본문내용
1. 미적분 심화탐구 보고서
1.1. GSA-SNP2와 삼차 스플라인 보간법 탐구
GSA-SNP2와 삼차 스플라인 보간법 탐구는 미적분 심화탐구의 주제 중 하나로, 2학년 때 탐구하였던 질병 유전자 통계알고리즘인 "GSA-SNP2"에 숨겨진 수학적 원리를 알아보기 위해 "삼차 스플라인 보간법"에 대해 조사한 것이다.
보간법이란 불연속적인 n개의 점이 주어졌을 때 그 n개의 점을 지나는 n차 다항식을 구하는 방법이다. 선형 보간법은 주어진 점들을 직선으로 다 잇는 방법이지만, 이 경우 미분 불가능한 점들이 많이 생길 수 있다. 반면 삼차 스플라인 보간법은 주어진 n개의 점을 지나면서 미분 가능한 함수를 구하는 방법이다. 스플라인 보간법의 특징은 어느 한 부분만 급격히 변하는 함수의 움직임에 우수한 근사를 제공한다는 것이다. n차 스플라인 곡선의 0차에서 n-1차까지의 미분은 모든 점에서 연속이며, 3차 스플라인 곡선의 경우 끝점의 2차 미분이 0이 되게 함으로써 각 다항식의 모든 계수가 구해진다.
GSA-SNP2 알고리즘은 허위양성을 잘 통제해 정확한 결과를 얻으면서도 통계적 예측력을 높이는 것을 목표로 한다. 이를 위해 '유전자 그룹(pathway) 상관관계 분석법'을 활용하면서 유전자 스코어에 '큐빅 스플라인(삼차 스플라인)'이라는 수학적 보정기법을 적용했다. 이 과정에서 이미 질병과 상관관계가 높게 나타난 스닙(SNP)들은 제외하고 유전자 스코어를 삼차 스플라인 보정법을 통해 보정함으로써 허위양성예측을 통제하면서도 통계적 예측력은 높일 수 있었다.
이러한 계산을 간단히 할 수 있는 공학용 소프트웨어 매트랩(MATLAB)에 내장된 interp1이라는 함수에 대해서도 알게 되었다. 이처럼 유전자 통계 알고리즘에서 찾을 수 있는 미적분 관련 개념을 살펴보는 좋은 기회였다. 다만 삼차 스플라인 함수는 학교에서 배운 미적분의 지식만으로는 이해하기 힘들어 한계를 느꼈다. 이 한계를 극복하기 위해 책을 참고하여 더 깊이 탐구해볼 욕구를 느꼈다.
1.2. 코로나 19 예상 확진자 그래프와 로지스틱 미분 방정식 탐구
코로나 19 예상 확진자 그래프는 로지스틱 함수이다. 로지스틱 함수는 개체군의 증가율을 표현하는 미분방정식으로부터 얻어지는 함수의 형태이다. 미분 방정식 {dy} over {dt} =ry(1- {y} over {L} ) 을 만족하는 시간 t에 대한 함수 y=f(t)를 로지스틱 함수라고 한다. 이때 r과 L은 상수이며 각각 자연성장률, 수용용량이라고 한다.
로지스틱 방정식 {dy} over {dt} =ry(1- {y} over {L} )# # LRARROW ` {L} over {y(L-y)} {dy} over {dt} =r# # LRARROW `( {1} over {y} + {1} over {L-y} ) {dy} over {dt} =r` 이렇게 정리를 할 수 있고 위의 식 양변을 t에 대해 적분하고 정리하면 y= {L} over {Ce ^{-rt} +1} 이라는 식이 나온다.
탐구 과정에서 로지스틱 방정식의 해법은 학부 미분방정식 시간에 배우는 방식을 바탕으로 쉽게 풀 수 있다는 것을 알게 되었고 아쉽지만 고등학교 미적분 수준으로 풀이가 된 자료를 찾았다.
