통 가옥 기와는 부식방지를 위해 사이클로이드의 성질을 이용하였는데, 사이클로이드가 가진 최단하강곡선 성질을 이용하면 빗물이 가장 빠르게 내려와 목조 건물의 부식을 막을 수 있다는 사실을 우리 선조들이 알고 있었다.
이처럼 고대로부터 기하학의 원리가 다양한 분야에 활용되어 왔으며, 특히 건축, 항해, 가옥 등의 분야에서 그 활용도가 높았음을 알 수 있다.
1.2. 중세, 근대의 기하학
1.2.1. 중세 기하학의 역사 및 활용
중세 시대에는 예술이 보편적인 법칙에 종속되어 있다고 믿었는데 그 법칙들은 수학적이었고, 이런 믿음이 특히 건축에 적용되었다. 중세 건축에서는 똑같은 기하학적 형태와 비례가 전체로서의 한 건축물에 세세한 부분에 이르기까지 계속해서 반복적으로 나타났다. 중세 건축 및 장식적 예술의 비례는 삼각형 분할 혹은 정사각형 분할을 기초로 삼고 있다. 원, 사각형, 삼각형을 기초로 한 고딕식 기둥의 받침돌, 고딕 기둥의 받침돌들은 네 겹으로 점차 가늘어지면서 원, 정사각형, 삼각형, 정사각형, 그리고 다시 원의 순서로 기초가 놓여졌다. 외견상의 환상이 단순한 기하학적 형태를 토대로 하는 것이 특징이다. 삼각형과 직사각형을 기초로 한 고딕 금란 열두 개의 고딕 천개가 삼각형과 직사각형의 원리로 세워졌다.
1.2.2. 근대 기하학의 역사
근대 기하학의 역사는 피타고라스 등의 고대 그리스 수학자들이 연역적인 증명을 통해서 기하학을 탐구하면서 출발하였다.""17세기 후반에 이르러 제라르 데카르트와 블레즈 파스칼에 의해 사영 기하학이라는 기하학의 새로운 분야가 개척되기 시작하였다."" 데카르트와 피...
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