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1. 신호 및 시스템 개요
1.1. 주기적 연속 시간 신호
1.1.1. 기본 주기에 따른 비교
주기적 연속 시간 신호의 기본 주기에 따른 비교에 대해서는 다음과 같다.
주기적 연속 시간 신호 x(t)가 주기 T0에 따라 반복된다고 할 때, T0의 크기에 따라 신호의 형태가 달라진다. T0가 작은 경우와 큰 경우를 비교해보면 다음과 같다.
T0가 10인 경우, 신호 x(t)는 사각형 파형의 형태를 가진다. 한 주기 내에서 1에 해당하는 구간과 0에 해당하는 구간이 뚜렷하게 구분되어 나타난다. 이는 주기가 상대적으로 작아 각 구간의 변화가 급격하게 발생하기 때문이다.
반면 T0가 100인 경우, 신호 x(t)의 사각형 파형은 상대적으로 부드러워진다. 한 주기 내에서 1에 해당하는 구간과 0에 해당하는 구간의 경계가 명확하지 않고 점진적으로 변화한다. 이는 주기가 길어져 각 구간의 변화가 점진적으로 발생하기 때문이다.
이처럼 주기적 연속 시간 신호의 기본 주기 T0가 달라짐에 따라 신호의 형태가 변화한다. T0가 작을수록 급격한 변화가 나타나고, T0가 클수록 점진적인 변화가 나타난다. 이는 푸리에 급수 전개 시 고차 고조파의 기여도 차이로 이어진다.
1.1.2. 푸리에 급수 근사
주기적 연속 시간 신호에서 푸리에 급수 근사는 신호를 무한한 정현파 함수의 합으로 표현하는 것이다. 주기 신호 x(t)는 다음과 같이 표현된다:
() hat {{x}} LEFT ( {{t}} RIGHT ){=}sum _ {{k=-M}} ^ {{M}} { {{a}} _ {{k}} {{e}} ^ {{jk} {{ω}} _ {{0}} {t}} }
여기서 ak는 푸리에 계수이며, 신호 x(t)의 k번째 주파수 성분의 기여도를 나타낸다. 즉, 푸리에 계수 ak는 주기적 연속 시간 신호 x(t)와 k번째 조화 성분 간의 상관관계를 나타낸다.
M은 고려하는 푸리에 급수 항의 수로, M이 증가할수록 x(t)와 그 근사값의 유사성이 높아진다. M이 충분히 크다면, 근사값은 원 신호 x(t)와 거의 동일해진다.
이처럼 푸리에 급수 근사를 통해 주기적 연속 시간 신호를 무한한 정현파의 합으로 표현할 수 있다. 이를 통해 주기 신호의 주파수 특성을 분석하고 이해할 수 있다.
1.2. 주기적 이산 시간 신호
1.2.1. 기본 주기에 따른 비교
주기적 이산 시간 신호의 기본 주기에 따른 비교는 다음과 같다.
주기적 이산 시간 신호에서 기본 주기 N0의 값이 작을 경우, 신호의 플롯이 조밀하고 불규칙적인 패턴을 보인다. 이는 푸리에 급수 근사를 표현할 때 필요한 푸리에 계수 ak의 개수가 상대적으로 적기 때문이다. 따라서 기본 주기 N0가 작으면 주기적 신호를 정확하게 표현하기 어렵다.
반면, 기본 주기 N0의 값이 크면 신호의 플롯이 보다 규칙적이고 부드러운 형태를 나타낸다. 이는 푸리에 급수 근사를 위한 푸...