상수에 따라 값이 어떻게 달라지는지, 달리진 값이 무엇을 의미하는지 알게 되었다. 우리가 흔히 말하는 예상 확진자수를 구하는 방법을 알게 되어 유익하였고, 요즘 심각한 상황인 코로나 바이러스도 미분방정식과 연관되어있다는 것이 흥미로웠다.
2. 미적분 1, 2 세특 작성 예시
2.1. 미적분 1 예시
'작음의 다른 정도를 이용한 미분법 탐구'라는 주제로 탐구보고서를 작성하여 제출한 학생은 함수에서 미지수의 미소 변화량을 작은 조각이라고 할 때 기울기를 구하고자 하는 점과 미지수의 미소 변화량과의 관계식에서 나오는 생략될 수 있는 부분을 제시하면서 이 원리가 다양한 차수에서도 적용될 수 있음을 설명하였다"" 또한 미분의 기울기는 좌표축의 증가와 감소로 인해 정해지는데 이와 달리 독립적으로 일어나는 상수를 미분 과정에서 처리하는 방법을 더해진 상수, 곱해진 상수로 나누어 초기함수의 함숫값과 도함수의 관계를 표와 그래프를 통해 제시하고 미지수의 지수가 음수이거나 분수일 때 미분법 예시로 증명하는 등 구체적이고 체계적으로 설명한 부분이 상당히 인상적이다""
2.2. 미적분 2 예시
미적분 2 예시 1
수업 시간에 항상 열정적으로 배우고자 하는 자세를 보이는 학생으로, 수업 시간 중 비선형 함수인 시그모이드 함수의 도함수를 직접 구하여 발표하였다"." 시그모이드 함수는 인공 신경망의 활성화 함수로 사용되는 대표적인 비선형 함수이며, 이를 미분법을 이용하여 증명하는 과정에서 몫의 미분법과 합성함수의 미분법을 적절히 활용하였다"." 이를 통해 시그모이드 함수의 도함수를 구하고, 더 나아가 이계도함수를 구함으로써 x가 무한대로 갈 때 도함수가 0으로 수렴하는 사실을 발견하였다"." 이는 인공 신경망에서 발생할 수 있는 그레디언트 소실 문제를 이해하는 데 도움이 되었다고 언급하였다".
미적분 2 예시 2
수업 태도가 매우 성실하며 학습에 대한 열정이 높은 학생이다"." 수업 시간에 교사의 설명에 집중하며 모르는 부분에 대해 적극적으로 질문하고 답변을 듣는 모습을 보인다"." 삼각함수의 미분과 관련하여 직각삼각형의 변 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결하는 모습이 인상적이었다"." 또한 극한 식의 계산에서 극한 식의 특징을 잘 파악하여 문제를 해결하는 능력을 보였다"." 더불어 그래프 문제에서도 도함수와 이계도함수를 활용하여 함수의 증가, 감소와 그래프의 개형을 정확히 분석하는 능력이 뛰어났다".
미적분 2 예시 3
수학에 대한 열정과 흥미가 높은 학생으로, 삼각함수의 미분과 관련하여 다양한 기하학적 접근 방식을 보여주었다"." 삼각함수의 극한과 관련된 복잡한 도형 문제 풀이를 급우들 앞에서 발표하면서 두 가지 다른 풀이 방법을 제시하였는데, 하나는 길이에 대한 기하학적 관계를 이용하는 방법이었고 다른 하나는 원 위의 점의 좌표를 삼각함수로 나타낸 뒤 좌표 계산을 이용하는 방법이었다"." 이처럼 문제를 다각도에서 접근하는 모습을 보여줌으로써 상황을 이해하는 안목을 갖추게 되었다고 한다".
미적분 2 예시 4
수업 태도가 매우 성실하며 서술형 평가와 논술 평가에서 높은 성취도를 보이는 학생이다"." 부족한 부분을 보강하기 위해 방과 후 수업에 참여하는 등 자기 주도적인 학습 태도를 보인다"." 수업 시간에 로그함수와 지수함수에 대한 개념을 명확히 이해하지 못했지만, 교사의 질문에 다...
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