소개글
"미적분 주제탐구"에 대한 내용입니다.
목차
1. 서론
1.1. 주제 선택 배경 및 탐구 내용 개요
1.2. 푸리에 변환에 대한 선행 학습
2. 푸리에 급수와 푸리에 변환
2.1. 푸리에 급수
2.2. 푸리에 변환
2.3. 푸리에 변환의 특성 및 라플라스 변환과의 관계
3. 푸리에 변환의 다양한 응용
3.1. 신호 처리와 시스템 분석
3.2. 이미지 압축
3.3. 노이즈 제거
3.4. 의료 이미징
4. 결론
4.1. 푸리에 변환에 대한 이해 및 학습 경험
4.2. 향후 탐구 계획
5. 참고 문헌
본문내용
1. 서론
1.1. 주제 선택 배경 및 탐구 내용 개요
작년에 라플라스 변환에 대한 탐구를 통해 라플라스 변환이 복잡한 미분 방정식을 해결하는 데 얼마나 유용한지 발견하였다. 이러한 경험은 수학적 도구가 실제 문제 해결에 얼마나 중요한 역할을 할 수 있는지를 깊이 이해하는 계기가 되었다. 라플라스 변환의 학습을 통해 신호 처리와 시스템 분석에서 사용되는 또 다른 중요한 수학적 개념인 푸리에 변환에 대한 호기심이 자연스럽게 발생하였다. 이에 올해는 푸리에 변환을 탐구함으로써 라플라스 변환과의 연관성을 탐색하고, 이 두 수학적 도구가 어떻게 서로 보완하며 다양한 과학적, 공학적 문제를 해결하는 데 기여하는지를 살펴보고자 한다. 보다 복잡한 푸리에 변환을 알아보기 전에, 개념에 점진적으로 접근하기 위해 푸리에 급수/해석을 먼저 수학 과제 탐구 시간에 알아보고, 보고서를 작성했다."
1.2. 푸리에 변환에 대한 선행 학습
지난해에 라플라스 변환에 대한 탐구를 통해 라플라스 변환이 복잡한 미분 방정식을 해결하는 데 얼마나 유용한지를 발견하였다. 이러한 경험은 수학적 도구가 실제 문제 해결에 중요한 역할을 할 수 있다는 것을 깊이 이해하는 계기가 되었다. 라플라스 변환 학습 과정에서 신호 처리와 시스템 분석에 사용되는 또 다른 중요한 수학적 개념인 푸리에 변환에 대한 호기심이 자연스럽게 발생하였다. 이에 올해는 푸리에 변환을 탐구함으로써 라플라스 변환과의 연관성을 탐색하고, 이 두 수학적 도구가 서로 어떻게 보완하며 다양한 과학적, 공학적 문제를 해결하는 데 기여하는지를 살펴보고자 한다. 보다 복잡한 푸리에 변환을 알아보기 전에, 개념에 점진적으로 접근하기 위해 푸리에 급수/해석을 먼저 수학 과제 탐구 시간에 알아보고 보고서를 작성하였다.
2. 푸리에 급수와 푸리에 변환
2.1. 푸리에 급수
푸리에 급수는 프랑스 수학자 조제프 푸리에가 1822년에 열 문제를 해결하기 위해 처음 개발한 방법이다. 이 방법은 주기성을 띠는 복잡한 신호를 다양한 주파수로 나누어 분석할 수 있게 해준다. 푸리에의 가설은 "같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동이 잔뜩 결합해 이루어진다."였으며, 이를 체계화한 것이 푸리에 급수이다.
주기성을 가지는 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.
f(t) = a0 + (a1cos(wt) + b1sin(wt)) + (a2cos(2wt) + b2sin(2wt)) + ... + (ancos(nwt) + bnsin(nwt))
여기서 계수 a와 b를 잘 조절하면 그 어떤 주기함수를 나타낼 수 있다. 이 식을 시그마를 사용해 다음과 같이 표현할 수 있다.
f(t) = a0 + Σ(an*cos(nwt) + bn*sin(nwt))
위 식에서 an과 bn은 각각의 단순한 파동이 얼마나 들어있는지를 의미한다. 이를 사용해 주기성을 띄는 함수를 삼각함수의 합으로 표현해 볼 수 있다.
예를 들어 사각형 함수를 표현해 보면 다음과 같다. 사각형 함수는 좀 과장된 사인함수처럼 생겼으므로 사인함수를 표현해 만들어볼 수 있다. 이 함수를 이루는 작은 함수들은 0을 가지는 값이 공통이어야 하고, 수렴해야 한다. 또한, 결국 모든 값이 같아야 하므로 극값이 두드러지면 안 된다. w값을 홀수로 잡고, 수렴성을 띠게 하기 위해 계수를 점차 줄여나가면 다음과 같은 모양의 함수가 나온다.
f(t) = (4/π)*(sin(wt) + 1/3*sin(3wt) + 1/5*sin(5wt) + ...)
이와 같은 방법으로 다양한 주기성을 띄는 함수를 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다.""
2.2. 푸리에 변환
푸리에 변환은 프랑스 수학...
참고 자료
파동의 법칙-푸리에에서 양자까지, 임성민, 정문교 저
https://news.samsungdisplay.com/19688
https://angeloyeo.github.io/2019/06/23/Fourier_Series.html
https://javalab.org/fourier_analysis/
수학으로 배우는 파동의 법칙, Transnational College of LEX저, 이경민 옮김
https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90_%EB%B3%80%ED%99%98
https://youtu.be/spUNpyF58BY?si=lzqAfFR0Zq4mCKEf
https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=crucian2k3&logNo=223172188722
