소개글
"골드바흐"에 대한 내용입니다.
목차
1. 소수와 수학적 추측
1.1. 골드바흐 추측
1.2. 소수의 개수와 분포
1.3. 소수를 찾는 방법
1.4. 암호학에서의 소수 활용
2. 페르마의 마지막 정리와 그 증명
2.1. 페르마의 마지막 정리 소개
2.2. 페르마의 마지막 정리 증명 시도와 한계
2.3. 와일즈의 증명
3. 수학자 폴 에어디쉬의 생애와 업적
3.1. 에어디쉬의 수학적 업적
3.2. 에어디쉬의 독특한 삶과 성격
3.3. 에어디쉬와 다른 수학자들과의 관계
3.4. 수학자의 정신적 특성에 대한 논의
4. 참고 문헌
본문내용
1. 소수와 수학적 추측
1.1. 골드바흐 추측
골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 명제이다. 이는 17세기 수학자 크리스티안 골드바흐가 제시한 추측으로, 현대에 이르기까지 많은 수학자들의 관심을 끌어왔지만 아직 완전한 증명은 이루어지지 않고 있다.
골드바흐는 1724년 당대 최고의 수학자 오일러에게 자신의 추측을 편지로 보냈다. 그는 짝수들을 나열하면서 계산을 하던 중 5보다 큰 모든 홀수가 세 개의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 발견했다. 이에 오일러에게 이러한 성질이 일반적인지를 물었고, 오일러는 이 명제에 대해 증명하기는 어렵지만 쉽게 풀이한 명제를 회신하였다. 오일러의 회신에 따르면, 1) 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 2) 5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
이 중 첫 번째 명제가 바로 골드바흐의 추측이다. 두 번째 명제는 골드바흐가 확신했지만 증명하지는 못한 내용이다. 이 두 명제는 서로 동치(等値)임이 간단히 증명될 수 있다. 짝수 n이 5보다 크다면 n-3은 2보다 큰 짝수가 된다. n-3을 두 소수의 합으로 표현할 수 있으므로, n은 세 소수의 합으로 표현될 수 있다. 반대로 n이 5보다 큰 홀수라면 n은 세 소수의 합으로 표현될 수 있고, n-3은 짝수가 되므로 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
현대 컴퓨터의 능력으로 4x10^14 보다 작은 모든 짝수에 대해 골드바흐의 추측이 참임이 밝혀졌다. 하지만 아직도 이 추측에 대한 완전한 증명은 이루어지지 않고 있다. 다만 수년에 걸쳐 이 추측이 거의 증명되고 있다는 사실은 많은 수학자들이 확신하고 있다.
골드바흐 추측과 관련하여 다음과 같은 진전들이 있었다. 1937년 러시아 수학자 비노그라도프는 모든 홀수가 세 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 보였다. 1948년 헝가리 수학자 레니는 모든 짝수가 한 소수와 소수들의 곱으로 나타낼 수 있음을 보였다. 1965년 중국 수학자 첸 징런은 모든 충분히 큰 짝수를 소수와 두 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다. 이러한 결과들은 골드바흐 추측이 참일 가능성을 높여주고 있다.
하지만 일부 수학자들은 골드바흐 추측이 증명되지 않을 수도 있다고 주장한다. 비노그라도프와 애드몬드는 두 소수의 합으로 표현되지 않는 수가 존재할 것이라고 예상하였고, 괴델의 불완전성 정리에 따르면 어떤 공리 체계 내에서도 증명하거나 반례를 제시할 수 없는 명제가 존재할 수 있다고 한다. 이처럼 골드바흐 추측의 해결 여부에 대해서는 아직 확실한 답변이 나오지 않고 있다.
1.2. 소수의 개수와 분포
소수의 개수와 분포는 수학에서 오랜 동안 연구되어온 주제이다. 소수는 1보다 크고 1과 자신 이외의 약수를 갖지 않는 자연수이다. 소수의 개수와 분포에 대해서는 다음과 같은 사실들이 알려져 있다.
첫째, 소수의 개수는 무한하다는 것이다. 기원전 300년경 유클리드에 의해 처음 증명된 이 사실은 수학자들에게 오랜 연구의 동기가 되어왔다. 특히 소수의 분포 패턴을 파악하고자 하는 노력이 계속되어 왔다.
둘째, 소수의 분포를 가장 잘 나타내는 함수는 소수 계산 함수 π(n)이다. π(n)은 n 이하의 소수의 개수를 나타내는 함수로, 이에 대한 대표적인 결과가 소수 정리이다. 소수 정리는 π(n)이 n/ln(n)에 근사한다는 것을 보여준다. 즉, 어떤 수 n에 대해 그 수 근처의 소수의 개수는 대략 n을 자연대수로 나눈 값과 같다는 것이다.
셋째, 소수의 분포에는 일정한 패턴이 발견되지 않는다는 것이 알려져 있다. 소수는 매우 불규칙적으로 분포하며, 이것이 소수의 성질을 밝히는 데 어려움을 준다. 그럼에도 불구하고 소수의 분포에 관한 다양한 추측들이 제기되어왔는데, 그 중 대표적인 것이 쌍둥이 소수 추측이다.
쌍둥이 소수 추측은 차이가 2인 인접한 두 소수, 즉 쌍둥이 소수가 무한히 많이 존재한다는 것이다. 이 추측은 아직 완전히 증명되지 않았지만, 많은 수학자들에 의해 타당성이 인정받고 있다. 최근까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수는 2번째 세부검사기록 20...
참고 자료
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Boyer, Carl B, 박문규 역(2000), 수학의 역사, 경문사
G.H. Hardy, 김인수 역(1995), 어느 수학자의 변명, 믿음사
Wang Hao, 배식한 역(1997), 괴델의 삶, 사이언스 북스
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