본문내용
1. 수학과 적분
1.1. 정적분
1.1.1. 구분구적법
구분구적법(區分求積法)은 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 주어진 도형을 세분하여 그 도형의 넓이나 부피의 근사값을 구한 뒤, 그 근사값의 극한값으로써 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다.
평면 위에 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 때, 이 도형을 n개의 작은 직사각형으로 나누고 각 직사각형의 너비를 작게 가져가면서 그 직사각형의 면적의 합이 해당 도형의 넓이에 점차 접근하게 된다. 이때 n이 무한히 증가하면, 이 합은 그 도형의 넓이에 수렴하게 된다. 이와 같은 아이디어를 바탕으로 구분구적법은 발전되었다.
구분구적법에서는 먼저 주어진 도형을 적절한 수의 작은 부분으로 나눈다. 그리고 각 부분의 넓이를 구하여 모두 더하면 전체 도형의 넓이에 가까운 값을 얻을 수 있다. 이때 부분의 크기가 작아질수록 그 합은 실제 넓이에 더 가까워진다.
예를 들어, 곡선 y=x^3과 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법으로 구하는 경우, 먼저 이 도형을 n개의 작은 직사각형으로 나눈다. 각 직사각형의 너비는 △x=(2-0)/n=2/n이 된다. 그리고 i번째 직사각형의 높이는 y=x^3에서 x=i·△x일 때의 y 값, 즉 y=(i·△x)^3이 된다. 따라서 i번째 직사각형의 넓이는 △A_i = △x · y = (2/n) · (i·(2/n))^3 = (8/n^4)·i^3이 된다. 이 n개의 직사각형 넓이의 합 S_n = Σ(8/n^4)·i^3 = (8/n^4)·Σi^3은 n이 증가할수록 실제 도형의 넓이에 점점 가까워진다.
이와 같이 구분구적법은 주어진 도형을 작은 부분으로 나누어 각 부분의 면적을 구하고, 이들을 모두 더하여 전체 도형의 넓이를 근사적으로 구하는 방법이다. 이 방법은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이뿐만 아니라 입체도형의 부피를 구하는 데에도 응용될 수 있다.
1.1.2. 정적분의 정의
정적분(definite integral)의 정의는 구분구적법(the method of dividing into small parts)을 일반화한 개념이다. 구분구적법은 어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 주어진 도형을 세분하여 그 도형의 넓이나 부피의 근삿값을 구한 뒤, 그 근삿값의 극한값으로써 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다. 정적분은 이러한 구분구적법의 개념을 일반화한 것으로, 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 곡면으로 둘러싸인 입체의 부피를 구하는 데 사용된다.
정적분은 다음과 같이 정의된다. 함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 그 함수의 정적분은 다음과 같이 표현된다:
int _{a} ^{b} f(x) dx
여기서 "int _{a} ^{b}"는 적분 기호이고, "f(x) dx"는 적분 요소이다. 이는 구분구적법에서 n개의 작은 직사각형의 넓이의 합의 극한값을 의미한다. 즉, 구간 [a, b]를 n개의 작은 부분으로 나누고, 각 부분에서 함수의 값을 대표하는 값을 곱하여 더한 뒤, 그 합의 극한값으로 정의된다.
정적분은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 곡면으로 둘러싸인 입체의 부피를 구하는 데 활용될 뿐만 아니라, 속도와 거리, 확률 분포 등 다양한 분야에 응용된다. 따라서 정적분의 개념은 수학뿐만 아니라 물리, 공학, 경제 등 여러 분야에서 중요한 의미를 가진다.
1.2. 미적분의 활용
1.2.1. 실생활에서의 미분 활용
미분은 실생활 곳곳에서 활용되고 있다. 첫째, 과속무인단속카메라에서 미분이 활용된다. 카메라 전방 2~30m 지점에 2~3m 간격으로 두 개의 센서가 설치되어 있다. 첫 번째 센서를 지나간 시간과 두 번째 센...
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