본문내용
1. 나머지정리 및 다항식
1.1. 나머지정리의 의의
나머지정리는 다항식을 일차식으로 나눌 때 몫과 나머지를 구하는 정리이다. 다항식 f(x)를 일차식 (x-a)로 나누었을 때의 나머지를 R이라고 하면, f(x)=(x-a)Q(x)+R이 되고 이는 항등식이므로 R은 일차식을 0으로 만드는 값을 대입한 값과 같다는 것이다. 즉, R=f(a)이다. 이러한 나머지정리는 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수는 나누는 수의 차수보다 낮다는 특성을 이용하여 다항식을 간단한 연산으로 풀 수 있게 해준다. 이는 우리가 어떤 수가 3의 배수인지 궁금할 때 직접 그 수를 3으로 나누어보지 않고도 각 자릿수의 합이 3의 배수이면 그 수도 3의 배수라는 것을 알 수 있는 것과 유사한 원리이다. 즉, 나머지정리를 통해 다항식의 나눗셈에서 나머지를 간단히 구할 수 있다는 점에서 그 의의가 크다고 할 수 있다."
1.2. 나머지정리의 단원 설정
문자와 식 영역에서 다항식은 수학이라는 언어를 이루는 중요한 단어라고 할 수 있다. 따라서 다항식의 한 성질인 나머지정리를 학습하는 것은 큰 의미가 있다. 나머지정리는 고등학교 수학(상)의 'Ⅰ다항식' 'ⅱ항등식과 나머지정리' 단원에 속해있는 개념이다.
나머지정리를 배우기 위해서는 먼저 다항식의 연산, 특히 다항식의 나눗셈을 학습해야 하고, 항등식과 미정개수법에 대한 개념을 알아야 한다. 이를 통해 나머지정리의 개념을 이해할 수 있다. 즉, 나머지정리는 다항식의 나눗셈과 항등식의 성질에 기반하고 있다.
이처럼 나머지정리는 다른 수학적 개념과 밀접하게 연계되어 있기 때문에, 나머지정리를 학습하기 위해서는 선행적으로 다른 개념들을 학습해야 한다. 이를 위해 교육과정상 나머지정리 단원이 다항식의 연산 단원과 항등식 단원 이후에 위치해 있는 것이다.
따라서 나머지정리는 다항식 영역에 포함되며, 다항식의 연산과 항등식 개념을 기반으로 하는 중요한 단원이라고 할 수 있다.
1.3. 나머지정리의 지도계통
우리는 어떤 수가 3의 배수인지 궁금하면 직접 그 수를 3으로 나누어보면 된다. 하지만 큰 수에 대해서는 쉽지 않다. 3의 배수는 각자리 숫자를 더하여 3의 배수가 되면 3의 배수라고 판정할 수 있다. 만약 21342라는 수가 있다면 바로 3의 배수임을 판정하기는 쉽지 않다. 하지만 각 자릿수의 합이 12이므로 21342는 3의 배수가 된다. 실제로 3으로 나누어떨어진다. 그렇다면 다항식을 일차식으로 나눌 때 몫은 궁금하지 않고 나머지만 궁금하다면, 굳이 직접 나누어야할까? 그렇지 않다. 앞의 3의 배수와 비슷하게 나머지정리를 사용하면 직접 나누지 않고도 나머지를 구할 수 있다. 다항식 f(x)를 일차식 (x-a)로 나누었을 때의 나머지를 R이라고 하면, f(x)=(x-a)Q(x)+R이 되고 이는 항등식이므로 R은 일차식을 0으로 만드는 값을 대입한 값과 같다는 것이다. 즉, R=f(a)이다.
나머지 정리는 고등학교 수학(상)의 Ⅰ다항식 ⅱ항등식과 나머지정리에 속해있는 개념이다. 나머지정리를 배우기 위해서는 첫 번째 소단원인 다항식의 연산에서 다항식의 나눗셈을 배우고, 항등식과 미정개수법의 개념을 배워야 나머지정리를 학습할 수 있다."
1.4. 나머지정리의 단원 차시
나머지정리의 단원 차시는 다음과 같다.
중단원 소단원 차시 지도 내용
1 다항식의 연산 3. 다항식의 나눗셈 6 다항식의 나눗셈, 나눗셈의 원리, 수학 방송-비에트
2 나머지정리와 인수분해 2. 나머지정리 11 나머지정리의 의미와 이용"이다.
1.5. 나머지정리의 지도 시 유의사항
나머지정리의 지도 시 유의사항은 다음과 같다.
첫째, 나머지정리는 다항식의 나눗셈의 몫과 나머지를 이용하여 지도하되, 항등식의 원리를 이용한다는 것을 이해하게 해야 한다. 나머지정리의 핵심은 항등식의 성질을 이용한다는 것이다. 따라서 항등식의 개념을 먼저 충분히 이해시킨 후에 나머지정리를 다루어야 한다.
둘째, 나머리정리는 다항식을 일차식으로 나눌 때만 이용할 수 있음을 알게 해야 한다. 다항식을 차수가 높은 다항식으로 나눌 때는 다른 방법을 사용해야 한다. 따라서 나머지정리의 적용 범위를 명확히 인식시킬 필요가 있다.
셋째, 나머지정리를 다양하게 이용할 수 있도록 지도해야 한다. 나머지정리는 단순히 다항식을 일차식으로 나눌 때의 나머지를 구하는 용도에 그치지 않고, 다양한 수학적 문제해결 상황에 활용할 수 있다. 따라서 교사는 여러 가지 응용 문제를 제시하여 학생들이 나머지정리를 다양하게 활용할 수 있도록 해야 한다.
이와 같이 나머지정리의 지도 시에는 항등식의 개념, 나머지정리의 적용 범위, 다양한 활용 방안 등을 명확히 인식시키는 것이 중요하다."
2. 수학 교과 세부 전공 활동 사례
2.1. 수학과 성취도 우수자의 생활기록부 예시
수학과 성취도 우수자의 생활기록부 예시는 다음과 같다.
예시 1은 1단원인 '다항식'에서, 다항식의 나눗셈에서 나머지의 차수는 나누는 수의 차수보다 낮다는 특성을 이용해서 관련된 문제를 풀고 급우들 앞에서 설명하고 이해를 잘하지 못한 급우를 위해 쉬운 문제를 제작해 설명하였다. '2단원인' 여러 가지 방정식과 부등식'에서는, 절댓값 기호가 하나만 들어있는 부등식, 절댓값 기호가 두 개 들어있는 부등식에 관한 문제를 풀고, 급우들 앞에서 풀이 과정을 설명하였으며, 급우들 앞에서 풀이 과정을 조리 있게 발표하는 모습이 인상적인 학생이다.
예시 2는 도형의 방정식 단원중 '원의 방정식' 단원에 있는 교과서 문제를 원의 중심과 직선과의 거리의 관계를 활용하여 급우들 앞에서 발표함으로써 학습 이해도가 뛰어나고 급우들의 이해를 돕는 배려 있는 행동을 보여주었다. 또한 '방정식과 부등식' 단원을 학습하던 중 같은 조...
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