본문내용
1. 실생활에서의 미분
1.1. 서론
1.1.1. 주제 선정 이유
고등학교 2학년 미적분을 배우기 이전까지는 미적분이 무엇인지도 알지 못하였기에 주변에서 미분이 많이 쓰이고 있다는 사실 조차 알지 못하였다. 하지만 고등학교 2학년 미적분이라는 교과목을 배우게 되었고, 미적분 교재에 단원 중 하나인 미분에 대해 배울 수 있게 되었다. 내가 생각하기에 미분 단원은 미적분 교재에서 가장 중요한 단원이라고 생각했기에 주제 선정 과정 중 '실생활의 미분'이라는 주제에 대해 호기심이 생겼다. 내가 배웠던 미분이 실생활에 어떤 것들이 있는지, 어떻게 쓰이고 있는지 궁금했기에 이 주제를 선정하게 되었다.
1.1.2. 미분의 필요성
수학을 포기하거나 수학을 싫어하거나 수학의 필요성을 느끼지 못한다는 사람들이 있다. 미분 또한 '미분을 왜 배워야 하는가'라는 의문을 가진 사람들이 있다. 함수는 변화하는 두 양 사이의 관계를 표현해 준다. 함수를 배우면, 변화하는 두 양 사이의 관계를 이해하는 사고의 틀이 형성된다. 일차함수의 관계, 이차함수의 관계, 또는 지수함수의 관계, 로그함수의 관계 등등, 핸드폰 이용요금은 일차함수와 연결하고, 박찬호가 던진 공의 궤적은 이차함수와 연결하고, 은행에 맡긴 정기예금과는 지수함수를 연결하고, 또한 자신의 노력과 성적과의 관계는 일차함수가 아니라 이차함수인지도 생각해 본다. 미분은 이러한 '변화'를 이해함에 있어서 상당히 중요한 역할을 하게 된다. 물론 기울기란 함수의 그래프에서 기하학적으로 표현되며, 변화율을 뜻하는 미분의 중요한 개념이다. 또한, 미분은 '변화'를 이해함에 있어 중요한 개념이다. 미적분학의 기본정리를 통해, 미분과 적분의 관계를 파악하고, '두양사이의 관계' 및 특히, 변화를 이해할 수 있도록 해준다. 또한 물리학, 자연과학 및 각종 공학에서 미적분학이 필수적으로 이용된다. 응용 분야를 공부하는데 미적분학이 필요하기도 하지만, 더 중요한 것은 '변화'를 이해하는데 필요한 개념이다 그 개념이 바로 미분과 적분이다. 그렇기 때문에 우리는 미분을 배워야 한다.
1.2. 본론
1.2.1. 미분의 개념
미분이란 어떤 운동이나 함수의 순간적인 움직임을 서술하는 방법이다. 어떤 함수의 미분이란 그 것의 도함수를 도출해내는 과정을 말한다. 함수 f(x)가 미분가능인 경우에 y=f(x)라 놓고 x와 y의 증분을 각각 Δx, Δy로 놓으면, {Δy} over {Δx} = f'(x)이다. 이 식은 Δy=f'(x)Δx+εΔx로 고쳐 쓸 수 있다. 그리고 εΔx는 Δx보다 고위의 무한소이므로 Δy의 주부분은 f'(x)Δx로 생각할 수 있고, 이것을 함수 y=f(x)의 미분이라 하고, dy로 나타낸다. 즉, dy=f'(x)Δx, 여기서 독립변수 x의 임의의 증분 Δx를 그 미분이라 하고 Δx=dx(단, ≠0)로 규약하면 dy=f'(x)dx로 쓸 수 있다. 여기서 f'(x)는 미분의 계수로 나타나므로 f'(x)에 대하여 미분계수라는 명칭이 나오게 된다. 또, 위의 관계는 형식적으로 y의 미분 dy와 x의 미분 dx의 몫을 구하여 dy/dx=f'(x)라고도 쓸 수 있으므로 f'(x)를 미분의 몫, 즉 미분계수라고 할 때도 있다. 또 미분이란 말은 미분법의 의미로 사용하기도 한다.
평균변화율 : y = f(x)에 대해 x의 증가량 ?x에 대한y의 증가량?y의 비율인를 함수 y = f(x)의 평균변화율이라 한다.
미분계수 : y = f(x)에 대하여 x의 값이 a에서 a + ?x까지 변할 때의 평균 변화율의 ?x → 0일 때의 극한값 를 함수y = f(x)의 x = a에서의 변화율 또는 미분계수라고 한다.
미분계수의 기하학적 의미 :함수 f(x)의 x=a에서 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a,f(a))에서의 접선의 기울기와 같다.
