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1. RLC 회로와 공진
1.1. RLC 직렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화
RLC 직렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화는 다음과 같다.
RLC 직렬회로는 저항(R), 인덕터(L), 캐패시터(C)가 직렬로 연결된 회로이다. RLC 직렬회로에서는 특정 주파수에서 공진 현상이 발생한다. 공진이란 용량성 리액턴스(XC)와 유도성 리액턴스(XL)가 상쇄되어 오직 저항만이 남는 상태를 말한다. 이때의 주파수를 공진주파수(fr)라 한다.
공진주파수 fr은 다음과 같이 계산된다.
fr = 1 / (2π√(LC))
이때 회로의 총 임피던스 Z는 다음과 같이 표현된다.
Z = √(R2 + (XL - XC)2)
공진주파수 fr에서는 XL = XC가 되어 Z는 R과 같아진다. 따라서 공진주파수 fr에서 회로의 임피던스가 최소가 되고 전류가 최대가 된다. 이를 통해 RLC 직렬회로의 공진 특성을 확인할 수 있다.
주파수가 공진주파수 fr에서 멀어질수록 XL과 XC의 차이가 커져 임피던스 Z가 증가하게 된다. 즉, 공진주파수 fr 부근에서 임피던스가 크게 변화하는 특성을 보인다.
이처럼 RLC 직렬회로는 공진주파수 fr에서 임피던스가 최소가 되며, 이 주파수에서 전류가 최대가 된다. 또한 공진주파수 fr에서 멀어질수록 임피던스가 증가하는 특성을 나타낸다.
1.2. RLC 병렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화
RLC 병렬회로의 공진 특성 및 임피던스 변화는 다음과 같다.
RLC 병렬회로에서는 병렬로 연결된 저항(R), 커패시터(C), 인덕터(L)의 상호작용에 의해 특별한 주파수 응답 특성이 나타난다. 이러한 공진 현상은 RLC 병렬회로의 가장 큰 특징이라고 할 수 있다.
RLC 병렬회로에서 공진이 일어나는 주파수, 즉 공진주파수(fr)는 다음과 같이 구할 수 있다.
fr = 1 / (2π√(LC))
공진주파수 fr에서는 병렬의 용량성 리액턴스(XC = 1 / (2πfC))와 유도성 리액턴스(XL = 2πfL)가 정확히 상쇄되어 회로의 임피던스(Z)가 R로 단순화된다. 즉, 공진주파수에서 병렬 RLC 회로의 임피던스는 R과 같아진다.
공진주파수 fr에서 병렬 RLC 회로의 임피던스는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Z = R
공진주파수를 벗어나면 용량성 리액턴스와 유도성 리액턴스 간의 균형이 깨지면서 병렬 RLC 회로의 임피던스가 변화하게 된다. 주파수가 낮아지면 XC가 커져서 임피던스가 증가하고, 주파수가 높아지면 XL이 커져서 임피던스가 증가한다.
이를 통해 RLC 병렬회로의 공진 특성을 요약하면 다음과 같다.
- 공진주파수 fr에서 병렬 RLC 회로의 임피던스는 R과 같아지며, 이때 전압과 전류가 동상이 된다.
- 공진주파수를 벗어나면 임피던스가 변화하며, 주파수가 낮아지면 임피던스가 증가하고 주파수가 높아지면 임피던스가 증가한다.
- 공진주파수에서 전압과 전류의 위상차가 0도가 되며, 주파수가 낮아지면 전류가 전압보다 늦어지는 지연 현상이 나타나고 주파수가 높아지면 전류가 전압보다 빨라지는 선행 현상이 나타난다.
이와 같은 RLC 병렬회로의 공진 특성은 여러 분야에서 활용되며, 필터 회로, 공진 회로, 임피던스 정합 등에 응용된다.
2. RC 및 RL 직렬회로
2.1. RC 직렬회로의 특성
RC 직렬회로의 특성은 다음과 같다.
RC 직렬회로에서 캐패시터에 관련된 전류 i와 전압 v의 관계식은 i=C(dv/dt)이다. 여기서 i=im·cos(ωt)인 정현파 전류가 들어올 때, 이 식에 t에 대해 적분하면 ∫(i·dt) = [im·sin(ωt)]/ω = Cv이다. 즉, 캐패시터의 전압 v는 전류 i에 대해 90도 만큼 더 지연되어 있다.
[그림 17-1]과 같이 RC 직렬회로 구조라면, 소자 R과 C에 흐르는 전류의 크기는 동시에 같아야 하므로 둘의 i의 위상은 cos(ωt)로 동일하다. 그런데 소자 R은 옴의 법칙 v=iR에 의해 v는 i와 위상이 동일한 cos(ωt)이므로, 소자 C의 v는 R의 v에 대해 90도 만큼 더 지연될 수밖에 없다.
이를 페이저도로 나타내면, C의 V가 R의 V보다 90도 만큼 뒤쳐짐을 알 수 있다. 각 v들은 벡터로 표현할 수 있어 피타고라스 정리에 의해 V1=sqrt(VR1^2+VC1^2)로 표현된다. 여기서 V1은 RC 직렬회로의 전체전압이다.
이 식에 VR1=iR, VC1=iXC(리액턴스 XC=1/(2πfC))를 대입하면, V1=i·sqrt(R^2+XC^2)로 표현되므로, i=V1/sqrt(R^2+XC^2)이 된다. 위의 식을 옴의 법칙 형태로 나타내기 위해 Z=sqrt(R^2+XC^2)로 나타낸다.
마지막으로 tan(θ)=VR1/VC1이므로 θ=tan^-1(VR1/VC1)이 된다.
즉, RC 직렬회로에서 전압 V는 전류 I에 대해 90도 만큼 지연되어 있으며, 이를 통해 임피던스 Z와 위상차 θ를 구할 수 있다.
2.2. RL 직렬회로의 특성
RL 직렬회로의 특성은 다음과 같다.
인덕터에 관련된 i와 v의 관계식은 v = L di/dt이다. 여기서 i = im cos(ωt)인 정현파 전류가 들어올 때, v = -ωLim sin(ωt) = ωLim cos(ωt+90°)이 된다. 즉, 인덕터의 v는 i에 대해 90도 만큼 더 앞서고 있다.
[그림 17-4]와 같이 RL 직렬회로 구조라면, 소자 R과 L에 흐르는 전류의 크기는 동시에 같아야 하므로 둘의 i의 위상은 cos(ωt)로 동일하다. 그런데 소자 R은 옴의 법칙 v = iR에 의해 v는 i와 위상이 동일한 cos(ωt)이므로, 소자 L의 v는 R의 v에 대해 90도 만큼 더 앞설 수밖에 없다.
위의 그림과 같이 L의 V가 R의 V보다 90도 만큼 앞섬을 페이저도로 나타낼 수 있다. 각 v들은 벡...
