본문내용
1. 미분의 역사와 활용
1.1. 미분의 역사
1.1.1. 아르키메데스의 구적법
아르키메데스(기원전 287 - 기원전 212년)는 고대 그리스의 수학자이자 발명가로, 미분적분학의 기초가 되는 구적법을 고안한 것으로 유명하다.
아르키메데스는 구와 원기둥의 부피를 계산하는 방법을 발견했는데, 이는 고대 그리스 수학의 대표적인 성과 중 하나이다. 그는 구의 부피가 외접하는 원기둥의 2/3배라는 사실을 밝혀냈다. 이를 통해 구의 부피를 구할 수 있게 되었다.
아르키메데스는 또한 다각형의 면적을 계산하는 방법도 고안했다. 그는 다각형을 무한히 작은 삼각형의 합으로 나누어 각 삼각형의 면적을 더하는 방식으로 다각형의 전체 면적을 구했다. 이러한 방식은 무한소 개념을 사용한 최초의 시도로 평가된다.
이처럼 아르키메데스의 구적법은 미분적분학의 시초가 되었다고 할 수 있다. 그의 업적은 고대 그리스 수학의 큰 성과로 여겨지며, 이후 수학 발전에 큰 영향을 미쳤다.
1.1.2. 토리첼리의 무한소 개념 도입
토리첼리는 무한소의 개념을 수학에 도입하여 계산하기 시작한 중요한 인물이다. 토리첼리는 무한히 작은 단위량인 무한소의 개념을 도입하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 정리하였다. 이를 통해 거리와 속도의 관계를 밝혔고, 넓이를 구하는 문제가 접선을 구하는 문제와 역관계가 있다는 것을 밝혀냈다. 토리첼리의 무한소 개념 도입은 미적분학의 발전에 중요한 이정표가 되었다고 할 수 있다.
1.1.3. 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학 발견
뉴턴과 라이프니츠는 독립적으로 미적분학을 발견하였으며, 그들의 접근 방식은 서로 달랐다.
뉴턴은 1661년 케임브리지 대학에 입학하였고, 1665년 페스트로 인해 대학교가 폐쇄되었는데, 이때부터 2년 동안 뉴턴은 연구에 몰두하여 유율법(미분학)과 역유율법(적분학)을 발견했다. 그러나 그는 비판을 매우 두려워하여 이러한 연구 결과를 발표하지 않고, 1687년에야 《자연철학의 수학적 원리》를 출판하여 명성을 얻게 된다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다.
한편, 라이프니츠는 1646년 태어나 20세에 라이프치히 대학에서 박사학위를 취득하였다. 하지만 그는 대학교를 떠나 외교관이 되어 영국과 네덜란드를 여러 번 방문했고, 당시의 유명한 학자들과 접촉하여 수학적인 자극을 받을 수 있었다. 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다.
라이프니츠는 1673년에 영국을 방문했을 때, 뉴턴의 연구 결과를 보았고 1676년에는 뉴턴과 미적분학에 관한 서신을 왕래한 기록이 있다. 두 사람은 미적분학을 독립적으로 발견했고, 접근 방법이 서로 달랐기 때문에, 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다.
현재 받아들여지고 있는 방법은 라이프니츠의 기하학적인 접근 방식이고, 미분의 기호 ∂ 또한 라이프니츠가 개발한 것이다. 따라서 오늘날 미적분학을 발견한 공로는 뉴턴과 라이프니츠 두 사람 모두에게 주어지고 있다.
1.2. 미분의 활용
1.2.1. 화학반응 속도 분석
화학반응이 일어날 때 반응물과 생성물의 농도는 시간에 따라 변화한다. 반응이 진행됨에 따라 반응물의 농도는 낮아지고 생성물의 농도는 높아진다. 이때 반응속도는 단위시간당 반응물질이나 생성물질의 농도 변화로 정의된다. 즉, 반응속도(r)는 다음과 같이 나타낼 수 있다:
r = dA/dt
여기서 A는 반응물질의 몰농도이며, t는 시간을 나타낸다. 반응속도는 반응물질의 몰농도에 비례하므로, 단일물질 A의 분해반응에서 반응속도는 다음과 같이 표현된다:
r = k[A]
여기서 k는 반응속도상수이다.
일반적으로 화학반응에서 농도가 높을수록 반응속도가 빨라진다. 이는 단위 부피 당 ...
