본문내용
1. 비유클리드 기하학의 역사와 발전
1.1. 유클리드 기하학
1.1.1. 유클리드(Euclid)와 『기하학 원론』
유클리드(Euclid)는 기원전 3세기 경에 살았던 그리스 수학자로, 역사적으로 매우 중요한 저작 『기하학 원론』(Elements)을 편집하였다. 이 방대한 저작은 13권으로 구성되어 있으며, 수학의 내용과 논리적 기초 모두에 막대한 영향을 끼쳤다. 현재까지도 약 2000년 이상 동안 모든 기하학 교육을 좌우해 왔다고 해도 과언이 아니다. 유일하게 성경을 제외하면 이보다 더 널리 사용되고 연구된 저작은 없는 것으로 알려져 있다.
특히, 제1권에서 유클리드는 필수적이고 예비적인 정의와 설명, 그리고 공준과 공리로 시작하여 우리에게 친숙한 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 정리들을 포함하고 있다. 공준과 공리는 현대에는 구별 없이 사용되고 있는데, '논리적으로 자명한 기본 가정' 정도로 이해할 수 있다. 제2권에서는 피타고라스 학파의 기하적 대수학을 다루고 있으며, 제3권에서는 원, 현, 할선, 접선, 각의 측정 등 교과서에 등장하는 친숙한 정리들을 포함하고 있다. 그 밖에도 제4, 6, 11, 12권에서 평면 기하학과 입체 기하학 등의 내용을 정리하고 증명하고 있으며, 현재까지도 우리의 교과서에서는 이러한 『원론』의 설명 방식을 그대로 따르고 있다. 이처럼 『원론』에 따르는 기하학을 '유클리드 기하학'이라고 부르는 것이다.
1.1.2. 유클리드의 5가지 공준
유클리드의 5가지 공준은 다음과 같다. 첫째, 임의의 두 점을 연결하여 하나의 직선을 그릴 수 있다. 둘째, 선분은 양 방향으로 연속적으로 하나의 직선으로 연장할 수 있다. 셋째, 임의로 주어진 점을 중심으로 갖고 임의로 주어진 점을 통과하는 원을 그릴 수 있다. 넷째, 모든 직각은 서로 같다. 다섯째, 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다. 이러한 5가지 공준은 유클리드 기하학의 근간을 이루며, 이후 비유클리드 기하학의 등장으로 인해 수학의 진화에 지대한 영향을 미쳤다.
1.2. 비유클리드 기하학의 발견
1.2.1. 평행선 공준에 대한 논란
유클리드의 5가지 공준 중 평행선 공준에 대한 논란이 있었다. 유클리드의 평행선 공준은 "한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 한없이 연장하면 내각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다."는 내용이었다.
이 공준은 다른 공준들보다 복잡하고 자명하지 않아 많은 수학자들이 이를 증명하기 위해 노력했다. 그들은 평행선 공준을 다른 공준들로부터 도출해내고자 했지만, 결국 실패하고 만다. 수학자들은 평행선 공준이 다른 공준들과 독립적이라는 것을 깨달았다.
18세기 초반 이탈리아의 수학자 사케리(Saccheri)는 평행선 공준을 부정하여 모순을 찾아내려 시도했다. 그는 직각, 둔각, 예각 삼각형의 내각의 합이 각각 180도, 180도 초과, 180도 미만이 되는 경우를 연구했다. 그 결과 직각 삼각형의 경우에만 평행선 공준이 증명되고, 나머지 둘은 모순이 발생한다는 것을 보였다. 하지만 사케리는 이 결과를 받아들이지 못하고 실패했다고 생각했다.
이후 19세기 초 러시아의 수학자 로바체프스키(Lobachevsky)와 헝가리의 수학자 볼야이(Bolyai)가 독립적으로 평행선 공준을 부정하는 새로운 기하학을 구축했다. 이들은 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선이 하나 이상 존재한다는 가정에서 출발했다. 그 결과 삼각형의 내각의 합이 180도보다 작아지는 쌍곡기하학이 등장했다.
이처럼 평행선 공준에 대한 논란은 수학사에 있어 중요한 전환점이 되었다. 유클리드 기하학이 절대적 진리가 아니라는 것이 드러났고, 비유클리드 기하학의 발견으로 수학의 지평이 크게 확장되었다. 이는 수학뿐만 아니라 철학, 물리학 등 다양한 분야에 영향을 미쳤다.""
1.2.2. 사케리(Saccheri)와 평행선 공준 증명 시도
18세기 초반, 이탈리아의 수학자 사케리(Saccheri, 1667-1733)는 유클리드의 제5공준인 평행선 공준에 대한 오래된 의문을 해결하고자 노력했다. 유클리드의 4개의 공준은 수학적으로 완벽하고 자명한 것이었지만, 제5공준만큼은 그렇지 않았기 때문이다.
사케리는 평행선 공준을 부정하고 그 결과를 논리적으로 추적하는 시도를 했다. 그는 직각, 둔각, 예각 삼각형의 내각의 합이 각각 2직각, 2직각보다 크다, 2직각보다 작다고 가정하고 이를 토대로 논리를 전개했다. 이 과정에서 그는 쌍곡기하학의 일부 특성들을 발견했지만, 결국 이러한 비유클리드 기하학의 가능성을 완전히 인정하지는 못했다. 오히려 이러한 기하학은 "멍청한 결과"라고 생각하며 포기해버렸다.
사케리가 도달한 결론은 직각삼각형의 내각의 합이 2직각이 되는 것이 유일하게 가능하다는 것이었다. 이는 곧 유클리드의 제5공준이 참이라는 것을 의미했다. 하지만 사케리의 이러한 노력에도 불구하고 평행선 공준은 여전히 증명되지 않았고, 이는 19세기 초반까지 계속되었다.
사케리의 시도는 비유클리드 기하학의 태동에 중요한 역할을 했다. 그는 평행선 공준을 부정하고 새로운 가능성을 모색하려 했던 최초의 수학자였기 때문이다. 비록 그가 이를 완전히 인정하지는 못했지만, 이후 로바체프스키, 볼야이 등의 수학자들이 사케리의 시도를 바탕으로 비유클리드 기하학을 창조해낼 수 있었다.
1.2.3. 로바체프스키(Lobachevsky)의 쌍곡기하학
로바체프스키(Lobachevsky)의 쌍곡기하학이다.
1800년대 초반, 러시아 수학자 니콜라이 이바노비치 로바체프스키(Nikolai Ivano...
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