본문내용
1. 페르마의 마지막 정리
1.1. 책 소개
페르마의 마지막 정리는 피타고라스의 정리에서 파생된 문제로서 수학 정수론 영역에서는 증명하기 가장 어려운 문제로 뽑히는 정리이다. 이 책은 페르마의 정리와 그것을 증명해낸 앤드루 와일즈의 이야기를 다루고 있다. 아마추어 수학자였던 페르마가 디오판토스의 《산술(Arithmetica)》이라는 책 여백에 "'n이 3 이상의 정수일 때, xn＋yn＝zn을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다.' 이 정리의 감탄할 만한 증명방법을 발견했지만, 여백이 너무 좁아서 여기에 쓸 수는 없다."라고 적어 놓은 것에서 이 정리의 역사가 시작되었다. 이 간단해 보이는 정리는 이후 300여년 동안 수수께끼로 남아 있다가 엔드루 와일즈에 의해서 증명되었다. 본 책은 이러한 페르마의 정리를 증명하는 과정에서 나타났던 역사적 수학자와 수학의 발전을 설명하고 있다.
1.2. 책 줄거리 요약
아마추어 수학자였던 페르마가 디오판토스의 《산술(Arithmetica)》이라는 책 여백에 "'n이 3 이상의 정수일 때, xn＋yn＝zn을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다.' 이 정리의 감탄할 만한 증명방법을 발견했지만, 여백이 너무 좁아서 여기에 쓸 수는 없다."라고 적어 놓은 것에서 시작한다. 이 피타고라스 직각삼각형 세 변에 관한 정리를 살짝 틀어 놓은, 언뜻 보기엔 매우 간단해 보이는 정리이지만 이 정리는 이후 300여년 동안 수수께끼로 남아 있다가 엔드루 와일즈에 의해서 증명되었다. 이 책은 비-수학자인 사람들을 위해 수식을 나열하는 대신 페르마의 정리를 증명하는 것과 관련된 정리들을 만들어낸 역사적 수학자와 수학의 발전을 설명하기위한 위대한 수학자들에 관한 이야기과 앤드루 와일즈를 포함해 페르마의 정리를 증명하기 위해 고군분투 했던 수학자들에 관한 흥미진진한 이야기가 주를 이룬다.
1.3. 새롭게 알게된 개념들
소수지수 표현은 소인수들의 지수를 순서대로 괄호 안에 나열하는 것이다. 예를 들어 12=2^2, 3^1, 18=2^1, 3^2와 같이 표현할 수 있다. 이를 통해 소인수분해를 쉽게 나타낼 수 있다.
복소평면은 실수를 x축, 허수를 y축으로 하는 좌표평면이다. 복소수 a+bi로 표현되는 점의 좌표는 (a, b)가 아닌 a+bi 하나의 수로 나타낸다. 복소수의 합은 평행사변형의 대각선으로, 곱은 편각의 합과 절댓값의 곱으로 구할 수 있다.
가우스의 정수는 복소수 a+bi에서 a, b가 모두 정수인 경우를 말한다. 이는 복소평면 상의 격자점과 일치한다.
쪼개지는 소수는 소수 중에서 4로 나눴을 때 나머지가 1인 수(1mod4)를 말한다. 이러한 소수는 복소수의 곱으로 표현될 수 있다.
오일러의 공식 e^ix = cosx + i*sinx는 매우 중요한 수학적 결과로, 특히 x=π를 대입하면 e^iπ = -1이 되어 가장 아름다운 수학 공식 중 하나로 간주된다.
이처럼 소수지수 표현, 복소평면, 가우스의 정수, 쪼개지는 소수, 오일러의 공식 등 다양한 수학 개념들이 페르마의 정리와 관련하여 새롭게 학습되었다. 이들은 수학의 발전과 정리의 증명에 중요한 역할을 했다.
1.4. 책에서 얻은 교훈
수학은 당장 실생활에 유익한 발명품을 생산하거나, 곧바로 인류에 막대한 부를 가져다주는 학문은 아니다. 그러나 진리를 탐구하려는 호기심은 인간의 본성이고 인간이 순수한 동기로 수학적 진리를 탐구하는 과정은 그 자체로 아름답다. 지금도 연구실이나 집의 구석방에서 외로이 고독한 연구를 하고 있는 많은 수학자들의 열정과 노력은 본받을 만하다. 어려움에 굴하지 않고 목표를 향해 나아가는 집념과 의지는 수학뿐만 아니라 모든 분야에서 필요한 자질이다. 목표를 향한 숭고한 노력은 그 자체로 무의미하지 않으며, 때로...
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