미분가능성과 연속성 :함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 f(x)는 x=a에서 연속이다.
도함수 : 정의역의 모든 x에 대해 함수f(x)의 미분계수로 대응시키는 새로운 함수를 f(x)의 도함수라고 한다.
1.2.2. 미분의 역사
미분의 역사는 고대 그리스 시절부터 논의되어 왔다. 그리스의 철학자 제논은 아킬레스와 거북의 달리기 시합에 대한 이야기에서 공간과 시간에 관한 역설을 제시하였다. 하지만 본격적인 미적분학은 17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었다.
뉴턴이 미적분에 접근한 방법은 갈릴레이와 케플리의 전통에 따른 동적인 것이었다. 이러한 운동은 시간이 흐르는 가운데 실현된다. 운동을 하는 것은 독립변수인 시간에 따라서 변한다고 생각할 수 있다. 이때문에 먼저 시간을 수학적으로 정확하게 추상화하여 균등하게 흐르는 독립된 양으로 삼는다. 그러므로 현대적으로 말해서 순간 속도를 찾기위해서는 경로 증분의 시간 증분에 대한 비의 극한을 구해야 한다. 곧, 시간이 0으로 될 때의 '마지막 비'를 구해야 한다. 이때 소멸하는 양의 마지막 비는 결코 소멸 직전이나 직후에 생기는 비라고 생각해서는 안된다. "마지막 비란, 그것으로 이 양들이 소멸하는 비이며, 마찬가지로 처음 비도 그것으로 이 양들이 생기는 비를 말한다." 이렇게 해서 뉴턴은 유율(도함수)의 발견에 다다랐다.
라이프니츠가 미적분학에 접근했던 방법은 뉴턴과 다소 달랐다. 1648년경에 카발리에리의 방법을 따른 원자론에 "연속률"이라는 원리를 덧붙여 뉴턴의 극한 개념을 대신한 또다른 미적분학을 세웠고, 미분기호와 작분기호의 창안 등 해석학 발달에 많은 공헌을 하였다. 그는 구적문제를 '세로좌표의 총합'으로 간주하고, 연속하는 세로좌표의 차가 '접선의 기울기의 근사값으로 된다'고 하였다. 1675년에 라이프니츠는 미적분법의 기본개념을 정식화했다. 합과 차에 바탕을 둔 구적문제와 접선문제는 서로 역의 관계에 있고 이 둘을 연결시키는 것은 무한소 삼각형인 것으로 생각하였다. 라이프니츠는 이 삼각형을 이용하여 전부터 알려져 있던 정리와 새로운 많은 사실을 확실히 하는데 성공했다. 그는 이 결과들로부터 넓이와 접선 문제의 풀이법을 일반화시키고, 미분과 적분 사이의 관계를 확립했다.
뉴턴과 라이프니츠의 미적분 이론은 각자의 독창적인 접근방식에도 불구하고 서로 유사한 면모를 보이며, 결과적으로 동일한 토대를 구축했다고 볼 수 있다. 뉴턴의 유율법과 라이프니츠의 미분·적분법은 현대 미적분학의 근간을 이루고 있다.
1.2.3. 실생활에서 쓰이고 있는 미분
실생활에서 쓰이고 있는 미분은 매우 다양하다. 건축학, 스포츠, 금융공학, 포토샵, 비행기 제동거리, 자동차 과속 무인 단속카메라, 아날로그 컴퓨터의 미분기, 자연과학(물리학, 화학) 등 여러 분야에서 미분이 활용되고 있다.
먼저 건축학 분야에서는 도로 설계 시 미분이 활용된다. 자동차가 곡선 도로에서 직선 도로로 진입할 때 안전하게 진입할 수 있도록 하기 위해서는 수학적 원리에 따른 도로 설계가 필요하다. 이때 곡선의 접선을 이용해야 하므로 미분이 중요한 역할을 한다. 자동차가 곡선 도로 위를 달릴 때 곡선의 접선 방향으로 나아가려는 성질이 있기 때문에, 곡선 도로가 끝나는 지점에 연결되는 직선 도로가 곡선 도로의 접선이 되도록 설계해야 한다.
스포츠 분야에서도 미분이 활용된다. 스포츠는 순간적으로 일어나는 변화를 측정하고 예측하는 것이 중요하기 때문에, 선수의 속도 변화와 운동 환경의 저항 및 변화 등을 수학적으로 표현할 수 있어야 한다. 특히 야구에서는 투수가 던지는 공의 속도로 순간변화율 즉 미분계수를 구해 선수별 능력치를 파악하는 데 활용된다.
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