본문내용
1. 비선형방정식의 근 계산
1.1. 문제 소개
번지 점프 시(척추손상의 방지를 위해서) 항력계수가 0.25[kg/s]로 주어질 때, 자유낙하 4초 후에 낙하 속도가 36[m/s]을 초과하는 질량은 얼마인가라는 문제가 제시되었다. 이는 번지 점프와 관련된 비선형방정식의 근을 구하는 문제이다. 주어진 조건과 식을 활용하여 문제의 해를 찾는 것이 목표이다.
1.2. 문제의 근을 구하기 위한 방정식
문제의 근을 구하기 위한 방정식은 다음과 같다. 운동방정식(Newton의 제 2 법칙)은 v(t)=√(gm/cd) tanh(√(gcd/m)t)이다. 이 식의 해석해는 다음과 같다. dv/dt = g - (cd/m)v^2 문제에서 구해야 하는 것이 속도가 아니라 질량이기 때문에 이 해석해를 질량에 관하여 정리하면 다음과 같은 식이 나오게 된다. f(m)=√(gm/cd) tanh(√(gcd/m)t) - v(t) = 0을 만족하면 자유낙하 4초 후에 낙하 속도가 36[m/s]을 초과하는 질량을 구할 수 있다. 위의 식에서 g는 중력가속도로 9.81[m/s^2]이고, cd는 문제에서 주어진 항력계수이므로 0.25[kg/s]이다. 낙하 속도 v(t)가 36[m/s]이라고 주어져 모르는 변수는 m밖에 없다. 따라서 계산을 통하여 답을 도출해 낼 수 있다."
1.3. Numerical Method Comparison and Evaluation
1.3.1. bisection method & false-postion method
대표적인 구간법인 이분법(bisection method)과 가위치법(false-position method)은 근을 구하는 방식에 있어 유일한 차이점이 있다. 이분법의 근삿값 계산식은 xr = (xl+xu)/2이며, 가위치법의 근삿값 계산식은 xr = xu - (f(xu)*(xl-xu))/(f(xl)-f(xu))이다.
이분법과 가위치법은 전반적으로 비슷한 수치 해법이다. 두 방식 모두 구간을 정해놓고 반복하는 구간법이기 때문에 개방법에 비해 수렴 속도가 떨어진다. 그러나 각 방식의 구간이나 초깃값을 더 적절하게 설정하면 수렴 속도를 향상시킬 수 있다.
이분법과 가위치법을 같은 조건에서 20번 반복하여 비교하면, 초반에는 비슷한 경향을 보이다가 갈수록 이분법의 참 상대오차가 미세하게 낮아지는 것을 볼 수 있다. 구간법의 특성상 구간 내의 어느 점이나 참 근이 될 수 있기 때문에 그래프 상에서 참 상대오차가 들쭉날쭉하는 모습을 보인다.
결과적으로 이분법과 가위치법은 주어진 반복 횟수 내에서는 수렴하지 못했지만, 구간을 더 좁게 설정하거나 다른 수치 해법과 결합하는 등의 방법으로 향상된 성능을 보일 수 있다. 구간법은 개방법에 비해 수렴 속도가 다소 느리지만, 안정적이고 수렴을 보장하는 장점이 있다고 할 수 있다.
1.3.2. Newton-Raphson method 초깃값 설정과 미분한 함숫값
Newton-Raphson method의 초깃값 설정과 미분한 함숫값은 다음과 같다.
Newton-Raphson method는 초깃값의 설정이 중요하기 때문에 MATLAB을 활용한 그래프를 통해서 초깃값을 설정하였다. 주어진 문제에서 함수 f(m)은 다음과 같다.
f(m) = sqrt((gm)/c_d) * tanh(sqrt((gc_d)/m) * t) - v(t)
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